高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案(最新整理)

x 2 cos 2 y 2 2sin 2
,
x 4 cos ,
即
y
4
4
sin
,
从而 C 2 的参数方程为
x
y
4 cos 4 4sin
，（
为参数）.
（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 4 sin ，曲线 C 2 的极坐标方程为 8sin .
射线
3
与 C1 的交点
A 的极径为 1
【解析】将
x
y
4 5
5cos t 5sin t
消去参数 t
，化为普通方程 (x
4) 2
(y
5) 2
25 ,
即 C1 ： x2 y 2 8x 10 y 16 0 .
将
x
y
cos sin
代入
x2
y2
8x
10 y
16
0
得
2 8 cos 10 sin 16 0 .
（Ⅱ） C2 的普通方程为 x2 y 2 2 y 0 .
【解析】（1）依题意有 P 2 cos, 2sin ,Q 2 cos 2, 2sin 2 , 因此 M cos cos 2,sin sin 2 .
M
的轨迹的参数方程为
x y
cos sin
cos 2 sin 2
为参数，0
2
（2）M 点到坐标原点的距离
d x2 y2 2 2 cos ,0 2 .
4sin 3
，
射线
3
与 C 2 的交点 B 的极径为 2
8sin 3
.
所以
.
11.(2014· 新 课 标 全 国 卷 Ⅱ 高 考 文 科 数 学 · T23) (2014· 新 课 标 全 国 卷 Ⅱ 高 考 理 科 数 学·T23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ
点满足 OP
2OM
,P
点的轨迹为曲线
C2.
(Ⅰ)求 C2 的方程.
(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于极点的交 3
点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 AB .
【思路点拨】第（Ⅰ）问， OP 2OM 意味着Ｍ 为 O, P 的中点，设出点 P 的坐标，可由
【解析】（1）由已知可得
A
2
cos
3
,
2
sin
3
,
B
2
cos
3
2
,
2 sin
3
2
，
C
2
cos
3
,
2
sin
3
,
D
2
cos
wk.baidu.com
3
3 2
,
2 sin
3
3 2
，
即 A1, 3, B 3,1 ,C 1, 3, D 3, 1 .
(2)设 P 2 cos,3sin , 令 S PA 2 PB 2 PC 2 PD 2 ，则
【解析】（1）C 的普通方程为 x 12 y2 1 (0≤y≤1).
x 1 cos t
可得
C
的参数方程为
y
sin
t
(t 为参数，0≤t≤π).
（2）设 D（1+cos t,sin t），由（1）知 C 是以 G（1，0）为圆心，1 为半径的上半圆.因为 C
在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t= 3 ,t= .
点 M 的参数方程（曲线 C1 的方程）求得点 P 的参数方程；
第（Ⅱ）问，先求曲线 C1 和 C2
的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线＝ 3
与 C1
的交点
A
的极径
1
，求得射线
＝ 3
与
C2
的交点
B
的极径
2
， 最后 只需 求｜AB｜＝
｜2 1 | 即可.
xy 【精讲精析】（I）设 P(x,y),则由条件知 M( 2 , 2 ).由于 M 点在 C1 上，所以
1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线 C1 的参数方程为
x 4 5cos t,
y
5
5 sin
t,
（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin .
（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
S 16 cos2 36sin2 16 32 20sin2 .
因为 0 sin2 1, 所以 S 的取值范围是32,52 .
12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x
y
2 cos 2 2sin
， （
为参数），M
是
C1 上的动点，P
当 时， d 0 ，故 M 的轨迹过坐标原点.
11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考 理科·
Ｔ23）相同
已知曲线
C1
的参数方程是
x y
2cos 3sin
(为参数)
，以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2 ，正方
形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A, B,C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极
当α= 时,|AB|取得最大值,最大值为 4.
由
x 2 x 2
y2 y2
8x 10 y 2y 0
16
0
，解得
x
y
1或
1
x
y
0
.
2
所以 C1与 C2 交点的极坐标分别为 (
2, ) ， (2, )
4
2
2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点 P，Q 都在曲线 C：
x 2 cos t
y
2sin t
t为参数
上，对应参数分别为 t=α
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标.
(2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2-2 x=0.
联立
x
x
y y
y
x
，解得
x
y
=2cosθ,θ∈
0,
2
.
(1)求 C 的参数方程.
(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D
的坐标. 【解题提示】(1)先求出 C 的普通方程,然后再化为参数方程. (2)利用 C 的参数方程设出点 D 的坐标,利用切线与直线 l 垂直,可得直线 GD 与直线 l 的斜率相 同,求得点 D 的坐标.
(2, )
坐标为 3 .
（1）求点 A, B,C, D 的直角坐标.
（2）设 P
为 C1上任意一点，求
PA 2
PB
2
PC
2
PD
2
的取值范围.
【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得 A，B，C，D 的坐标.
（2）由 C1 方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 关于 的 函数式，利用函数的知识求取值范围.
3
故
D
的直角坐标为
1
cos
3
,
sin
3
3 ,即 2 ,
3 2
.
10.选修 4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)
x t cos ,
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C1
:
y
t
sin
,
(t 为参数,且 t≠0),其中 0≤α<π,在以 O 为极点x,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
，或
x
y
.
C2 与 C3 交点的直角坐标为 (, ) 和 (
, ).
(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π.
因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2 cos α|=4|sin(α- )|.
与 t =2α（0＜α＜2π）,M 为 PQ 的中点.
（1）求 M 的轨迹的参数方程.
（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是 否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数 表示出点 M 的坐标， 可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点 M 到原点的距离 d,判断 d 能否为 0,可得 M 的轨迹是否过原点.