1.4.2单位圆与周期性
《单位圆与周期性》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《单位圆与周期性》教学设计教材首先通过对终边相同角的正、余弦函数值的分析得出公式，使学生初步了解函数的周期性，进而给出周期函数的定义。
特别探究正弦函数、余弦函数的周期、最小正周期，以便于后续的学习和应用。
【知识与能力目标】1、掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系2、理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
【过程与方法目标】通过对周期函数的定义和三角函数周期的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】1、使学生认识到事物之间是有联系的，终边相同角的三角函数值相等；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
【教学重点】掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系【教学难点】理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分复习回顾正、余弦函数的定义、定义域、值域、在各个象限的符号。
二、探究新知： 阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题。
1、终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系。
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )。
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )。
2、一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期。
3、特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。
三、例题解析求下列各角的三角函数值。
(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°； (3)sin 174π；(4)cos 253π。
单位圆与周期性
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。
北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性 学案
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.1+4.2 单位圆与周期性 Word版含解析
§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)3.理解周期函数的定义．(难点)[基础·初探]教材整理1正、余弦函数阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：图1－4－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．( ) (3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P 在终边上的位置无关．( ) (4)若sin α<0，则α为第三或第四象限角．( )【解析】 根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin 30°就无法进行运算，改用弧度制时，π6＋sin π6就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin α<0，α的终边也可能落在y 轴的负半轴上，因而(4)错．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 周期函数阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题． 1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(x ＋k ·2π)＝sin_x (k ∈Z )．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(x ＋k ·2π)＝cos_x (k ∈Z )．2．一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期．3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2k π(k ∈Z )是正弦、余弦函数的周期．( )(2)f (x )＝x 2满足f (－3＋6)＝f (－3)，故f (x )＝x 2为周期函数．( ) (3)对正弦函数f (x )＝sin x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以π2是f (x )的周期．( )【解析】 (1)错误．k ∈Z 且k ≠0时，2k π是正弦、余弦函数的周期． (2)错误．因为f (－2＋6)≠f (－2)． (3)错误．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2≠f (π)不满足任意性．【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]θ.【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.【自主解答】当a>0时，r＝a2＋a2＝2a，得sin θ＝a2a＝22，cos θ＝a2a ＝22.当a<0时，r＝a2＋a2＝－2a，得sin θ＝a－2a＝－22，cos θ＝a－2a＝－22.利用三角函数的定义求值的策略1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．[再练一题]1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.【导学号：66470006】【解】设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，则r＝a2＋(2a)2＝5|a|.当a>0时，sin θ＝2a5|a|＝25＝255，cos θ＝a5|a|＝15＝55.当a<0时，sin θ＝2a5|a|＝－25＝－255，cos θ＝a5|a|＝－15＝－55.(1)(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．【精彩点拨】(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．【自主解答】(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°·cos 265°>0.(2)∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ<α<kπ＋π2(k∈Z)．当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝(2m ＋1)(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )． ∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x 轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y 轴的右侧时，cos α>0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．3．由k π<θ<k π＋π2(k ∈Z )确定θ所在象限时应对k 进行分类讨论．[再练一题]2．(1)判断sin 2·cos 3sin 4·cos 6的符号；(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．【解】 (1)∵2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0， ∴sin 2·cos 3sin 4·cos 6>0.(2)∵sin α>0，∴α的终边在一、二象限或y 轴的正半轴上． ∵cos α<0，∴α的终边在二、三象限或x 轴的负半轴上． 故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限．[探究共研型]【提示】 相等．探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．探究3 公式sin(2k π＋x )＝sin x ，k ∈Z ，cos(2k π＋x )＝cos x ，k ∈Z ，揭示了什么规律，有什么作用？【提示】 (1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．求下列各角的三角函数值． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°；(3)sin 174π；(4)cos 253π.【精彩点拨】 当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．【自主解答】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝sin π6＝12.(2)cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)sin 174π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π×2＋π4＝sin π4＝22. (4)cos 253π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π×4＋π3＝cos π3＝12.1．利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值． 3.[再练一题]3．求下列三角函数值． (1)cos(－1 050°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4；(3)log 2(4 sin 1 110°)．【解】 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同． ∴cos(－1 050)°＝cos 30°＝32. (2)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴角－31π4与角π4的终边相同． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin π4＝22.(3)∵sin 1 110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin 30°＝12， ∴log 2(4sin 1 110°)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＝log 22＝1.[构建·体系]1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sin α等于()A.34B．43C．45D．35【解析】∵r＝32＋42＝5，∴sin α＝4 5.【答案】 C2．cos 25π6的值为()A．－12B．－32C．12D．32【解析】cos 25π6＝cos⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝cosπ6＝32.【答案】 D3．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.【导学号：66470007】【解析】f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.【答案】 14．使得lg(cos α·tan α)有意义的角α是第________象限角．【解析】要使原式有意义，必须cos α·tan α>0，即需cos α·tan α同号，所以α是第一或第二象限角．【答案】一或二5．求下列各式的值．(1)sin 1 470°；(2)cos 9π4.【解】(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝1 2.(2)cos 9π4＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
单位圆与周期性讲解
－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)
本
课 时
＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°
栏
目 开 关
＝1＋ 22－ 22＋(－1)＋12＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.2
1.sin(－1 380°)的值为
本
课 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值
时
栏 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点.
