大学物理《普通物理学简明教程》第十二章 电磁感应 电磁场

第十二章 电磁感应 电磁场 问题
12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转.
解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向里，并且由2I B r
μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁
通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的
方向由楞次定律确定．
（1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞
次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向.
（2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零.
12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生.
12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］．
C
I
解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d L ε=
⨯⎰v B l ⋅，在图(a)与(c)中的运动情况中，
⨯v B 的方向与d l 方向垂直，铜棒中没有感应电动势．在图(b)中，铜棒绕中心轴运动，左右两段产生的感应电动势大小相等，方向相反，所以铜棒中总的感应电动势为零．
12-4 有一面积为S 的导电回路，其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为
何值时，回路中i ε的值最大；角θ为何值时，回路中i
ε的值最小？请解释之．
解 由i d d d cos S S dt dt
εθ=--⎰B B S =⋅，可得当0θ=时，回路中i ε的值最大，当90θ=时，回路中i
ε的值最小.
12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁，那么，当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后，由于电磁感应，线圈中会产生时间间隔为t ∆的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗？如0.1m r =，4
=210s t -∆⨯，炮弹的速度为多少？
解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈，线圈中会产生感应电流， 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为 1500m s r v t
-==⋅∆
12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈
的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中，线圈中是否产生感
应电流？并指出其方向．（１）把线圈拉扁时；
（２）把其中
(a)(b)(c)
B
一个磁极很快地移去时；（３）把两个磁极慢慢地同时移去时．
解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.
12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱
体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问:
在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零？各点的k
E 是否均为零？1k d L ⋅⎰E l 和2
k d L ⋅⎰E l 各为多少？ 解 由于磁场只存在于圆柱体内，在回路1L 上各点d d B t 为常量，在回路2L 上各点d B t 为零.
空间中各点的感生电场分布为
r R < k d 2d r B E t
= r R > 2k d 2d R B E r t
= 可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.
对于在回路1L 11k d d d d d d L L S S t t
⋅=-=-⎰⎰
B B E l S ⋅ 对于回路2L 22k d d 0d L t Φ⋅=-=⎰E l
12-8 一根很长的铜管铅直放置，有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．
解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成，当磁棒下落，每通过一个线圈，线圈中的磁通量都会发生变化，在下落过程中，铜管中始终会有感应电流产生，并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反，因此，磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.
12-9 有一些矿石具有导电性，在地
质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来
发现它，这叫电磁勘探．在示意图中，A 为
通有高频电流的初级线圈，Ｂ为次级线圈，
并连接电流计Ｇ，从次级线圈中的电流变
2
化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时，技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗？利用问题12-9图相似的装置，还可确定地下金属管线和电缆的位置，你能提供一个设想方案吗？
解 该检测方法利用的原理是电磁感应。

通有高频电流的初级线圈A 产生的交变磁场在导电矿石内产生涡电流，由涡电流产生的变化磁场，使其附近的次极线圈中B 产生感应电流，引起电流计Ｇ中指针偏转。

（在探测中要使初、次级线圈的相对位置不变，以保证次级线圈B 中感应电流的变化由导电矿石中涡电流产生的磁场引起。

）
要确定地下金属管线和电缆的位置，可以将通有
高频电流的初级线圈A 和接有电流计的次级线圈Ｂ
组成一个探测仪，使探测仪沿地面运动。

当靠近金属
管线时，管线中由于初级线圈的作用会产生感应电
流，同时使得线圈B 中产生感应电动势，电流计指针
发生偏转，当电流计指针变化最大时，可以判断出管
线在探测仪正下方.
