微积分学的实际应用
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则称导函数f’(x)为f(x)的边际函数。 在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。 由导数的定义知，f’(x)是f(x0)在x点的变化率。 即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f’(x0)个单位。 如边际成本C’(x0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单
位产品，成本增加C′(x0)。
微积分学的实际应用
一、微分学在几何中的应用
曲线的切线问题
y
y f ( x)
N T
C
割线MN的斜率为
M
y y0 f ( x ) f ( x0 ) tan , x x0 x x0
o
x0
x
x
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 ), 切线MT的斜率为 k lim x x0 x x0
g (r, h) V r 2h 0
即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h.
把
h V / r
2
代入 S (r , h) , 得到
2
V V 2 S (r ) 2 [r r 2 ] 2 [r ] r r
求驻点(临界点,critical point)
令C′(x)=0，x=140
又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或 其他的生物种群的生存不影响该生物种群的 生存。 3、假设时刻t生物种群数量为N(t) ，由于N(t) 的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为N0
问题分析
• 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
在Δt时段种群数量的净增加量=在t+Δt时刻 的种群数量—在t时刻的种群数量。
文字方程改写为符号方程
N (t t ) N (t ) N (t )t
模型建立
Malthus模型
dN ( t ) N (t ) dt N ( 0) N 0
模型求解
N ( t ) N 0e
t
结果验证
上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可
以很好吻合； 人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种 指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合 理性。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题:
分析和假设：
首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.
要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
s s s0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0 t t
当 t t 0时, 取极限得
瞬时速度 v lim v lim s s0 lim s
t t0 t t0
t t0
S (r , h) 2 r h r r 2 [r rh]
2 2 2
V r h, h V / r .
2 2
于是我们可以建立以下的数学模型：
r 0, h 0
min S (r , h)
其中 S 是目标函数, 是约束条件 (V 已知, 即罐内体积一定),.
八 积分学在经济中的应用
在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数 在某区间的总量。
九 积分学在生活中的应用
这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。 同时也说明边际成本与平均成本有区别。
2 极值在经济中的应用 利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件， 可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。
某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为 C(x)=0.5x2+36x+9800（元）， 那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？ 平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/x C’(x)=0.5-9800/x2
r0
0
r0 0
知道
V r0 3 2
是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为临界点是唯一的.
最小面积为
V 2 3 S (r0 ) 6 6r0 2
七 积分学在几何，物理中的应用
几何：平面图形的面积； 体积；
平面曲线的弧长；
物理：功；
水压力；
引力和平均值等．
八 积分学在经济中的应用
解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米.
A dA 2r r
2 10 0.05
(厘米 ).
2
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
四 微分学在经济问题中的应用
来自百度文库
1 边际函数的应用
定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导，
t 0
t
2. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
3. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物 体
的线(面,体)密度.
三 微分学在近似计算中的应用
半径10厘米的金属圆片加热后半径伸长了 , 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
V 2 V 3 0 S (r ) 2 (2r 2 ) 2 (2r ) r r
V r0 2
3
V V h 2 r0
3
4 2 3 4 2V 3 3 8V 2r0 d0 2 2 2 V V 2
又由于
S (r )
r0
2V 2 (2 3 ) r
位产品，成本增加C′(x0)。
微积分学的实际应用
一、微分学在几何中的应用
曲线的切线问题
y
y f ( x)
N T
C
割线MN的斜率为
M
y y0 f ( x ) f ( x0 ) tan , x x0 x x0
o
x0
x
x
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 ), 切线MT的斜率为 k lim x x0 x x0
g (r, h) V r 2h 0
即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h.
把
h V / r
2
代入 S (r , h) , 得到
2
V V 2 S (r ) 2 [r r 2 ] 2 [r ] r r
求驻点(临界点,critical point)
令C′(x)=0，x=140
又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或 其他的生物种群的生存不影响该生物种群的 生存。 3、假设时刻t生物种群数量为N(t) ，由于N(t) 的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为N0
问题分析
• 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
在Δt时段种群数量的净增加量=在t+Δt时刻 的种群数量—在t时刻的种群数量。
文字方程改写为符号方程
N (t t ) N (t ) N (t )t
模型建立
Malthus模型
dN ( t ) N (t ) dt N ( 0) N 0
模型求解
N ( t ) N 0e
t
结果验证
上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可
以很好吻合； 人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种 指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合 理性。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题:
分析和假设：
首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.
要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
s s s0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0 t t
当 t t 0时, 取极限得
瞬时速度 v lim v lim s s0 lim s
t t0 t t0
t t0
S (r , h) 2 r h r r 2 [r rh]
2 2 2
V r h, h V / r .
2 2
于是我们可以建立以下的数学模型：
r 0, h 0
min S (r , h)
其中 S 是目标函数, 是约束条件 (V 已知, 即罐内体积一定),.
八 积分学在经济中的应用
在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数 在某区间的总量。
九 积分学在生活中的应用
这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。 同时也说明边际成本与平均成本有区别。
2 极值在经济中的应用 利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件， 可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。
某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为 C(x)=0.5x2+36x+9800（元）， 那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？ 平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/x C’(x)=0.5-9800/x2
r0
0
r0 0
知道
V r0 3 2
是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为临界点是唯一的.
最小面积为
V 2 3 S (r0 ) 6 6r0 2
七 积分学在几何，物理中的应用
几何：平面图形的面积； 体积；
平面曲线的弧长；
物理：功；
水压力；
引力和平均值等．
八 积分学在经济中的应用
解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米.
A dA 2r r
2 10 0.05
(厘米 ).
2
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
四 微分学在经济问题中的应用
来自百度文库
1 边际函数的应用
定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导，
t 0
t
2. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
3. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物 体
的线(面,体)密度.
三 微分学在近似计算中的应用
半径10厘米的金属圆片加热后半径伸长了 , 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
V 2 V 3 0 S (r ) 2 (2r 2 ) 2 (2r ) r r
V r0 2
3
V V h 2 r0
3
4 2 3 4 2V 3 3 8V 2r0 d0 2 2 2 V V 2
又由于
S (r )
r0
2V 2 (2 3 ) r