模型组合讲解——运动学

模型组合讲解——运动学

虞利刚

【模型概述】

在近年的高考中对各类运动的整合度有所加强，如直线运动之间整合，曲线运动与直线运动整合等，不管如何整合，我们都可以看到共性的东西，就是围绕着运动的同时性、独立性而进行。

【模型回顾】 一、两种直线运动模型

匀速直线运动：两种方法（公式法与图象法） 匀变速直线运动：2

002

1at t v s at v v t +=+=，，几个推论、比值、两个中点速度和一个v-t 图象。

特例1：自由落体运动为初速度为0的匀加速直线运动，a=g ；机械能守恒。 特例2：竖直上抛运动为有一个竖直向上的初速度v 0；运动过程中只受重力作用，加速度为竖直向下的重力加速度g 。特点：时间对称（下上t t =）、速率对称（下上v v =）；机械能守恒。

二、两种曲线运动模型

平抛运动：水平匀速、竖直方向自由落体 匀速圆周运动：

ωωmv mr r

mv ma F F =====22

向向法

【模型讲解】

一、匀速直线运动与匀速直线运动组合

例1. （04年广东高考）一路灯距地面的高度为h ，身高为l 的人以速度v 匀速行走，如图1所示。

（1）试证明人的头顶的影子作匀速运动； （2）求人影的长度随时间的变化率。

图1

解法1：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O 处，在时刻t ，人走到S 处，根据题意有OS=vt ，过路灯P 和人头顶的直线与地面的交点M 为t 时刻人头顶影子的位置，如图2所示。OM 为人头顶影子到O 点的距离。

图2

由几何关系，有OS OM l

OM h -=

联立解得t l

h hv

OM -=

因OM 与时间t 成正比，故人头顶的影子作匀速运动。

（2）由图2可知，在时刻t ，人影的长度为SM ，由几何关系，有SM=OM-OS ，由以上各式得

t l

h lv SM -=

可见影长SM 与时间t 成正比，所以影长随时间的变化率l

h lv

k -=

。 解法2：本题也可采用“微元法”。设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程)0(→∆∆t t ，则人由AB 到达A ’B ’，人影顶端C 点到达C ’点，由于t v S AA ∆=∆'则人影顶端的移动速度：

图3

h

H Hv t S h H H

t

S v AA t CC t C -=

∆∆-=∆∆=→∆→∆'

0'0lim lim

可见C v 与所取时间t ∆的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。

评点：本题由生活中的影子设景，以光的直进与人匀速运动整合立意。解题的核心是利

用时空将两种运动组合，破题的难点是如何借助示意图将动态过程静态化，运用几何知识解答。

二、匀速直线运动与匀速圆周运动组合

例2. （2005年上海高考）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm 的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图4（a ）为该装置示意图，图4（b ）为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中

s t s t 3231108.0100.1--⨯=∆⨯=∆，。

（1）利用图（b ）中的数据求1s 时圆盘转动的角速度； （2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向； （3）求图（b ）中第三个激光信号的宽度△t 3。

图4

解析：（1）由图线读得，转盘的转动周期s T 8.0=，

角速度s rad s rad T /85.7/8

.028.62===

πω （2）激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动（理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，

表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动）。 （3）设狭缝宽度为d ，探测器接收到第i 个脉冲时距转轴的距离为r i ，第i 个脉冲的宽度为△t i ，激光器和探测器沿半径的运动速度为v 。

)

1

1(2)11(222

32312121223t t dT r r t t dT r r vT r r r r T

r d

t i i ∆-∆=-∆-∆=-=-=-=

∆πππ，，

由以上式联立解得s t t t t t 32

12

131067.02-⨯=∆-∆∆∆=

∆

评点：将直线运动与圆周运动组合，在近年高考中出现率极高，如2000年全国高考中“激光束转动测小车的速度”等，破题的关键是抓住时间、空间的关联。

三、匀加速直线运动与匀加速运动组合

例3. （2004年北京高考）如图5是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形成匀强电场，分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a 、b 两种颗粒从漏斗出口下落时，a 种颗粒带上正电，b 种颗粒带上负电。经分选电场后，a 、b 两种颗粒分别落到水平传送带A 、B 上。

已知两板间距d=0.1m ，板的度m l 5.0=，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为kg C /1015

-⨯。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度g 取2/10s m 。

图5

（1）左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？

（2）若两带电平行板的下端距传送带A 、B 的高度H=0.3m ，颗粒落至传送带时的速度大小是多少？

（3）设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半。写出颗粒第n 次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒反弹的高度小于0.01m 。