12-10 如图所示，一个铝质圆盘可以绕固定轴
OO 转动．为了使圆盘在力矩作用下作匀速转动，常在圆盘的边缘处放一永久磁铁．圆盘受到力矩作用后先作加速运动，当角速度增加到一定值时，就不再增加，试说明其作用原理．
解 我们可以把铝质圆盘看作许多根从盘中心到边缘的铝棒，当圆盘绕轴转动时，通过磁场的铝棒切割磁力线，铝棒中产生感应电动势，其方向由盘心指向边缘，同时在盘内闭合回路中产生感应电流，圆盘受到与外力矩相反的安培力力矩的作用.最初，外力矩大于安培力矩，圆盘做加速运动，角速度增大，同时安培力矩增大，导致圆盘加速度减小，当安培力力矩等于外力矩时，圆盘角加速度等于零，角速度增加到最大，安培力矩不再增加，圆盘匀速转动.
12-11 如图所示，设有一导体薄片位于与磁感强度B 垂直的平面上．（１）如果B 突然改变，则在点
P 附近B 的改变可不可以立即检查出来？为什么？
（２）若导体薄片的电阻率为零，这个改变在点P 是始终检查不出来的，为什么？（若导体薄片是由低电
阻的材料做成的，则在点P 几乎检查不出导体薄片下侧磁场的变化，这种电阻率很小的导体能屏蔽磁场变化的现象叫做电磁屏蔽）
解 （1）不能立即检测出来．电磁场改变，在导体薄片内产生涡电流，会有电磁场产生，而电磁场在导体中衰减很快，不能通过导体，即大部分电磁场都会被导体屏蔽掉，所以对于导体一边电磁场的突变，在导体另外一边不能立即检测出来.
（2）导体电阻率越小，即电导率越高，电磁场在其中的衰减越快，导体电磁屏蔽的效果越显著，当导体薄片的电阻率为零时，电磁场能被完全屏蔽，因此，导体一边电磁场突变，在导体另外一边始终检测不出来.
B P
12-12 如果要设计一个自感较大的线圈，应该从哪些方面去考虑？
解线圈的自感只与线圈匝数、线圈大小和线圈中磁介质有关，要设计自感较大的线圈，需要用较细的导线绕制，以增加单位长度内的匝数，并选取较大磁导率的磁介质防于线圈内．
12-13有的电阻元件是用电阻丝绕成的,为了使它只有电阻
而没有自感,常用双绕法(如图).试说明为什么要这样绕.
解将电阻丝双绕成一组线圈，当通入电流，相邻两根线圈
中的电流流向相反，它们产生的磁场方向相反，通过回路线圈中总
的磁通量为零，因此没有自感.
12-14有两个线圈,长度相同,半径接近相等,试指出在下列三
种情况下,哪一种情况的互感最大？哪一种情况的互感最小？(1)两个线圈靠得很近,轴线在同一直线上；(2)两个线圈相互垂直,也是靠得很近；(3)一个线圈套在另一个线圈的外面.
解互感的大小表示了两线圈的耦合程度，两线圈的互感除了跟线圈大小，形状、匝数有关，还与它们的相互位置有关. 若一线圈中电流所产生的磁场贯穿另一个线圈的部分越大，它们之间的互感越大. 在本题所述的三种情况中，第三种情况的互感最大，第二种情况中的互感最小.
12-15试从以下三个方面来比较静电场和有旋电场：(1)产生的原因；(2)电场线的分布；(3)对导体中电荷的作用.
解（1）静电场是由空间中的静止电荷所激发的，有旋电场是由变化的磁场产生的；
（2）静电场中电场线是有源场，始于正电荷，终止于负电荷；有旋电场的电场线是闭合的；
（3）它们对导体中的电荷都有作用力，但有旋电场对电荷的作用力不是库仑力，它对电荷作用促使电荷积累，形成电势差.
12-16变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间发生？变化磁场所产生电场，是否也一定随时间发生变化？
解不一定．当电场随时间变化恒定时，它所产生的磁场恒定；当磁场随时间变化恒定时，它所产生的电场也是恒定的．
习题
12-1一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为
5sin100t
Φ=-
8.0⨯10π，式中Φ的单位为Wb，t的单位为s.求在2
=⨯
t-
1.010s 时，线圈中的感应电动势.
解 线圈中总的感应电动势为 ()()1d 2.51V cos 100s d N
t t Φε-=-=π 在21.010s t -=⨯时，
()()
12.51V cos 100s 2.51V t ε-=π=
12-2 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆. 使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R ,求感应电流的表达式和最大值.
