第七章强度理论
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第七章强度理论_2
上述强度条件具有如下特点 （1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定 试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度 条件。 对于复杂应力状态， 因 σ1、σ2、 σ3有任意比值，不可能做 所有情况的试验。另外，加载也有困难。
七、 各种强度理论的适用范围及其应用
1.适用范围 （1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论; （2）塑性材料选用第三或第四强度理论; （3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生
脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;
（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.
1.最大切应力理论 (第三强度理论)
根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最 大切应力所在截面滑移而发生屈服失效. 基本假说: 最大切应力max 是引起材料屈服的因素. 屈服条件
max
σs 2
在复杂应力状态下一点处的最大切应力为
屈服准则 : 强度条件
max
σ1 σ 3 σ s
（b)
图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发 生体积改变也发生形状改变. 图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与 原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.
( ε )a (V )a ( d )a
( ε )b (V )b
1 2 (σ1 σ 2 σ 3 ) E
适用范围：它既突出了最大主切应力对塑性屈服的作用， 又适当考虑了其它两个主切应力的影响，它与塑性较好材料的 试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米塞斯 （Mises ）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不 稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的 载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
第七章 应力应变分析 强度理论
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e
x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）
3.重要结论（Important conclusions）
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章 强度理论
max
max
max
M max Wz
FS max S * z max bIz
3
2.复杂应力情况
1 2FpF难以确定极限应力u
材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料破坏的现象中总
结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同因素，那么复杂应力状态和简单
形状改变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理 论更符合试验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论 复杂。
8
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
脆性材料 ｝
r 2 1 ( 2 3 )
拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。 破坏条件： vd 强度条件：
1 1 2 2 s [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E 6E
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
容易破坏，这与实际不相吻合。
6
三、第三强度理论（最大切应力理论）
引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论在什么应力 状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了材料在轴向
拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。
破坏条件：
max 13
1 3
2
u
s
2
强度条件：
1 3
该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形式简明。但 是其忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。且该理论只适 用拉、压许用应力相同的材料。
max
max
M max Wz
FS max S * z max bIz
3
2.复杂应力情况
1 2FpF难以确定极限应力u
材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料破坏的现象中总
结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同因素，那么复杂应力状态和简单
形状改变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理 论更符合试验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论 复杂。
8
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
脆性材料 ｝
r 2 1 ( 2 3 )
拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。 破坏条件： vd 强度条件：
1 1 2 2 s [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E 6E
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
容易破坏，这与实际不相吻合。
6
三、第三强度理论（最大切应力理论）
引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论在什么应力 状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了材料在轴向
拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。
破坏条件：
max 13
1 3
2
u
s
2
强度条件：
1 3
该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形式简明。但 是其忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。且该理论只适 用拉、压许用应力相同的材料。
第七章_应力状态和强度理论
