武汉市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷 题号
一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列手机APP 图案中，属于轴对称的是( )
A. B. C. D.
2.若分式有意义，则x 应满足的条件是x
x−1( )A. B. C. D. x ≠0
x ≠−1x ≠1x ≥1 3.如图，在中，交AC 的延长线于点D ，
△ABC BD ⊥AC 则AC 边上的高是( )
A. CD
B. AD
C. BC
D. BD 4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D. b 3⋅b 3=2b 3
(a 5)2=a 7x 7÷x 5=x 2(−2a )2=−4a 2
5.如图，五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，为了
36°画出五角星，还需要知道的度数，的度数为∠ABC ∠ABC ( )
A. 36°
B. 72°
C. 100°
D. 108°
6.工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：
如图，已知是一个任意角，在边OA ，OB 上分别∠AOB 取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别
OM =ON 与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB
角平分线．在证明≌时运用的判定定理是△MOC △NOC ( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS 7.下列因式分解错误的是( )
A. B. 2ax−a =a(2x−1)
x 2−2x +1=(x−1)2C. D. 4ax 2−a =a(2x−1)2
ax 2+2ax−3a =a(x−1)(x +3)
8.如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别
a +
b 为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )
A. ab 2
B. π(a−b )24
C.
πab 2D. πab 4
9.我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
；
(1)15×15=1×2×100+25=225；
(2)25×25=2×3×100+25=625；
(3)35×35=3×4×100+25=1225……
按照这种规律，第n 个式子可以表示为( )
A. n ×n =
n−510×(n−510+1)×100+25=n 2B. n ×n =n +510×(n +510+1)×100+25=n 2
C. (n +5)×(n +5)=n ×(n +1)×100+25=n 2+10n +25
D. (10n +5)×(10n +5)=n ×(n +l)×l00+25=100n 2+100n +25
10.如图，四边形ABCD 中，，，若
AB =AD BC =BD ，则的度数为∠ABD =12∠BAC =α∠BDC ( )A. 2α
B. 45°+12α
C. 90°−α
D. 180°−3α二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.计算：______．
2x 2⋅3xy =12.在平面直角坐标系内，点关于x 轴对称的点的坐标是______．
(−2,1)13.用科学记数法表示：______．
0.0012=14.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的
时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，依题意列方程为______．
15.在中，，，过点C 作直线CP ，点A 关于直线CP
Rt △ABC ∠ACB =90°AC =BC 的对称点为D ，连接若，则的度数为______．
AD.∠ACP =15°∠BAD
16.如图，在中，，于D ，E 为BD
△ABC AB =AC BD ⊥AC 延长线上一点，，的平分线交BD 于若∠E =∠C ∠BAC F.BD DE
，则的值为______．=94AD CD 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.解方程
(1)1x =2x−3
(2)x x−1−3x +1
=118.如图，已知≌
，AD ，分别是，的对应边上的
△ABC △ABC 高．求证：．
19.因式分解
(1)ax 2−4a
．
(2)(p−3)(p−1)+120.计算
(1)6ab 25c ⋅10c 3b
(2)(x +2x 2−3x −x−3x 2−6x +9
)÷x x−321.如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x 轴的垂线
A(−2,1)B(−3,4)C(−1,3)(l,0)l ．
作出关于直线l 的轴对称图形；
(1)△ABC △A 1B 1C 1直接写出______，______，______，______，______，______；
(2)A 1()B 1()C 1()在内有一点，则点P 关于直线l 的对称点的坐标为______，(3)△ABC P(m,n)P 1(______结果用含m ，n 的式子表示．
)()
22.某工地有的墙面需要粉刷．若安排4名一级技工粉刷一天，结果还剩墙
72m 212m 2面未能刷完；同样时间内安排6名二级技工去粉刷，则刚好全部刷完．已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面．设每一名一级技工一天粉刷墙面．
3m 2xm 2每名二级技工一天粉刷墙面______用含x 的式子表示；
(1)m 2()求每名一级技工、二级技工一天分别能粉刷多少墙面？
(2)m 2每名一级技工一天的施工费是300元，每名二级技工一天的施工费是200元．若(3)另一工地有的墙面需要粉刷，要求一天完工且施工总费用不超过10600元，540m 2则至少需要______名二级技工直接写出结果．
