空间中的夹角和距离复习资料

合集下载

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(备课件

A．5
B．8
C． 60 13
D．13 3
【答案】C
【解析】解：以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系，设 B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面 A1BCD1 的法向量为 n ＝(a，b，c)，则 C(0，12，
B1B n n
60 ， 13
因为 B1C1∥BC，BC 平面 A1BCD1，B1C1 平面 A1BCD1，
所以 B1C1∥平面 A1BCD1，所以 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离即为点 B1 到平面 A1BCD1 的距离，
所以直线
B1C1
到平面
A1BCD1
的距离为
60 13
，故选：C.
知识点01 线面角的向量
1．已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱 BB1 的中点，则直线 AE 与平面
A1ED1 所成角的大小为（）
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不对
【答案】B 【解析】以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
0)，D1(0，0，5), CD1
0, 12,5
, BC
x, 0, 0
，由
n n
BC CD1
，得
n n
BC a x
CD1 a 0
b0 b 12
c0 c
5
ax 0 12b
5c
0
，所以
a＝0，b＝ 152
c，取 n
＝(0，5，12)，

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)

二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC．又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO．又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO．如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|

2024高考数学基础知识综合复习第21讲空间角与距离课件

=120°,E 是 BB1 的中点,则异面直线 CE 与 AC1 所成的角的余弦值是( B )
3
A.-4
3
B.4
1
C.8
1
D.-8
解析如图,取 CC1 中点 M,AC 中点 N,连接 MN,MB1,NB1,NB.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=AA1=2,BC=1,所以 AA1⊥平面 A1B1C1.
设
2-
BM=t,因为△B1C1M∽△CNC1,由相似比得
2
解得
2 2 -2+4
AN=
,由等面积法得
2-
2 -2+4
≥1(当且仅当
3
CG=
2 3
2 -2+4
=
2
4
,CN= ,由余弦定理可

2-
,所以
1
tan∠C1GC=

t=1 时,等号成立),故(cos∠C1GC)max=
求解.
考向3
二面角
典例4直三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均等于2,M为线段BB1上的动点,则平
面ABC与平面AMC
1所成的二面角为锐角,则该角的余弦值的最大值为
2
___________.
2
解析延长 C1M 交 CB 于点 N,连接 AN,则平面 AMC1∩平面 ABC=AN,作 CG
⊥AN 于点 G,连接 C1G,∠C1GC 为所求的二面角的平面角.
1.空间角
(1)异面直线所成的角
①定义:已知两条异面直线 a,b 经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a,b'∥b,
我们把直线 a'与 b'所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：（ⅰ）根据定义；（ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题（1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角；（2）求PC 和面ABC 所成的角；（3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角．在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点，（1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小；（3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ，又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=．（2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ，又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ．又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅，所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形，故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1，故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离．由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ；又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ，即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ，设平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ，即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ，即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥．又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥．（Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===．在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ．连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥．又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