第 1 页/共 4 页第七章 应力状态和强度理论7-3 横截面上 AF =σ α截面上 αστασσσαα2sin 22cos 22=+=，强度条件 ][432sin 2][)2cos 1(2σατσασαα≤=≤+=A F A F ，等价于 ][2sin 342)2cos 1(2max σαασ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+=A F A F e ，由0=ασd d e，并比较︒=0α或︒60的e σ，得使e σ最小的角度︒=60α 7-7 内力 m kN M ⋅-=2.7，kN F s 10-=应力 MPa I Myz 55.10==σ，MPa bI S F z z s 88.0*-==τ 主应力 MPa 62.1022221=+⎪⎭⎫⎝⎛+=τσσσ，MPa 073.022223-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=τσσσ主平面方位 ︒=⇒=-=74.4167.022tan 00αστα7-8(d) MPa MPa x y x 50200-=-==τσσ，， ︒=45α截面上：MPaMPax yx yy102cos 2sin 2402sin 2cos 22=+-==--=αταστατασσσαα主应力：MPa x y y4122221=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=τσσσ， MPa x y y6122223-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τσσσ主平面方位：︒=⇒=--=34.39522tan 00ασταyx7-15(a) MPa z 50=σ——为主应力，另两个主应力由下列应力决定 MPa MPa MPa x y x 403070-===τσσ，，MPa MPa x y x yx x y x yx 3.5227.94222222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=''=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='τσσσσστσσσσσ主应力 MPa MPa MPa z 3.5507.94321=''===='=σσσσσσ，， 最大切应力 MPa 7.44231max =-=σστ7-16(a) MPa MPa MPa 105070321＝，＝，＝σσσ A 点：MPa MPa A A 2030==τσ，在2σ与3σ决定的应力圆上使切使劲达极值7-18 立方体边长 a ＝20mm不计摩擦，各面上的应力为主应力顶面 MPa aF3523-=-=σ，侧面021<=σσ 主应变021==εε，又)]([13211σσνσε+-=EMPa 151321-=-==⇒σννσσ7-21 k 处截面上的内力： e M laM =，l M F e s =应力： bhFb I S F s z z s 230*==＝，τσ︒=45α方向即为主应力方向第 3 页/共 4 页τστσ-==31，主应变 )(131451νσσεε-==︒E由上可得 ︒+=45)1(32ενElbhM e7-22 钢球各点应力状态相同 MPa 14321-===σσσ体应变 )(21321σσσνθ++-=E体积改变 3101054.6m V V -⨯==∆θ7-23 MPa MPa MPa z y x 403070-===σσσ，，MPaMPax y x y x x y x y x 28.54)(21)(2172.944)(21)(212222=+--+=''=+-++='τσσσσστσσσσσ主应力 MPa MPa MPa 28.55072.94321==σσσ，＝， []3213232221/99.12)()()(61m m kN Ev d ⋅=-+-+-+=σσσσσσν7-24 平面应力状态 MPa MPa x y x 15015===τσσ，，主应力 MPa MPa x x x27.9027.242232221-===+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σστσσσ，， 按第一强度理论：][11t r σσσ<= 按第二强度理论：][59.26)(3212t r MPa σσσνσσ<=+-= 满意强度条件。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
强度理论及其应用资料
max
F S* S max z max bI z
13
§ 7-2 四种常用的强度理论
3.梁的相当应力强度条件
1
2
2
2
2
2 0
＝
3
2
－
2
＋
2
2
腹板与翼缘交界处
代入相当应力表达式：
r3
1
，
3
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
可得
r3 2 4 2，r4 2 3 2
§ 7-2 四种常用的强度理论
式简明。在对用塑性材料制成的构件进行强度计算时，经常采用这
个理论。但是该理论忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。 且该理论只适用拉、压许用应力相同的材料。
§ 7-2 四种常用的强度理论
四、第四强度理论（形状改变能密度理论）
此理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。即材料
无论在什么应力状态下，只要危险点处的形状改变能密度vd达到了 材料在轴向拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。
破坏条件：
vd
1
6E
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1
)2 ]
1
6E
2 s 2
强度条件： 12[(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2]
通过对几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，形状改 变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理论更符合试 验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论复杂。
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形， 所以应该采用第三或第四强度理论。
第07章 强度理论
ε1 = ε u
εu用单向拉伸测定，即： 用单向拉伸测定，
εu =
σu
E
因为： 因为：
1 ε 1 = (σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )) E
因此有： 因此有： σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 ) = σ u 强度条件为： 强度条件为：
σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 ) ≤
σu
n
= [σ ]
τ max ≤ [τ ]
研究复杂应力状态下材料破坏的原因， 研究复杂应力状态下材料破坏的原因 ， 根据一 定的假设来确定破坏条件， 从而建立强度条件， 定的假设来确定破坏条件 ， 从而建立强度条件 ， 这 就是强度理论的研究内容。 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： • 脆性断裂型： 脆性断裂型： 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 低碳钢：三向拉应力状态。 低碳钢：三向拉应力状态。 • 塑性屈服型： 塑性屈服型： 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 铸铁：三向压缩应力状态。 铸铁：三向压缩应力状态。 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关， 可见 ： 材料破坏的形式不仅与材料有关 ， 还与 应力状态有关。 应力状态有关。