()23.如图，在中，，D 为AB 上一点，连接CD ．
△ABC ∠BAC =60°如图1，若，，则______直接写出结果．
(1)∠BCA =90°CD ⊥AB AD BD =()如图2，若，E 为CD 的中点，AE 与BC 存在怎样的数量关系，判断并(2)BD =AC 说明理由；
如图3，CD 平分，BF 平分，交CD 于若，求的度(3)∠ACB ∠ABC F.BF =AC ∠ACD 数．
A(a,0)B(0,b)a2−2ab+b2+(b−4)2=0 24.在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足，
点C为线段AB上一点，连接OC．
(1)a=b=
直接写出______，______；
(2)PA=BO∠BPC=30°
如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若，，求点P的纵坐标；
(3)(2)
如图2，在的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等
△OMN CN.OC=t ON+CN()边，连接若，求的最小值结果用含t的式子表示
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B 、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B ．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：当分母，即时，分式有意义；
x−1≠0x ≠1x x−1故选：C ．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
(1)⇔分式有意义分母不为零；
(2)⇔分式值为零分子为零且分母不为零．
(3)⇔3.【答案】D
【解析】解：如图，在中，交AC 的延
∵△ABC BD ⊥AC 长线于点D ，
边上的高是BD ．
∴AC 故选：D ．
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的高的定义即可解题，属于基础题．4.【答案】C
【解析】解：，故选项A 不合题意；
b 3⋅b 3=b 6，故选项B 不合题意；
(a 5)2=a 10，正确，故选项C 符合题意；
x 7÷x 5=x 2，故选项D 不合题意．
(−2a )2=4a 2故选：C ．
分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：，，
∵∠A =36°∠ADB =∠ABD ，
∴∠ADB =∠ABD =180°−36°2=72°．
∴∠ABC =180°−72°=108°故选：D ．
根据三角形内角和定理求出，再根据三角
∠ABD =180°−36°2=72°形的一个外角与它相邻的内角互补，即可求出的度数．
∠ABC 本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的一个外角与它相邻的内互补是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在和中，∵△ONC △OMC {
ON =OM
CO =CO NC =MC
≌，
∴△MOC △NOC(SSS)，
∴∠BOC =∠AOC 故选：A ．
由作图过程可得，，再加上公共边可利用SSS 定理判定MO =NO NC =MC CO =CO ≌．
△MOC △NOC 此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．7.【答案】C
【解析】解：A 、原式，不符合题意；
=a(2x−1)B 、原式，不符合题意；
=(x−1)2C 、原式，符合题意；
=a(4x 2−1)=a(2x +1)(2x−1)D 、原式，不符合题意，
=a(x 2+2x−3)=a(x−1)(x +3)故选：C ．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：．S 阴影=(
a +
b 2)2π−(a 2)2π−(b 2)2π=
πab 2故选：C ．
由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．
此题考查了圆的面积和整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．9.【答案】D
【解析】解：由上面的计算可发现：
个位数是5的两个两位数相乘，所得的积等于把十位数乘以比它大1的数扩大100倍后加上25．
所以．(10n +5)×(10n +5)=n ×(n +l)×l00+25=100n 2+100n +25故选：D ．
首先观察上面的运算，得到一般的规律，即个位数是5的两个两位数相乘，所得的积等于把十位数乘以比它大1的数扩大100倍后加上再用含n 的代数式表示出来．
25.本题考查了整式的运算，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键．证明规律利用了完全平方公式和提起公因式．
10.【答案】A
【解析】解：作，交CA 延长线于如图
∠MBA =∠DBA M.所示：
，，
∵AB =AD ∠ABD =12∠BAC =α，，
∴∠ABD =∠ADB =α∠BAC =2α，
∴∠CAD =180°−4α，，
∴∠BAM =180°−2α∠BAD =180°−2α，
∴∠BAM =∠BAD 在和中，，△BAM △BAD {∠MBA =∠DBA
AB =AB ∠BAM =∠BAD
≌，
∴△BAM △BAD(ASA)，，
∴∠M =∠ADB =αBM =BD =BC ，，
∴AB =AM ∠ACB =∠M =α，
∴∠ABM =∠M =α，
∵BC =BD ，
∴∠BCD =∠BDC 设，则，
∠ACD =x ∠BDC =x +α由八字形得：，
∠ACD +∠BDC =∠M +∠DBM 即，
x +(x +α)=α+α+α，
∴x =α；
∴∠BDC =2α故选：A ．