目
开 3.正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一
关
三角函数值相等，根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义 不难理解这一规律.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2
关 (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. 答案 {x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
探究点二 三角函数线的作法 问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
栏 目
sin2α＋cos2α＝1；
开
关 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
分别是O P 1 、O P 2 .
ppt精选
27
题型三 利用三角函数线求角的范围
解析：如图所示，先作出直线 y 3 ，与单位圆
2
有两个不同的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两
个 ，分别是 OP1、OP2，在
. 或 2 33
y
3 2
0 2 内，yα的值 为
P2
P1
M2 O M1
x
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3） 有向线段OM是余弦线.
4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作
垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有
向线段AT就是正切线.
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32
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题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
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5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
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自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
必修4-1.4 .1~1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的定义
虹屏居
4
新 知 预读
预读1解析： 在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位 圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始 边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一 的点P（u，v），我们把点P的横坐标v定义为角α 的正弦函数，记作v=sinα；点P的横坐标u定义为 角α的余弦函数，记作u=cosα． 对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边 与x轴的非负半轴重合，终边上任一点Q(x，y)， OQ的长度为r，
余弦函数值．
解 x 2，y 3；
y
r (2) 2 (3) 2 13，
x
O
P
y 3 3 13 sin ； r 13 13 x 2 2 13 cos . r 13 13
虹屏居
17
新知检测
2.确定下列三角函数值的符号:
(1) cos 250 ；
Q y α N MO x
利用△POM∾△QON，
由相似比求出．
P
虹屏居
12
新知探究
例2 在直角坐标系的单位圆中，α= -/4， （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标．
y
解 （1）如图，以原点为角的顶点， 以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 /4，与单位圆交于点P，作PM垂直x轴， 垂足为M，则∠MOP为所求的角．
5、函数 f(x)=x2 满足 f(-3+6) = f(-3)，这个函数是不是以6为 周期的周期函数？
虹屏居
8
新知思议
1、在单位圆中，定义正弦函数、余弦函数时，分别 给出了角α的终边在第一象限、第二象限、第三象 限、第四象限的情况，说明了什么？ 对于给定的角α，点P的横坐标u、纵坐标v都是唯 一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自 变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时， 都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是 多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的 周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考 ？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师
分,挖掘不透均会导致错误.如本例中用到了三角形中的最小角,需要
在记住三角形内角和为π的基础上,推导出最小角的范围 .
2.图像的利用
在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ 时(0,，]
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
3
第三十四页，共34页。
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
第十九页，共34页。
【变式训练】(2015·长春高一检测(jiǎn cè))sin 的值是 ( ) 【解析】选C.
第二十页，共34页。
类型二 正弦(zhèngxián)、余弦函数的基本性质
【典例】1.(2015·济南高一检测)函数y=
的定义域为____.
2.函数y=cosx在区间
上的值域为______.
第二十一页，共34页。
【解题探究】1.题1中开偶次方根(fānggēn)时,对被开方数有什么要求?
提示:开偶次方根(fānggēn)时要求被开方数为非负数.
2.余弦函数在区间
上[ 的,单2调] 性是怎样的?
提示:在区间 上是减少3 的3.