例 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈 之间的关系。 服应力τs和拉压屈服应力σs之间的关系。 图示纯剪应力状态的主应力为： 解：图示纯剪应力状态的主应力为：
τ
σ1 = τ
σ 2 = 0 σ 3 = −τ
时材料发生屈服，因此有： 当τ =τs时材料发生屈服，因此有：
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学刘鸿文第七章-强度理论
]
]
3
3、莫尔强度理论的相当应力：
M
1 [[
L ]
y]
3
三、实用范围：
试用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限 强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的 破坏（岩石、混凝土等）。
案例分析1: 把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
案例分析2: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体 积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可 知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰 不破裂，而水管发生爆裂。
6、机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，
宜采用
强度理论进行强度校核？
A：第一、第二； B：第二、第三； C：第三、第四； D：第一、第四；
7、某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应 力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？
A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；
8、在三向压应力相等的情况下，脆性材料与塑性 材料的破坏形式为： 。
可选择莫尔强度理论。
莫尔强度理论
莫尔认为：最大剪应力是 使物体破坏的主要因素，但 滑移面上的摩擦力也不可忽 略（莫尔摩擦定律）。综合 最大剪应力及最大正应力的 因素，莫尔得出了他自己的 强度理论。
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
一、两个概念： 1、极限应力圆：
极限应力圆
s
O
s3
s2
脆性材料 第一强度理论 拉伸型和拉应力占主导的混 合型应力状态
第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少 数材料。 压应力占主导的脆断
二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况 不能只看材料必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响
工程力学第7章_2 强度理论jt
2
1
11
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因” 的假说。 三、常用的强度理论按上述两种破坏类型分为：
I. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最
大拉应力理论(第一强度理论)和最大伸长线应变理论(第二强度 理论)； II.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最 大切应力理论(第三强度理论)和形状改变能密度理论(第四强度
25
适用范围
铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通 常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理 论。炭钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形 式失效，宜采用第三和第四强度理论。
26
[例1]: 试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求 塑性材料许用切应力与许用拉应力之间的关系。 解：根据例7.3的讨论，纯剪切是拉—压二向应力状态，且
危险点的概念: 危险点是构件上材料受力最不利的点，是构件 破坏的起始点。危险点一般为内力最大截面上应力 最大的点。如果危险点不发生破坏，整个构件就不 会发生破坏。
8
如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立） 方法：限制危险点的应力水平。
(1)单向应力状态下强度条件的建立
max
max
FN ,max [ ] （拉压） A （正应力强度条件） M max [ ] （弯曲） W
二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；
当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。
2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其它应力状态时，使用第三或第四理论。 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：
max
较为满意的解释。
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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材料性能： 脆性材料
塑性材料
破坏方式： 脆性断裂
塑性屈服
28
现 象 1
现 象 2
一钢球放入沸腾的
深海海底的石块，受到很大的静水
热油中,将引起爆裂。
应力状态的影响
压力,不破裂而仅发生塑性变形。
塑性材料在三向拉应力作用下会发生脆性断裂。 脆性材料在三向压应力作用下会发生塑性屈服。 温度的影响 低温脆性
29
影响构件破坏方式的因素
影响因素
材料性质
工作条件
脆性材料 塑性材料 应力状态
温度
加载速度
30
应用
在力学、物理、材料科学、地球科学等学科中具有重要意义，
是各种工程结构强度计算和设计必须的基础理论。 历史
经典强度理论
（19世纪）
100多年
80多种准则
（目前）
31
研究现状举例
庄锦华等采用双剪强度理论和统一强度理论对拉压强度不相同的 材料进行了结构极限分析。 严宗达等采用双剪强度理论在平面应力特征线场方面作了开拓性 的工作。 范存新等用双剪强度理论对钢筋混凝土板和扁壳进行了塑性理论
Байду номын сангаас
5
强度 ：材料抵抗破坏的能力。
广 东 九 江 大 桥 被 撞 倒 塌
6
世贸大厦
倒塌过程
强度条件：构件最大工作应力不超过材料的许用应力。
7
基本变形强度条件的特点：
简单应力状态 根据试验结果直接建立 概念
强度理论：研究材料在复杂应力状态下破坏规律的科学。
提出问题
复杂应力状态下如何建立强度条件
？
8
二. 建立强度理论的思路
40
1 = 8 0 MPa
2 = –70 MPa
140 MPa
70 MPa
3 = –140 MPa
80 MPa
r 3 220MPa
r 4 195MPa
41
解： （1）求主应力
30MPa
40MPa
z = 50 主应力之一
由 x =70 ， y = 30 ，x = – 40
起的。
13
材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
1. 屈服失效 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。 2. 断裂 （1）脆性断裂 : （2）韧性断裂 : 无明显的变形下突然断裂。 产生大量塑性变形后断裂。
14
引起破坏的某一共同因素
最大正应力
最大线应变
最大切应力
形状改变能密度
15
三.