解 由于导线的转动，通过面积为212
S r =π的半圆形导线的磁通量发生改变，导线中会产生动生电动势．取初始时刻0t =时，导线平面的法
线与磁场的夹角0θ=. 经过时间t 导线平面转过
的角度为
2f t θ=π
所以穿过回路的磁通量随时间的变化式为
()21cos cos 22
t BS r B f t Φθ==ππ 由法拉第电磁感应定律可知，回路中感应电动势为 22d sin 2d r f B f t t
Φε=-
=ππ 回路中感应电流为 22sin 2r f B I f t R
π=π 感应电流的最大值为 22max
r f B I R
π=
12-3 有一测量磁感强度的线圈,其截面积24.0cm S =,匝数160N =匝,电阻50R =Ω.线圈与一内阻30i R =Ω的冲击电流计相连.若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从
冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯.问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？
解 线圈平面转动前后，通过线圈的磁链变化为
21NBS ψψψ∆=-=
此过程中流过导体截面的电量为
()i i NBS q I t t R R t R R ψ∆=∆=
∆=+∆+ 由上式可知，磁感强度为
()i 0.05T q R R B NS
+=
=
12-4 如图所示,一长直导线中通有 5.0A I =的电流,在距导线9.0cm 处,放一
面积为20.10c m ,10匝的小圆线圈,线圈中的磁场可看作是均匀的.今在
21.010s -⨯内把此线圈移至距长直导线10.0cm 处. 求:(1)线圈中平均感应电动势；（2）设线圈的电阻为
21.010-⨯Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．
解 带电直导线激发的磁场为非均匀磁场，由于
线圈面积较小，我们可以认为穿过线圈的磁场为均匀
磁场.
当线圈在19.0cm r =、210.0cm r =处，通过线圈平
面的磁链分别为 01112N IS NB S r μψ==π 0222
2N IS NB S r μψ==π 所以线圈中平均感应电动势为 8021
2111 1.1110V 2N IS t t r r μψψε-⎛⎫-==-=⨯ ⎪∆π∆⎝⎭
（2）通过线圈横截面的感应电荷为
I
821
1.1110C q R ψψ--==⨯
12-5 如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线OP 以匀速率v 向右移动时，求导线中
感应电动势的大小．哪一端电势较高？ 解 如图所示，连接导线OP 两端，使导线构成
一闭合回路，此闭合回路由直导线OP 、半圆形导线OAP 组成，由于磁场分布均匀，所以此闭合回路中
的感应电动势为零，0ε=.
所以半圆形导线中的感应电动势的大小与直导线OP 中的感应电动势大小相等,即
2OAP OP BRv εε=-=
由⨯v B 可知, P 端电势较高.
12-6 长度为L 的铜棒，以距端点r 处
为支点，并以角速率ω绕通过支点且垂直于
铜棒的轴转动．设磁感强度为B 的均匀磁场
与轴平行，求棒两端的电势差.
解 以支点为原点O ，在棒上距原点l
处取一小段线元d l , 其速度为v ，则它产生
的电动势为
d ()d ε=⨯v B l ⋅
将上式积分可得 1d (2)2
L r AB r B l l BL L r εωω--=-=--⎰
12-7 如图所示，长度为L 的导体棒OP ，处于
均匀磁场中，并绕OO '轴以角速度ω旋转，棒与转轴
夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行. 求OP 棒在图
示位置处的电动势.