空间中的夹角与距离高考数学知识点总结高考数学真题复习

§8.6 空间中的夹角与距离2014高考会这样考 1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法．复习备考要这样做 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离．1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角．(2)范围：⎝⎛⎭⎫0，π2. 3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．4．点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离．[难点正本疑点清源]1．解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”．空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义；(3)化归到某一个三角形中进行计算．2．空间两图形之间的距离最终都转化为两点之间的距离，通过解三角形或特殊图形得到解决．关于距离问题的解法体现了数学的等价转化和数形结合思想：点到平面之间距离转化为点和垂足之间距离或者转化为以该点为顶点的三棱锥的高．解决立体几何距离问题，不仅在于怎样计算，更重要的是为什么这样算，因此，从正确作图，归纳推理到熟练计算每一环节都很重要，所以，要培养提高正确作、严密证、快速算的能力．1．A、B两点相距4 cm，且A、B与平面α的距离分别为3 cm和1 cm，则AB与平面α所成的角是() A．30°B．90°C．30°或90°D．30°或90°或150°答案 C解析注意分类讨论．当A、B在平面α的两侧时，AB⊥α即AB与α所成的角为90°，当A、B在平面α的同侧时，AB与平面α所成的角为30°.2．平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 B解析如图所示，连接A ′B 可知∠ABA ′＝π6，则A ′B ＝AB cos π6＝63，连接AB ′可知∠BAB ′＝π4，则BB ′＝AB sin π4＝62，在Rt △BB ′A ′中，A ′B ′＝A ′B 2－BB ′2＝6. 3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形沿对角线BD折成四面体A ′—BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′—BCD 的体积为13答案 B解析如图所示，取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′—BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误． 4．正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为________．答案 36解析过点M 作MN ∥P A 交PB 于点N ，∠CMN 即为P A 与CM 所成的角，N 为PB 的中点，CM ＝CN ＝32P A ，MN ＝12P A ，在等腰三角形CMN 中，cos ∠CMN ＝36. 5．在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AD ＝CB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且面ABD ⊥面CBD ，给出下列结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等腰三角形；③AB 与面BCD 成60°角；④AB 与CD 成60°角．其中正确的是________．(填序号)答案①②④解析③中AB与面BCD成的角为45°.至于④，可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥A—BCDE，易知∠ABE＝60°，即AB与CD所成的角为60°.题型一异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面ODC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成的角的余弦值．思维启迪：(1)在平面DOC1找AD1的平行线，可考虑连接CD1；(2)平移AD1使其与DC1相交．(1)证明如图所示，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O、O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1，知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，由题意，可得OD＝52，O1D＝52，OO1＝2 2.由余弦定理，得cos ∠OO 1D ＝⎝⎛⎭⎫522＋(22)2－⎝⎛⎭⎫5222×52×22＝225，故AD 1和DC 1所成的角的余弦值为225. 探究提高求异面直线所成角的方法：(1)找利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证证明作出的角即为所求角．(3)求把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．(4)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 为棱BC 的中点．若PD ＝1，求异面直线PB 和DE 所成角的余弦值．解取AD 的中点，连接PF 、FB .E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴DF ∥BE ，且DF ＝BE ，∴四边形DFBE 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∴∠PBF 是PB 与DE 所成的角．∵在△PBF 中，BF ＝5，PF ＝2，PB ＝3，∴cos ∠PBF ＝BF 2＋BP 2－PF 22BF ·BP ＝5＋9－22×5×3＝255. 即异面直线PB 和DE 所成角的余弦值为255. 题型二直线与平面所成的角例2 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．思维启迪：(1)要证PB ⊥DM ，只需证PB ⊥平面ADMN 即可．(2)可以作CD 在平面ADMN 的射影，也可以转化为与CD 平行的直线与平面所成的角．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，∵N 是PB 的中点，且P A ＝AB ，∴AN ⊥PB .∵AD ⊥P A ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥PB ，由条件知MN ∥BC ∥AD ，∴MN 和AD 在同一个平面内，从而PB ⊥平面ADMN .又∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .(2)解取AD 的中点G ，连接BG 、NG ，则BG ∥CD ，∴BG 和CD 与平面ADMN 所成的角相等．∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角．设P A ＝AD ＝AB ＝2，则BG ＝5，BN ＝2，∴在Rt △BGN 中，sin ∠BGN ＝BN BG ＝105. 即CD 与平面ADMN 所成角的正弦值为105. 探究提高 (1)求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线．(2)求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，如本题将CD 平移到BG ，使问题得以巧妙解决．(3)第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点．(1)求证：直线EH ∥平面AD 1C ；(2)求直线B 1C 与平面AC 1D 1所成角的余弦值．(1)证明连接A 1B ，因为E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点，所以EH ∥A 1B ，又A 1B ∥CD 1，所以EH ∥CD 1，又CD 1⊂平面AD 1C 且EH ⊄平面AD 1C ，所以EH ∥平面AD 1C .(2)连接A 1D 交AD 1于O 点，过D 点作DM ⊥AD 1于M 点，因为B 1C ∥A 1D ，所以直线B 1C 与平面AC 1D 1所成的角等于A 1D 与平面AC 1D 1所成的角，易证DM ⊥平面AC 1D 1，所以∠DOM 就是A 1D 与平面AC 1D 1所成的角，在Rt △DOM 中易求cos ∠DOM ＝35. 题型三二面角例3 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪：(1)先找出PB和平面P AD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．(1)解在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°.所以PB和平面P AD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°.设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ，则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a . 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 探究提高作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．(2011·浙江)如图，在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B —AP —C 的大小．