稳定性定义与稳定性条件资料

mn
(4.2)
A

j 1 i 1
n
m
2 a ij
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。 f ( x) 的平衡状 根据平衡状态的定义可知,连续系统 x 0 即 f ( xe ) 0 的系统状态。离散 态 x e 是满足平衡方程 x 系统 x(k 1) f ( x(k )) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f ( xe , k ) 的系统状态。
Ax 的平衡状态。由 首先讨论线性系统 x 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 x e 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
t
结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条
件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。

2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件
描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：
Ax Bu x
（4.7）
设A有相异特征值 1 , , n ，则存在非奇异线性变 换 x Px ，使 A 为对角矩阵，即:
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为 稳定的、不稳定的和渐进 稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保 证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
0

2.渐近稳定 定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定 x(t ) xe 0 x(t ) xe ,即 tlim 的，并且当 t 时， ， 则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。
xe1 0 0
e2
e3
0 1T
.
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 ( , t0 ) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe ( , t0 ) 的任意初态 x 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 x e 是稳定的.若 与 t 0 的选取无 关,则称平衡状态 x e 是一致稳定的.
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [ x1e x2e ]T 应 满足: x 0
1e
3 x1e x 2e x 2 e 0
得非线性系统有三个平衡状态： , x T , x 0 1T
4. 不稳定 定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 ) 出 s (，则称平衡状态为 不稳定. 上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括
参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后 的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的 零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定 性。
4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件
1. SISO线性定常连续系统稳定的条件
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:
an y an1 y
( n)
(n1)
(m) b0u a1 y a0 y bmu b1u
(4.4)
则系统的特征方程为:
D(s) a n s n a n1 s n1 a1 s a0 0
4.1.1 范数的概念
1. 向量的范数
定义：n维向量空间
x
x x1 x2 xn T
Leabharlann Baidu的范数定义为:
2 2 2 x1 x2 xn
(4.1)
2. 矩阵的范数 定义：mxn矩阵A的范数定义为:
a11 A a m1 a12 am2 a1n a mn
t
t

i 3）若 i 中有一个或者几个为零,而其它 i ， 均为负，则有 lim y (t ) 为常数。若 i 中有一个 i 均为负，则y(t) 或者几个为零，而其它 i 、 的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中 有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部 时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。 临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在 工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的， 所以，临界稳定在工程上是不稳定的。
(4.5)
设特征方程 (4.5) 有 k 个实根 i ， r 对共轭复 根 i j di ，则系统的脉冲响应为:
y(t )
C e
i i 1
k
i t

e
i 1
r
it
( Ai cos di t Bi sin di t )
(4.6)
从上式可以看出： i 均为负实部，则有 lim y (t ) 0 ，因此， 1）若 i ， 当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的； i 中有一个或者几个为正，则 2）若 i ， 有 lim y (t ) ，因此，当特征根中有一个或者几 个为正实部时，系统是不稳定的；