作，交CA 延长线于由等腰三角形的性质得出，∠MBA =∠DBA M.∠ABD =∠ADB =α，证出，证明≌，得出
∠BAC =2α∠BAM =∠BAD △BAM △BAD(ASA)，，得出，，因此∠M =∠ADB =αBM =BD =BC AB =AM ∠ACB =∠M =α，设，则，由八字形得出
∠ABM =∠M =α∠ACD =x ∠BDC =x +α，解得，即可得出答案．
x +(x +α)=α+α+αx =α本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．11.【答案】6x 3y
【解析】解：2x 2⋅3xy =2×3x 2⋅x ⋅y =6x 3y.根据单项式与单项式的乘法运算，系数与系数相乘作为系数，相同的字母相乘，同底数
的幂相乘，底数不变指数相加，计算即可．
本题主要考查了单项式乘以单项式的法则，是基础题．
12.【答案】(−2,−1)
【解析】解：点关于x 轴对称的点的坐标是．
(−2,1)(−2,−1)平面直角坐标系中任意一点，关于x 轴的对称点的坐标是，记忆方法是结P(x,y)(x,−y)合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
13.【答案】1.2×10−3
【解析】解：．
0.0012=1.2×10−3故答案为：．
1.2×10−3绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科a ×10−n 学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n 为a ×10−n 1≤|a|<10由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】90x =60x−6
【解析】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做个零件，
(x−6)依题意，得：．
90x =60x−6故答案为：．
90x =60x−6设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做个零件，根据工作时间工作总量工作(x−6)=÷效率结合甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.【答案】或30°120°
【解析】解：如图1中，当射线CP 在内部时，∠ACB
，D 关于CP 对称，
∵A ，
∴∠ACP =∠DCP =15°，
∴∠ACD =30°，
∵CA =CD ，
∴∠CAD =∠ADC =12(180°−30°)=75°，，
∵CA =CB ∠ACB =90°，
∴∠CAB =45°．
∴∠BAD =∠CAD−∠CAB =75°−45°=30°如图2中，当射线CP 在外部时，∠ACB
同法可得，．
∠CAD =75°∠BAD =∠CAB +∠CAD =45°+75°=120°故答案为或30°120°
分两种情形：如图1中，当射线CP 在内部时．如图2中，当射线CP 在①∠ACB ②∠ACB 外部时，分别求解．
本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
16.【答案】4
【解析】解：延长AF 交BC 于M ，过F 作，由
FN ⊥AB ，
∠FAD +∠C =∠EAD +∠E =90°
，
∴∠FAD =∠EAD ，设，则，，
∴DF =DE DE =4x DF =4x BF =5x ，∴S △ABF S △AFD =12×FB ×AD 12×FD ×AD =12×AB ×FN 12×AD ×FD ，
∴AB AD =FB FD ，
∴AB AD =5x 4x =54，
∵AB =AC ．
∴AD CD =4故答案为：4．
延长AF 交BC 于M ，过F 作，由，得出FN ⊥AB ∠FAD +∠C =∠EAD +∠E =90°，则，设，则，，由可求出∠FAD =∠EAD DF =DE DE =4x DF =4x BF =5x S △ABF S △AFD AB AD =，可求出．
54AD CD =4本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：去分母，得，
(1)x−3=2x 解得，
x =−3经检验是原方程的解；
x =−3去分母，得，
(2)x(x +1)−3(x−1)=x 2−1解得，
x =2经检验是原方程的解．
x =2【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验(1)即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到(2)分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】证明：依题意
，≌
，∵△ABC ，
，在和中△ABD ，{∠ADB =∠A′D′B′∠B =∠B′AB =A′B′
≌
，
∴△ABD ．【解析】根据全等三角形性质得出，，求出
AB =A′B′∠B =∠B′，证出≌即可．
∠ADB =∠A′D′B′=90°△ABD △A′B′D′本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，此题是一道比较好的题目，难度适中．19.【答案】解：原式；
(1)=a(x 2−4)=a(x +2)(x−2)原式．
(2)=p 2−4p +4=(p−2)2【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(1)原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
(2)此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20.【答案】解：原式；
(1)=4ab 原式．(2)=x +2x(x−3)⋅x−3x −x−3(x−3)2⋅x−3x =x +2x 2−1x =2
x 2【解析】直接利用分式的性质化简得出答案；
(1)直接去括号进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