解 如图，在棒上距O 点为l 处取一小段线元d l ，
其速度为sin v l ωθ=，所以导体棒产生的电动势为
d OP OP ε=
⨯⎰v B l ⋅ 0
sin cos(90)d L l B l εωθθ=-⎰
B R O
P A
v
A
O
21(sin )2
B L ωθ=
12-8 如图所示，金属杆AB 以匀速率12.0m s v -=⋅平行于一长直导线移动，此导线通有电流40A I =．问：此杆中的电动势为多大？杆的哪一端电动势较高？
解 如图所示，建立坐标系，在x 处取一小段线元
，此处的磁感强度为 2I B x
μ0=
π 所以，杆中电动势为 1.0m 50.1m d d 3.8410V 2AB AB
I v x x με-0=⨯-=-⨯π⎰⎰v B x =⋅
电动势方向由B 指向A ，A 端电动势较高．
12-9 如图所示，在一“无限长”直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框．该线框在垂直于导线方向以匀速率v 向右移动．求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向．
解 矩形线框中的感应电动势为各边框导线产生的感应电动势之和． 由l d ε=⨯⎰
v B l ⋅可知，矩形线框中AB 、CD 与导线垂直，它们产生的感应电动势为零，所
以线框的电动势为DA 、BC 两边所产生的电
动势之和．
在图示位置处，导线DA 、BC 中产生的感应
电动势分别为
222DA Il v
Bl v d
με0==π ()212BC Il v
d l με0=-π+ 这两边导线中电动势方向相反，此时线框中总的感应电动势为
I I x I v
()1212DA BC Il l v d d l μεεε0=-=π+
其方向为顺时针．
12-10 如图所示，一长为l 、质量为m 的导体棒CD ，其电阻为R ，沿两条平行的导电轨道无摩擦的滑下，导轨的电阻可不计，导轨与导体构成一闭合回路．导轨所在的平面与水平面成θ角，整个装置放在均匀磁场中，磁感强度B 的方向为铅直向上．求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD 的最大速
度m v ． 解 （1）导体在重力的作用下，沿轨道下滑，回路中磁通量发生变化，导体中有感应电动势产生，其大小为cos Blv εθ=，导体中有感应电流通过，从而受到水平向左的安培力作用，最初，导体棒的速度较小，导体沿轨道加速运动，速度增大，同时安培力也增大，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导体加速度为零，速度达到最大值．导体达到最大速度由安培定律可得，导体受到的安培力大小为 22cos B l v F IBl Bl R R ε
θ=== 所以导体下滑的动力学方程为 d sin cos d v mg F m
t θθ-= 由上两式可得 222d d cos sin v t B l v g mR
θθ=- 将上式积分可得t 时刻导体棒的速度为 222cos 222sin 1cos B l t mR mgR v e B l θθθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
- （2）由上问中分析可知，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导
N F
体加速度为零，速度达到最大值，即
222max cos sin B l v mg R
θ
θ= max 222sin cos mgR v B l θ
θ
=
另外，由上问中速度与时间的关系可知，当t →∞，222cos 0B l t mR
e θ
→-
速度达到最大 max 222
sin cos mgR v B l θ
θ
=
12-11 有一磁感强度为B 的均匀磁场，以恒定的变化率
d d B
t
在变化．把一块质量为m 的铜拉成截面半径为r 的导线，并用它做成半径为R 的圆形回路，圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为 d 4d m B
I d t
ρ=
π
式中ρ为铜的电阻率，d 为铜的密度．
证明 由电磁感应定律可知，圆形回路中的感应电动势为 2d d d d R t t ΦB
ε==π 又圆形回路总电阻为
22l R R R S r r
ρρ
ρ2π2'===π 所以回路中的感应电流为
2d 2d Rr B
I R t
ε
ρπ==
' 又由导体总的质量22
2m dV r Rd ==π可知2
2m
Rr d
π=
π，代入上式可得 d 4d m B
I d t
ρ=π
12-12 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与圆柱轴线平行．如图所示有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率d d B
