雨中行走问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：山东理工大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 魏业

2. 陈军

3. 郭凤娇

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：丁树江

日期： 2010 年 8 月 28 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

雨中行走问题

摘 要

关 键 词

一 问题重述

人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少？

将人体简化成一个长方体，高m a 5.1= (颈部以下)，宽0.5m b =,厚0.2m c =.设跑步距离1000m D =,跑步最大速度s m v 5=,雨速s m u 4=,降雨量h cm w 2=,记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论。

二、问题分析

（1）如何度量一个人的形体？ （2）如何度量雨下的大小？

三、问题假设

1、降雨的速度和降水的强度保持不变；

2、人在雨中行走的速度是定量；

3、风速保持恒定；

4、人体视为一个长方体

5、假设产生的影响各个因素相互独立；

四、符号说明

D :人在雨中行走的距离（米） t ：人在雨中行走的时间（秒） v ：人在雨中行走的速度（米/秒） c b a ,,：人的高度，宽度和厚度（米）

w ：降雨量（降雨强度，单位时间平面上的降下雨水的厚度，厘米/小时） C :淋雨的总量（升） u ：雨滴落下的速度

p ：雨滴的密度（1,1=≤p p 时意味着大雨倾盆）。

θ：降雨的角度（雨滴落下的方向与行走的方向之间的夹角） 利用新的记号，pu w =

（注：以上是本文中的全局变量符号说明，在建模过程中引入的局部变量在论文中局部说明）

五、模型的建立与求解

模型建立：

问题一：不考虑降雨的角度影响：

模型一：

当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位时全身所有部位，因此淋雨的面积为)(2ac ab bc S ++=。淋雨时间为：v D t /=，淋雨量为：

[]v

w

ac ab bc D v DSw twS C )(2++===

问题二：考虑降雨的角度影响（迎面）：

模型二：20πθ≤<，淋雨的部位为顶部和前方。

头顶部淋雨量为：)sin ()/(1θpu bc v D C =，前方的淋雨量为：

))sin (()/(2v u p ab v D C +=θ，

总的淋雨量为：[])sin (sin 21v u a cu v

Dbp

C C C ++=+=θθ，从表达式可以看出，雨中行走的速度越快，淋雨量越小。 问题三：考虑降雨的角度影响（背面）：

模型三：πθπ<<2/，雨滴将从身后落下（设απθ+=2/）

（1）:αsin u v ≤ 行走的速度慢于雨滴的水平运动速度。淋在后背上的雨水量为

v v u pabD C /)sin (3-=α，淋雨总量为：[]v v u a uc pbD C /)sin (cos -+=αα。由于v 的限制，最大的行走速度为αsin u v m =，雨水量m v uc pbD C /)cos (α=

（2）:αsin u v > 行走的速度快于雨滴的水平运动速度，此时可以想象人在追赶雨滴，雨水淋在胸前，淋雨量为v u v pbDa C /)sin (4α-=。总的淋雨量为[]v u v a uc pbD C C C /)sin (cos 41αα-+=+=。

这样得到淋雨量的数学模型为：

[][]⎩⎨

⎧><<-+=+≤<<-+=+=απθπαααπθπααs i n ,2//)s i n (c o

s s i n ,2//)s i n (c o

s 4131u v v u v a uc pbD C C u v v v u a uc pbD C C C 两个式子都是速度的减函数，第二个式子中关于v 的增减性取决于ααsin cos a c -是否大于零，而这需要看人的体形决定。 模型求解： 5.1 问题一的求解

s m v h cm w m mc b m a m D /5,/2.0,2.05.0,5.1,1000

======将上述数据代入模型一进行求解，有[][]L

v

w

ac ab bc D v DSw twS C 444.2360000

1000*52.0*)2.0*5.15.0*5.1(22.0*5.0*1000)(2=++=++=

==

5.2问题二的求解：

由模型二知：雨中行走的速度越快，淋雨量越小。所以取s m v m /5=时淋雨量最少。

当︒=0θ时: []L v u a cu v Dbp

C C C 069.0)sin (sin 21=++=+=θθ 当︒=30θ时: []L v u a cu v

Dbp

C C C 606.0)sin (sin 21=++=+=θθ。 5.3问题三的求解：

由模型三可知当速度越快时，淋雨量越少。所以取s m v m /5=时淋雨量最少。当︒=30α：

(1) αsin u v ≤:;096.0/)cos (L v uc pbD C m ==α

(2) αsin u v >时ααsin cos a c -小于零，是关于v 的增函数，所以速度应当最小，即速度为s m v /2=，此时[]L v u v a uc pbD C 024.0/)sin (cos =-+=αα