[ , 2] 33
第十二页，共34页。
知识点2 正弦、余弦函数的基本性质 观察图形,回答下列问题:
问题:正弦、余弦函数的基本性质与其(yǔqí)周期性有什么关系?
第十三页，共34页。
【总结提升】 对正弦(zhèngxián)、余弦函数性质的四点说明 (1)正、余弦函数的性质是利用正弦(zhèngxián)、余弦函数的定义结合 单位圆直观观察得来的. (2)这些性质适用于整个函数,而不仅仅是在[0,2π]上的性质.
第二十九页，共34页。
易错案例 正、余弦函数基本性质的应用(yìngyòng) 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
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§4.2单位圆与周期性
一、教学目标：
（一）知识与技能：理解周期函数的定义，最小正周期的概念；
（二）过程与方法：借助单位圆理解正弦函数，余弦函数的周期性
（三）情感态度与价值观：激发学习的学习积极性；激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学难点：周期函数的定义及应用
三、教学重点：正弦函数，余弦函数的周期性
四、学情分析：
五、学法与教法：探究讨论法
六、教学过程：
（一）、复习回顾
当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：第一象限第二象限第三象限第四象限
sinα
cosα
（二）、预习
同学们自学课本15-16页内容，完成下列问题。
1.在单位圆中，由任意角的正弦函数，余弦函数定义可得：
一、终边_________________相等。
即_____________________________________①
二、终边__________________相等。
即 ______________________________________②
我们把①②两个式子叫做正弦函数，余弦函数的诱导公式（一）
接着观察两个式子，我们发现，对于任意一个角x，每增加_______,
其中____________均不变，所以正弦函数，余弦函数值均是_______________________. （1）通过上面的例子，我们把这种_________________________的函数称为周期函数。
例如：__________
（2）最小正周期：_________________________________________
（3）一般地，对于函数f(x)，如果存在__________,对定义域内的_________,都有______________.我们把f(x)称为________,T为这个函数的________.
（三）、探究新知
1、对周期函数的理解
周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个x ”的“任意一个x ”的含义是指定义域内的
所有的x 值，即如果有一个0x ，使得)()(00x f T x f ≠+，则T 就不是函数f(x)的周期。
注意，周期函数定义中的“T ”是____________
2、对最小正周期的理解
并不是所有周期函数都存在最小正周期。
函数：f(x)=c （c 为常数），对于函数f （x ）的定义域内的每一个值x,都有f （x+T ）=c ，因
此f （x ）为_______,由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f
（x ）没有最小正周期
3、 周期函数的周期有无限多个。
若T 是周期，则对于定义域中任意x ，总有
)())2(())1(()(x f T k x f T k x f kT x f ==-+=-+=+ 都成立。
（四）、巩固深化，发展思维
1.有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等 ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等
③若sin α>0,则α是第一，二象限的角 ④若α是第二象限的角，且p （x ，y ）是其终边上的一点，则2
2sin y x y +-=
其中正确的命题个数为（ ）
A 1 B2 C3 D4
2. 以下几个命题中，正确的有（ ）
①存在函数f （x ）定义域中的某个自变量0x ，使f （0x +T ）=f(0x ),则f(x)为周期函数 ②
存在实数T ，使得对f （x ）定义域内的任意一个x ，都满足f （x+T ）=f （x ），则f （x ）为
周期函数 ③周期函数的周期是唯一的。
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
3. 已知f （x ）是R 上的偶函数，对于定义域R 内的任意一个x ，都有f （x+6）=f （x ）+f
（3）成立，若f （5）=2，则f （2009）为（ ）
A 2006
B 2
C 1
D 0
（五）利用诱导公式（一）求下列正弦值和余弦值。
（1）sin（－1740°）（2）cos1470°
（3）sin750°（4）cos300°
（5）sin（－
π
6
11
）（6）cos
π
4
9
（7）sin1125°（8）sin（－1305°）
（六）已知函数f（x）是周期为3的奇函数，且f（－1）=a，则f（7）为_____________ （七）已知函数f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，f（x+3）=f（x），则f（8）为_________________
（四）、归纳整理，整体认识：（1）本节课主要学习了什么内容？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
（五）、布置作业：P16练习题
七、板书设计：
八、关键词：单位圆周期性
九、教学反思：。