四种常用强度理论及其相当应力
43
1 94.72, 2 50, 3 5.28
（2）计算相当应力
σ r 3 89.44 MPa
r 4 77.5 MPa
44
例题 : 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论,
比较两者的危险程度。（设 ）
45
单元体为平面应力状态
x = 0 , y = ,x = -
20
第 二 类强度理论
3. 最大切应力理论 (第三强度理论) 根据： 当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿
最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大切应力 max 是引起材料屈服的因素。
21
屈服条件（屈服判据）：
单轴应力状态
max u
s 2
在复杂应力状态下一点处的最大切应力为
最大拉应力所在截面发生脆断破坏。
基本假说：
最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素。
17
脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限值）
强度条件： 1 [
2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
根据： 当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿 垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏。
1 0 1202 120 1202 120 02 2
120MPa
39
1 = 14 0 MPa
2 = 110 MPa 3 = 0
140 MPa
110 MPa
r 3 1 3 140MPa
r4
1 2
2 2 1402 128MPa 30 110
35
§7-8
各种强度理论的应用
根据实验资料，可把各种强度理论的适用范围归纳如下； 1.以上强度理论只于适用常温，静载条件下的匀质，连续， 各向同性的材料。 2.不论是 脆性材料 或 塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，
都会发生断裂，宜采用拉最大应力理论。
3.对于脆性材料，在二向拉伸应力状态下，应采用最大拉
混凝土结构的分析。
美国学者在J.Applied Mech.及Int.J.of Mech.Sci等刊物上发表了数 篇采用统一屈服准则研究问题的论文，得到了一系列适用于不同 材料的解。
33
“豆腐渣”工程触目惊心
1999年1月4日，长200米的重庆綦江彩虹桥垮塌，死
36人，多人受伤失踪。 1998年8月7日，号称“固若金汤”的九江长江大堤发生 决堤， 事后调查， 大堤里面根本没有钢筋。 朱总理 怒斥为“王八蛋”工程。 1996年初，投资43亿、我国铁路建设史上规模最大的 北京西客站投入使用后，几乎所有的站台都经过封闭 式返修。天篷玻璃、办公大厅和行包房更是大小毛病 不断。 1996年11月底，总投资 3200万元的 210国道改道工程 完工，仅过了两个月，还未交付使用的西延公路就沿 山段就变成翻浆路，路面凸凹不平、柏油不知去向。
34
“豆腐渣”工程触目惊心 1996年8月初，耗资2000万元的南京长江大桥路面 修补完工，专家称10年内无需大修。只过了2年， 此桥又进行了全面维修。 1998年10月，沈哈高速公路清阳河大桥出现坍 塌，造成 2人死亡、5人重伤。
1997年3月25日，福建莆田江口镇新光电子有 限公司一栋职工宿舍楼倒塌，死亡35人、重伤 上百人。
2 2
1
2
2
3
3
1
将
1
s
,
2
3
0
代入上式，可得材料的极限值
d ,u
(1 ) 2 6E
2 s
24
强度条件为
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2
25
5. 相当应力 把各种强度理论的强度条件写成统一形式
200kN
解：作钢梁的内力图。 C左 , D右 截面为危险截面 (1) 按正应力强度条件选择截面 取 C左 截面计算 F s，C左 = Fs，max = 200kN MC = Mmax = 84kN.m
200kN
A C
0.42 1.66
2.50
B D
（切应力强度条件）
（弯曲） （扭转）
max
max
T [ ] Wp
Fs S z* [ ] bI z
max [ ]
max
max [ ] 满足 max [ ]
是否强度就没有问题了？
3
max
美国Tacoma悬锁桥倒塌事件
4
美国Tacoma悬锁桥倒塌受力分析
50MPa
70MPa
求另两个主应力
42
x =70 ， y = 30 ，x = – 40
30MPa 40MPa
2 max 70 30 70 30 ( 40) 2 min 2 2
70MPa
94.72 5.28
1 94.72, 2 50, 3 5.28
建立强度理论的思路：
简单应力状态的试验资料
复杂应力状态的强度条件
10
铸 铁
低碳钢
韧性材料拉伸时为什么会出现 滑移线？
11
铸 铁
低碳钢
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
12
基本观点
构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面
现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，
而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引
第 七 章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
§7-2 平面应力状态的应力分析 主应力 §7-3 空间应力状态的概念
§7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
1
§7 – 6
强度理论及其相当应力
2 ( ) ()2 3 2 2
1
2 0
r4
2
3
2
46
单元体为空间应力状态 y= 为主应力之一 另两个主应力为：
max min
因为 ，则
1
2
3
47
1 2 3
内容提要 强度理论的概念 建立强度理论的思路
四种常用的强度理论
发展历史及研究现状
2
知识回顾
一.强度理论的概念
1. 杆件基本变形下的强度条件 FN ,max [ ] （拉压） max A （正应力强度条件）
（弯曲）
M max max [ ] W
max [ ]
应力理论。在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉
应力和压应力的情况下，宜采用莫尔强度理论。
36
4.对于象低碳刚一样塑性材料，除三轴拉伸应力状态外， 各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般宜采用形状 改变能密度理论，或最大切应力理论。 5.在三轴压缩应力状态下，不论是 脆性材料 或塑性材料， 通常都发生屈服失效，一般宜采用形状改变能密度理论。