《近世代数》作业

《近世代数》作业

一．概念解释

1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想

7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元

二．判断题

1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：

1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*

F 的任何有限子群

G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ）

14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 （ ）

15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ）

三．证明题

1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

3．证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。

4．设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。

5．证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。

6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。

7．令G={}b a e ,,，且G 有如下乘法：

e a b

e e a b

a a

b e

b b e a

证明：G 对此乘法作成一个群。

8．设R 是一个环，证明：

1）若R 中左右单位元同时存在，则必相等。

2）若R 中至少有两个左（或右）单位元，则R 中任一非零元都是右（或左）零因子。

9．设M （R ）是实数域R 上的二阶方阵环，又

F=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R b a b b b a ,，证明：F 是M （R ）的一个子域。 10．设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算b au b a 1-= 作成一个群。

11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，)(R M n 是R 上n 阶方阵环，)(,R M B A n ∈，证明：

E BA E AB =⇔=，其中E 是n 阶单位矩阵。

12．设A 和B 是环R 的理想，证明：当A 和B 至少有一个含有单位元时，},|{B b A a ab B A ∈∈= 是R 的理想。

13.设3S 是三次对称群，)}12(),1{(=H 是3S 的子群。

1. 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

2．求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集；

3． 写出3S 的所有子群与正规子群。

14.设5,S ∈τσ，其中)45)(123(=σ，⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=2314554321τ。 1.求σ的周期;

2. 将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

15. 假定～是群G 的元间的一个等价关系，并且对于G

的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ⇒～y 。

证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。

16. 假定][x R 是整数环R 上的一元多项式环。

1. 写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.

2. 证明: ),2(x 不是][x R 主理想.

3. 证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是][x R 的一个主理想.

17.证明：6阶群至少有一个3阶子群。

18.设ϕ是群G 到群-G 的一个同态满射，ϕKer K =,G H ≤,则HK H =-))((1

ϕϕ

19.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,即高斯整环，

1．环)1/(i R +有多少元? 2. 证明: )1/(i R +是一个域.

四．解答题 1．{

}1003,2,1 =A ，找一个A A ⨯的一个满射。 2．设H 是G 的一个非空子集，且H H =2

1）H 是否为G 的一个子群？

2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。

3．设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域？

4．设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：