高级微观经济学

¿ 拟凹 边际效用递减
u(x) 是凹函数
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效用函数实例
拟线性偏好效用函数
u( x1, x2 ) v( x2 ) x1
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CES效用函数
u(x1, x2 ) [x1 x2 ]1/
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1.3 消费者问题
28
消费者选择
– 偏好关系：·
–
消费集：X
R
n
• 可行集：B X
– 最优化选择：
无差异集：L(x0) {x u(x) u(x0) u0}
u(x1, x2 ) u0 x2 g(x1, u0 )
x2
x0
L (x0 )
x1
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上优集(Superior Set)
S(u0) {x x X ,u(x) u0} S(u0) {x x X ,u(x) u0} 【严格上优集】
x2
而且 t* 是唯一的。因为：
假设 t1e : x和t2e : x
t1e : t2e（传递性）
t1 t2 （严格单调性）
x R+ 存在唯一的 ux t* 0
使得 u xe : x
9
证明u(x) 代表偏好关系
x1 ,x 2
R
n
由（P.1）式得到 u(x1)和u(x2 )
x1 · x2
u(x1)e · u(x2 )e （传递性）
x1 · x2 xt · x2 t [0,1]
uxt ux2
u(xt ) min{u(x1),u(x2 )}
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· 具有凸性 u(x) 拟凹
x1 · x2，u(xt ) min{u(x1), u(x2 )} u(x2 ) xt · x2 t [0,1]
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效用函数与无差异曲线
R
n
上的偏好关系
满足连续性和严格单调性，那么
就存在一个连续的实值函数来表
示：
u(g)
:
R
n
R
4
首先证明A、B 为闭集
e=(1,1,...,1)
te
X
R
n
t0
A :{t 0 te · x} x2
B :{t 0 te ¶ x} }
u(x)e
e• x
o
B
0
A
x1
5
C=te | t 0是¡ n+的闭集
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效用函数极值存在性
如果 · 满足假设1.2 则u(x)是B 上的连续函数
由于B 同时又是紧集
效用函数存在极大值
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极值的唯一性
x* B 使得 x B
都有x* · x
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偏好与效用函数
– 假设消费者偏好具有完备性、可传递 性、连续性、严格单调性，并且严格 凸的。
– 那么这种偏好关系可由一个连续的、 严格递增的并且严格拟凹的实值函数
u(x) 来表示。（根据定理1.1和1.3）
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消费者最优化问题
MaxxX u(x)
s.t. p x y
·
所以，v(x）也能代表偏好关系
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定理1.3 偏好性质与效用函数
令
·
是由u
(g)
:
R
n
R 表示，那么
1 当且仅当 · 是严格单调的，u(x) 是
严格递增
2 当且仅当 · 是凸的，u(x) 是拟凹 的
3 当且仅当 · 是严格凸的， u(x) 是 严格拟凹的
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证明定理1.3之二
· 具有凸性 u(x) 拟凹
u(x1) u(x2 ) （严格单调性）
10
x
u( x1)e
x1
u( x2 )e
e• x2
0
x1
11
最后证明 u(x)是连续函数
效用函数在开区间上的原象
u1((a, b))
{x
R
n +
a
u(x)
b}
（定义）
{x
R
n +
ae p
u(x)e p
be} （单调性）
{x
R
n +
ae
p
x
p
be}
（传递性）
高级微观经济学
经济学院 桑乃泉
1
教材: 《高级微观经济理论》
上海财经大学出版社
Geoffrey A.Jehle Philip J.Reny
2
1.2.2 效用函数
定义
实值函数
u(g)
:
R
n
R
是表示
偏好关系的效用函数，如果
x0
,x1
R
n
,
x0 ·
x1
u(x0 ) u(x1)
3
定理1.1
定义在消费集
由? 的连续性得，? x ? x是¡ n+的闭集
CI 范x,CI x均为? n+的闭集
定义f: n+
,f (x) 1 x ,f连续 n
A=f CI 范x,B f CI x
所以A、B都是闭集
6
然后证明A、B为闭区间
任取t A, 若t>t, 那么te ? te, 由 贩的严格单调性，te f te x, 因此，t A，从而A是一个闭区间 同理B也是一个闭区间，即
S (u0 )
x2 x0
L(u0 )
x3
x1
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· 严格单调 u(x) 严格递增
x x0,都有x S(u(x0 ))
x2
L(u0 )
S (u0 )
x
x0
x1
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u(x) 可导性
无差异曲线光滑 边际效用
u(x) 0 （偏好单调性）
MUi xi 0 （偏好严格单调性）
【几乎处处成立】
24
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最优化图解
弱偏好集 ·
预算集B
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预算集B
预算集：
Bp,y
{x
Hale Waihona Puke Rn +px
y}
预算收入 y
市场价格 p ? 0
0 B B 非空
p ? 0 B 是有界、闭集
预算集B为紧集
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复习: (威尔斯拉斯)极值存在性定理
设f:S ¡ 是一个连续实值映射， S是一个非空的紧子集，那么存在 一个向量x* S 与另一个向量x%S, 使得：f(x%) f(x) f(x*), x S
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正单调变换
v(x) f (u(x)) 其中 f : R R
在 u 的取值范围上是严格递增函数。
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定理1.2：
效用函数对正单调变换的不变性
实值函数 u(x) 能够表示偏好系，
那么它的正单调变换也能够表示该 偏好关系。
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x1 · x2
u x1 u x2 f u x1 f u x2 (f (.)为单调函数) vx1 vx2
f (ae)I p (be) 是开集
（因为 f (ae)和 p (be) 的补集是闭集）
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u1((a, b)) 是开集
u
(g)
:
R
n
R
连续
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效用函数的单调变换
u(x) 表示偏好关系 x0 · x1 u(x0 ) u(x1)
v(x) u(x) 8
v(x) u(x)3
v(x) u(x)2
A= t ,+, B 0, t
7
再证明A与B的交集非空
任取t 0, 由 · 的完备性， te 范x 或者te x, 所以t A, 或者t B
则 A U B=0，+，
从而 t t, A I B非空
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证明A与B的交集只含唯一元素
AI B t* AI B
t*e 范x 而且 t*e x t*e : x