t
为常量．试证棒上的感应电动势的大小为
ε=
证明 变化的磁场会产生感生电场k E ，感生电场的方向与d d t
-
B
遵从右手螺旋定则．如图，连接OA ，OB ，使OAB 成为一闭合回路，回路中的感应电动势大小为为 k k k k d d d d d d OAB
OABO
OA
AB
BO
t
Φε=
⋅=⋅+⋅+⋅=
⎰
⎰⎰⎰E l E l E l E l 又OA ，OB 沿半径方向，与感生电场k E 垂直，所以OA ，OB 中感应电动势为零，所以AB 段，即金属棒上的感应电动势的大小为
k d d d d d OAB OAB AB
B
S t t
Φε=⋅=
=⎰E l
=
12-13 一半径为R ，电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中，B 的方向与盘面垂直，B 的值为()0
t
B t B τ
=，式中0B 和τ为常量，t 为时间．（1）求盘中产生的
涡电流的电流密度；（2）若0.20m R =，
86.010m ρ-=⨯Ω⋅，0 2.2T B =，
18.0s τ=，计算圆盘边缘处的电流密度．
解 （1）变化的磁场会产生感生电场，从而
在金属薄圆盘中产生涡电流．取圆盘中心为O ，圆盘上的感生电场线为一组以O 为圆心的同心圆，各点场强方向沿切线方向，圆盘上半径为r 的点感生电场强度大小为0
d 2d 2rB r B E t τ
==，该点电流密度大小为
2B E
j r ρ
ρτ
=
=
其方向与该点电场强度的方向一致．
B
（2）在边缘处，即0.20m r R ==处的电流密度为
520
2.0410A m 2B j R ρτ
-=
=⨯⋅
12-14 截面积为长方形的环形均匀密螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．
解 设螺绕环中线圈电流为I ，以螺绕环中心为圆点O ，取半径为r 12()R r R <<的圆形回路，由安培定律可得，12R r R <<区域内的磁感强度为 02NI
B r
μ=π
穿过螺绕环上线圈中总的磁链为 2
1
2001d d d 22R S
S
R NI
N Ih
N
N S r r
r
μμψ===
ππ
⎰
⎰
⎰
B S ⋅ 202
1
ln
2N Ih
R R μ=π
螺绕环的自感为
202
1
ln 2N h R L I R μψ==π
12-15 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为1S 和2S ，磁导率分别为1μ和2μ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感（设管的截面很小）．
解 设螺线管中线圈电流为I 由于螺线管截面很小，我们可以利用
N
B nI I l
μμ
==来求管内的磁感强度，其中μ为管内介质磁导率．本题中螺线管内由两种不同的介质填充，通过磁导率分别为1μ、2μ的介质截面的磁感强度分别为 11
N B I l μ= 22N B I l
μ=
22
,S N
则通过螺线管截面的总的磁链为
()21211221122N I
NB S NB S S S l
ψψψμμ=+=+=+
螺线管的自感为
()21122N L S S I l
ψ
μμ==+
12-16 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l 的
一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．
解 长为l 、相距为d 的两平行直导线可以看作无限长、宽为d 的矩形回路的一部分，设回路中
通有顺时针电流I ．如图所示，建立坐标轴Ox ，
则在两平行导线间的磁感强度为 ()
0022I
I
B x
d x μμ=
+
ππ-
则通过两导线之间的矩形（宽为d 、长为l ）面积
的磁通量为
0d d ln
d a
S
a
Il
d a
Bl x a
μΦ--===
π
⎰⎰
B S ⋅ 所以长为l 的两平行导线的自感为
0ln
l
d a
L I
a
μΦ
-=
=
π
12-17 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A B ''，每个线圈的自感均为L ，求：（1）A 和A '相接时，B 和B '间的自感1L ，（2）A '和B 相接时，A 和B '间的自感2L ．
解 （1）设当只有一组线圈中通有电流I 时，它穿过自身线圈回路的磁通量为LI Φ=；则当两组线圈中都通有相同的电流时，穿过两组线圈回路中总的磁通量为4Φ．
当A 和A '相接，线圈AB 和A B ''中的电流方向相反，通过线圈的磁通量也相反，
总的磁通量为1Φ=0，所以B 和B '间的自感10L =.