(2)此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的性质是解题关键．
21.【答案】4 1 5 4 3 3 n
−m +2【解析】解：如图，为所作；
(1)△A 1B 1C 1
，B ，，；
(2)A(4,1)(5,4)G(3,3)点P 关于直线l 的对称点的坐标为．
(3)P 1(2−m,n)故答案为4，1；5，4；3，3；，n ．
−m +2利用网格特点和对称的性质画出A 、B 、C 的对称点、、，从而得到(1)(2)A 1B 1C 1△A 1B 1
各顶点的坐标；
C 1可先把得到P 点关于y 轴的对称点，然后把此对称点向右平移2个单位得到可得到(3)点的坐标．
P 1本题考查了作图轴对称变换：轴对称几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图−形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】 5
(x−3)【解析】解：由题意得，每名二级技工一天粉刷墙面；
(1)(x−3)m 2故答案为：(x−3)
依题意列方程：；解得，经检验是原方程的解，(2)72−124x =726(x−3)x =15x =15即每名一级技工和二级技工一天分别能粉刷、墙面；
15m 212m 2设需要m 名一级技工，需要n 名二级技工，
(3)根据题意得，，
{15m +12n =540300m +200n =10600解得：，
{m =32n =5答：至少需要5名二级技工，
故答案为：5．
根据题意列出代数式即可；
(1)根据题意列分式方程，解方程即可得到结论；
(2)设需要m 名一级技工，需要n 名二级技工，根据题意列方程组即可得到结论．
(3)本题考查了分式方程的应用，一元二次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．23.【答案】13
【解析】解：如图1中，(1)
设．
AD =x ，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC =90°，
∵∠BAC =60°，
∴∠ACD =30°，
∴AC =2AD =2x ，
∵∠ACB =90°，
∴∠B =30°，
∴AB =2AC =4x ，
∴BD =AB−AD =3x ，
∴AD BD =13故答案为．13如图2中，结论：．
(2)BC =2AE
理由：延长AE 至F ，使，连接BF ，CF ，DF ，
EF =AE ，，，
∵AE =EF ∠AEC =∠DEF DE =CE ≌，
∴△AEC △FED(SAS)，，
∴DF =AC =BD ∠EAC =∠EFD ，
∴DF//AC ，为等边三角形，
∴∠BDF =∠BAC =60°△BDF ，，，
∴∠DBF =∠BAC =60°∵AB =BA AC =BF ≌，
∴△ABF △BAC(SAS)，
∴AF =BC ．
∴BC =2AE 如图3中，在AB 上取点G ，使，连接CG ．
(3)AG =AC
，，
∵AG =AC ∠A =60°为等边三角形，
∴△ACG ，，
∴GC =AC =BF ∠AGC =60°，
∴∠BFD =∠AGC =60°，
∵∠CDG =∠BDF ≌，
∴△DGC △DFB(AAS)，
∴DB =DC ，
∴∠DBC =∠DCB =∠ACD ．
∴∠ACD =180o −60o 3=40°设，解直角三角形求出用x 表示即可解决问题．
(1)AD =x BD()如图2中，结论：延长AE 至F ，使，连接BF ，CF ，DF ，证明(2)BC =2AE.EF =AE △BDF
为等边三角形，≌即可解决问题．
△ABF △BAC(SAS)如图3中，在AB 上取点G ，使，连接想办法证明(3)AG =AC CG.∠DBC =∠DCB =∠ACD 即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】4 4
【解析】解：，
(1)∵a 2−2ab +b 2+(b−4)2=0，
∴(a−b )2+(b−4)2=0，，
∵(a−b )2≥0(b−4)2≥0，
∴a =b.b−4=0，，
∴a =4b =4故答案为4，4．
如图1中，分别过A ，B 作OC 的垂线，垂足分别为D ，E ．(2)
，
∵∠BEO =∠ADO =∠AOB =90°，，
∴∠BOE +∠OBE =90°∠BOE +∠AOD =90°，
∴∠AOD =∠OBE ，
∵BO =AO ≌，
∴△ADO △OEB(AAS)，
∴OD =BE ，
∵∠BPC =30°，
∴PB =2BE =2OD ，，
∵AP =BO =AO AD ⊥OP ，
∴OD =DP ，过P 作，
∴PB =PO PF ⊥OB ，即点P 的纵坐标的为2．∴OF =12OB =2如图2中，以OA 为边在x 轴下方作等边，连接GN ．
(3)△OAG
∵∠MON=∠AOG=60°
，
∴∠MOA=∠NOG
，
∵OM=ON OA=OG
，，
∴△OMA△ONG(SAS)
≌，
∴∠OGN=∠OAM=45°45°
，即点N在y轴与OG夹角为的直线GN上运动，
CH.ON+CN
作点C关于GN的对称点H，连接OH，NH，则的最小值即为OH的长．(2)PB=PO∠BPC=30°∴∠ACO=60°
由，，，
∠COG=360°−60°−60°−45°−60°=135°
在四边形ACOG中，，
∴OC//NG∵CH⊥GN
，，
∴OC⊥CH
，
∴∠OCH=90°
，
∴∠OHC=∠ACH=30°
，
∴OH=2OC=2t ON+CN
，即的最小值为2t．
(1)
利用非负数的性质即可解决问题．
(2)E.
如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，利用全等三角形的性质以
PB=OP
及直角三角形30度角的性质证明即可解决问题．
(3)△OAG GN.△OMA
如图2中，以OA为边在x轴下方作等边，连接证明
△ONG(SAS)∠OGN=∠OAM=45°45°
≌，推出，即点N在y轴与OG夹角为的直线GN
CH.ON+CN
上运动，作点C关于GN的对称点H，连接OH，NH，则的最小值即为OH 的长．解直角三角形求出OH即可．
本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。