第05讲余数的性质与计算-高思数学_5年级下第五讲余数的性质与计算
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比较上面的结果，我们发现余数有一些很好的性质：
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余数的性质与计算
课本
和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积．
这三条性质分别称为余数的可加
44
性、 可 减 性 和 可 乘 性． 在 计 算 一 个 算
4
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式 的 结 果 除 以 某 个 数 的 余 数 时， 可 以
（1）一个数除以 2 或 5 的余数，等于这个数的个位数字除以 2 或 5 的余数；
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五年级
下册第 5 讲
一个数除以 4 或 25 的余数，等于这个数的末两位数字除以 4 或 25 的余数； 一个数除以 8 或 125 的余数，等于这个数的末三位除以 8 或 125 的余数； （2）一个数除以 3 或 9 的余数，等于这个数的各位数字和除以 3 或 9 的余数； （3）一个数除以 11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以 11 的 余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个 11 再减即可． （4）一个数除以 7、11 和 13 的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数 段之和除以 7、11 和 13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个 7、11 或 13 再减即可． 特殊数的余数性质远不止这些，有兴趣的同学可自行将所学过的其他整除特性也改 造为余数特性．这种计算余数的方法叫做特性求余法．
算 423 − 317 除以 6 的余数时，会发现结果变成了 3 − 5 不够减．此时，只要再加上 6，用
6 + 3 − 5 = 4 来计算即可．
例题 1
一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个． 年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后 一包有多少个零件？
是 423 + 317 除 以 6 最 后 的 余 数． 再 比 如：在 计 算 423× 317 除 以 6 的 余 数 时， 也 会 遇
到 3× 5 = 15 > 6 的情况，同样的还需要计算 15 除以 6 的余数是 3，才是最终的结果． （2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数即可．例如：在计
使 用 时 还 需 要 注 意：（1） 如 果 替 换 之 后 余 数 的 计 算 结 果 大 于 除 数， 还 需 要 再 次 计 算
结果的余数．例如：在计算 423 + 317 除以 6 的余数时，利用“和的余数等于余数的
和 ”， 结 果 就 变 成 了 3 + 5 = 8 ， 8 > 6 ， 所 以 还 需 要 再 次 计 算 8 除 以 6 的 余 数 是 2， 才
利 用 上 述 性 质 进 行 简 算． 例 如 计 算
33 + 37 ×15 − 80 的结果除以 7 的余数就
33 + 37 ×15 − 80 5 + 2×1− 3
ਤّ՛ဈ҂ྻ ԅ ဥܰ
可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．
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需 要 提 醒 大 家 的 是， 虽 然 上 述 三 条 计 算 余 数 的 口 诀 朗 朗 上 口， 但 并 不 严 格， 在
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5 余数的性质与计算
３７４６５ 除以 ９ 的 余数是多少？
我 知 道 啦， 余数是 ７ ！
“40 个苹果，平均分给 16 个小朋友，每个小朋友能分到两个，还剩 8 个．”在数学上， 我们可以用 40 ÷16 = 28 来表示．其中 40 是被除数，16 是除数，2 是不完全商（也 可直接称为商），8 为余数．
在现实生活中， 40 ÷16 = 2.5 与 40 ÷16 = 28 是表示不同涵义的． 40 ÷16 = 2.5 表 示苹果完全被分光了，苹果是允许切成成半个的；40 ÷16 = 28 表示苹果只能整个整 个地分，每个人分了两个之后，还剩 8 个没法分．在生活中，很多事物的分配都只在整 数范围内才有意义，因而这种带余除法有着很广泛的实际意义．这里我们就来学习一些 有关余数的性质与计算．
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“特性求余法”和“替换求余法”相结合，可大大简化余数的计算．
例题 2
87784 + 49235 × 81368 除以 4、9 的余数分别是多少？
分析 要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余” 以及“特性求余”的方法来进行求解．
练习
2. 3452 × 8761 −123456 除以 11 的余数是多少？
例题 3
210210210 除以 99 的余数是多少？ 21个 210
分析 直接计算求余数不太现实，因而考虑用 99 的余数特性．
练习
3. 1003100310031003 除以 99 的余数是多少？
1003个1003
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余数的性质与计算
课本
除以 2 的余数只有 0 和 1 两种，除以 3 的余数只有 0、1、2 三种，……，也就是说除 以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余 时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．
例题 4
（1）自然数 3100 −1 的个位数字是多少？ （2）算式12012 + 22012 + 32012 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20122012 计算结果的个位数字是多少？
分析 最后一包的零件数实际上就是零件总数除以 19 的余数．
练习
1.（1）123 + 456 + 789 除百度文库 111 的余数是多少？ （2）123× 456 × 789 的结果除以 23 的余数是多少？
我 们 学 过 特 殊 数（2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999） 的 整 除 特 性． 这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：
为了更好地了解余数的性质规律，我们先来做几个计算： （1） 211 除以 17 的余数是 ______； （2）135 除以 17 的余数是 ______； （3） 211 + 135 的和除以 17 的余数是 ____；（4） 211 −135 的差除以 17 的余数是 ____； （5） 211×135 的积除以 17 的余数是 ______；（6） 2112 除以 17 的余数是 ______．