（2）A '和B 相接时，线圈AB 和A B ''中的电流方向相同，通过两线圈总的磁
l
通量为2ΦΦ=4，所以A 和B '间的自感24L L I
Φ
4==．
12-18 如图所示，一面积为24.0cm 共50匝的小圆形线圈Ａ，放在半径为20cm 共100匝的大圆形线圈Ｂ的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈Ａ内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --⋅时，线圈Ａ中感应电动势的大小和方向．
解 （1）设线圈Ｂ中通有电流I ，则它在中心处的磁感强度为0B
2I
B N R
μ=，
则通过小线圈的磁链为
0B 2A A A A A I
N BS N N S R
μψ==
则两线圈的互感为
60
B
6.2810H 2A
A A M N N S I
R
μψ-=
==⨯
（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为1
50A s --⋅时，1d 50A s d I
t
-=-⋅，则线圈Ａ中的感应电动势为
4d 3.1410V d A I
M
t
ε-=-=⨯ 其方向与线圈Ｂ中的电流方向相同．
12-19 如图所示，两同轴单匝圆线圈Ａ、Ｃ的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ，若r 很小，可认为线圈Ａ在线圈Ｃ处产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈Ｃ的匝数为N 匝，则互感又为多少？
解 设线圈Ａ中通有电流I ，它在线圈Ｃ处产生的磁感强度为 ()
2032
2
22IR
B R d μ=
+
则穿过线圈Ｃ中的磁链为
()
22
032
222C C IR r BS R d μψπ==
+
所以两线圈的互感为 ()
22
032
2
22C
R r M I
R d
ψμπ==
+
12-20 一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面，圆心到长直导线间的距离为d ，求它们之间的互感．
解 如图所示，以取圆形回路中心为原点O ，建立坐标轴Oxy ．设长直导线中通有电流I ，它在线圈平面内的磁感强度为
()
02I
B d x μ=
π+
在圆形回路上取平行于长直导线、宽为d x 的面元d S ，d 2sin d S R x θ=，则穿过此面元的磁通量为
()
0d 2sin d 2I
R x d x μΦθ=
π+
又cos x R θ=，代入上式有 22
0d cos d cos I d R d R d R μΦθθθ⎛⎫
-=-+ ⎪π+⎝⎭
将上式积分可得
2200cos d cos I
d R d R d R μΦθθθπ
⎛⎫
-=-+ ⎪π+⎝⎭
⎰
(0I d μ=
所以，导线与圆形线圈之间的互感为
(0M d I
Φ
μ=
=
12-21 一个直径为0.01m ，长为0.10m 的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Ω．求：（1）如把线圈接到电动势 2.0V ε=的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电路时算起，要使线圈
储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？
I
解 （1）密绕螺线管的自感为20N S
L l
μ=，当接上电动势 2.0V ε=的电池
后，线圈中的电流为I R
ε
=
，则线圈中所储存的磁能为
2225
0m 2
1W 3.2810J 22N S LI lR
με-===⨯ 螺线管内磁能密度为
3m
m W 4.17J m Sl
-==⋅w
（2）线圈接上电池ε后，线圈内的电流变化规律为
1R t L
I e R ε-⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
当电流稳定后可达最大值m I R
ε
=，设线圈储存磁能为最大储存磁能的一半时，电
流为I ，则有
22m 111222LI LI =⋅，
此时2
m I I =，将其代入电流变化规律式可得此时经过的时间为
4ln(1 1.5610s L t R -=-
=⨯
12-22 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I ，试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为2
16I
μπ．
解 设导体半径为R ，则在导体内部磁感强度为 02
2Ir
B R
μ=π
因此导体内部的磁能密度为
2
2B μ=w m 则单位长度导线内所贮藏的磁能为
2
200m m 20
1
W d 2d 2216R
V Ir I V r r R μμμ⎛⎫
==
π= ⎪ππ⎝⎭
⎰⎰
w
12-23 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一0.50T 的均匀磁场中的能量密度相等，该电场的电场强度为多少？
解 0.50T 的
均匀磁场中的能量密度为 2
2B μ=w m 设均匀电场中电场强度为E ，则其中电场能量密度为 201
2
E ε=
w e 由题可知 =w w m e 则电场强度为 81
1.5110V m E -==⨯⋅。