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余数的性质与计算
课本
和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积．
这三条性质分别称为余数的可加
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性、 可 减 性 和 可 乘 性． 在 计 算 一 个 算
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式 的 结 果 除 以 某 个 数 的 余 数 时， 可 以
（1）一个数除以 2 或 5 的余数，等于这个数的个位数字除以 2 或 5 的余数；
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一个数除以 4 或 25 的余数，等于这个数的末两位数字除以 4 或 25 的余数； 一个数除以 8 或 125 的余数，等于这个数的末三位除以 8 或 125 的余数； （2）一个数除以 3 或 9 的余数，等于这个数的各位数字和除以 3 或 9 的余数； （3）一个数除以 11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以 11 的 余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个 11 再减即可． （4）一个数除以 7、11 和 13 的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数 段之和除以 7、11 和 13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个 7、11 或 13 再减即可． 特殊数的余数性质远不止这些，有兴趣的同学可自行将所学过的其他整除特性也改 造为余数特性．这种计算余数的方法叫做特性求余法．
算 423 − 317 除以 6 的余数时，会发现结果变成了 3 − 5 不够减．此时，只要再加上 6，用
6 + 3 − 5 = 4 来计算即可．
例题 1
一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个． 年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后 一包有多少个零件？
是 423 + 317 除 以 6 最 后 的 余 数． 再 比 如：在 计 算 423× 317 除 以 6 的 余 数 时， 也 会 遇
到 3× 5 = 15 > 6 的情况，同样的还需要计算 15 除以 6 的余数是 3，才是最终的结果． （2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数即可．例如：在计
使 用 时 还 需 要 注 意：（1） 如 果 替 换 之 后 余 数 的 计 算 结 果 大 于 除 数， 还 需 要 再 次 计 算
结果的余数．例如：在计算 423 + 317 除以 6 的余数时，利用“和的余数等于余数的
和 ”， 结 果 就 变 成 了 3 + 5 = 8 ， 8 > 6 ， 所 以 还 需 要 再 次 计 算 8 除 以 6 的 余 数 是 2， 才
利 用 上 述 性 质 进 行 简 算． 例 如 计 算
33 + 37 ×15 − 80 的结果除以 7 的余数就
33 + 37 ×15 − 80 5 + 2×1− 3
ਤّ՛ဈ҂ྻ ԅ ဥܰ
可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．
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需 要 提 醒 大 家 的 是， 虽 然 上 述 三 条 计 算 余 数 的 口 诀 朗 朗 上 口， 但 并 不 严 格， 在
五年级
下册第 5 讲
5 余数的性质与计算
３７４６５ 除以 ９ 的 余数是多少？
我 知 道 啦， 余数是 ７ ！
“40 个苹果，平均分给 16 个小朋友，每个小朋友能分到两个，还剩 8 个．”在数学上， 我们可以用 40 ÷16 = 28 来表示．其中 40 是被除数，16 是除数，2 是不完全商（也 可直接称为商），8 为余数．
在现实生活中， 40 ÷16 = 2.5 与 40 ÷16 = 28 是表示不同涵义的． 40 ÷16 = 2.5 表 示苹果完全被分光了，苹果是允许切成成半个的；40 ÷16 = 28 表示苹果只能整个整 个地分，每个人分了两个之后，还剩 8 个没法分．在生活中，很多事物的分配都只在整 数范围内才有意义，因而这种带余除法有着很广泛的实际意义．这里我们就来学习一些 有关余数的性质与计算．
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“特性求余法”和“替换求余法”相结合，可大大简化余数的计算．
例题 2
87784 + 49235 × 81368 除以 4、9 的余数分别是多少？
分析 要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余” 以及“特性求余”的方法来进行求解．
练习
2. 3452 × 8761 −123456 除以 11 的余数是多少？
例题 3
210210210 除以 99 的余数是多少？ 21个 210
分析 直接计算求余数不太现实，因而考虑用 99 的余数特性．
练习
3. 1003100310031003 除以 99 的余数是多少？
1003个1003
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余数的性质与计算
课本
除以 2 的余数只有 0 和 1 两种，除以 3 的余数只有 0、1、2 三种，……，也就是说除 以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余 时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．
例题 4
（1）自然数 3100 −1 的个位数字是多少？ （2）算式12012 + 22012 + 32012 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20122012 计算结果的个位数字是多少？
分析 最后一包的零件数实际上就是零件总数除以 19 的余数．
练习
1.（1）123 + 456 + 789 除百度文库 111 的余数是多少？ （2）123× 456 × 789 的结果除以 23 的余数是多少？
我 们 学 过 特 殊 数（2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999） 的 整 除 特 性． 这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：
为了更好地了解余数的性质规律，我们先来做几个计算： （1） 211 除以 17 的余数是 ______； （2）135 除以 17 的余数是 ______； （3） 211 + 135 的和除以 17 的余数是 ____；（4） 211 −135 的差除以 17 的余数是 ____； （5） 211×135 的积除以 17 的余数是 ______；（6） 2112 除以 17 的余数是 ______．