(1)证明由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC .又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故AP ⊥BC .(2)解如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连接CM .因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B —AP —C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝P A 2＋PB 2－AB 22P A ·PB ＝13，从而sin ∠BP A ＝223.故BM ＝PB sin ∠BP A ＝4 2.同理CM ＝4 2.因为BM 2＋MC 2＝BC 2，所以∠BMC ＝90°，即二面角B —AP —C 的大小为90°.题型四点到平面的距离例4 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b .(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；(2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．思维启迪：(1)线线平行或面面平行⇒线面平行；(2)线面垂直⇒线线垂直；(3)求垂线段长或用等积法．(1)证明分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接EM ，MN ，FN ，于是EM 綊12BB 1，FN 綊12BB 1，从而EM 綊FN ，即四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN .而EF ⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC .(2)证明连接A 1B ，∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥AB .又AB ＝CC 1＝AA 1，∴ABB 1A 1是正方形，从而AB 1⊥A 1B .∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴A 1C 1⊥AB 1，而A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.又AB ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥AB .(3)解 ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC 1，A 1B 1⊄平面ABC 1，∴A 1B 1∥平面ABC 1，于是B 1到平面ABC 1的距离等于A 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1H ⊥AC 1于H . 由(2)知，BA ⊥平面ACC 1A 1，∴BA ⊥A 1H ，于是A 1H ⊥平面ABC 1.在Rt △A 1AC 1中，AA 1＝CC 1＝a ，A 1C 1＝AC ＝BC 2－AB 2＝b 2－a 2， AC 1＝C 1C 2＋AC 2＝a 2＋(b 2－a 2)＝b ，∴A 1H ＝A 1A ·A 1C 1AC 1＝a b 2－a 2b， ∴B 1到平面ABC 1的距离为a b 2－a 2b . 探究提高求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离．如本题(3)的如下解法即用等积法VC 1－ABB 1＝VB 1－ABC 1，即13A 1C 1·12AB ·BB 1＝13·h ·12AB ·AC 1，将各数据代入可得h 的值．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(3)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明如图所示，在△P AD 中，O 为AD 中点，P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ，又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .(2)解连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ，又∵OD ∥BC 且OD ＝BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形，∴OB ∥DC .由(1)知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，∴∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．∵AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，∴OB ＝2，在Rt △POA 中，AP ＝2，AO ＝1，∴OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝OP 2＋OB 2＝3，cos ∠PBO ＝OB PB ＝23＝63， ∴异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为63.(3)解方法一由(2)得CD ＝OB ＝2，在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2，∴PC ＝CD ＝DP ，S △PCD ＝34·2＝32. 又∵S △ACD ＝12AD ·AB ＝1，设点A 到平面PCD 的距离为h ，由V P —ACD ＝V A —PCD 得13S △ACD ·OP ＝13S △PCD ·h ，即13×1×1＝13×32×h ，解得h ＝233. 方法二 ∵AO ＝OD ，∴A 到平面PCD 的距离是O 到平面PCD 的距离的两倍，易知PC ＝CD ＝PD ，OC ＝OP ＝OD ，∴三棱锥O —PCD 为正三棱锥．设O 在平面PCD 内的射影为H ，则H 为△PCD 的中心，∴PH ＝23·32PD ＝63， ∴OH ＝12－⎝⎛⎭⎫632＝33， ∴A 到平面PCD 的距离为233.二面角求解要规范典例：(14分)如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；(3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4？审题视角 (1)线面垂直转化为线线垂直；(2)点到面的距离问题，可通过等积变换求解；(3)先找出二面角，在知道二面角大小的情况下求AE ，可用方程的思想．规范解答(1)证明 ∵AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E .[3分](2)解设点E 到面ACD 1的距离为h .在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，故S △AD 1C ＝32.[4分] 而S △ACE ＝12·AE ·BC ＝12， ∴VD 1—ACE ＝13S △ACE ·DD 1＝13S △AD 1C ·h .[6分] ∴h ＝13.[7分](3)解过D 作DH ⊥CE 于H ，连接D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角．[9分]设AE ＝x ，则BE ＝2－x .在Rt △D 1DH 中，由∠DHD 1＝π4，知DH ＝1.[10分]∵在Rt △ADE 中，DE ＝1＋x 2，∴在Rt △DHE 中，EH ＝x ；在Rt △DHC 中，CH ＝3；在Rt △CBE 中，CE ＝x 2－4x ＋5. ∴x ＋3＝x 2－4x ＋5⇒x ＝2－ 3.[13分]∴AE ＝2－3时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4.[14分] 温馨提醒 (1)本题考查了线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，以及二面角的有关问题，是高考的重点内容．(2)本题失分的主要原因是答题不规范．在解有关二面角的问题时，要强调：作、证、算．一定要明确指出二面角的平面角．然后再求二面角的平面角，或者再根据二面角的平面角的大小求解.方法与技巧1．求线线角常用平移法，选取一特殊点将两异面直线移成一夹角，构造三角形，利用余弦定理求角，但需要注意，所成角可能是所求角的补角．求线面角关键在于找出直线在平面内的射影，而射影的构成，有时可以直接作垂线，有时必须借助垂面来作．2．求二面角的常用方法：作棱的垂面，找出二面角的平面角．3．空间距离的求解，重在转化方法的运用上，基本问题是点到面的距离．求点到面的距离的常用方法有：(1)作垂线，求垂线段的长；(2)等体积法；(3)相关点距离转移法．失误与防范计算题同样需要严格合理的推理论证过程．关键是在“度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁琐，因此，需要在平时的学习中积累经验．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是() A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D 选项正确．易知选项A、B、C错误．2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A.33 B.34 C.36 D.312答案 C解析设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a .作SO ⊥平面ABC于点O ，连接AO 并延长AO 交BC 于点E ，因为△ABC 为正三角形，所以O 为底面的中心，所以∠SAO 为SA 与平面ABC 所成的角．又AO ＝23×32a ＝33a ，所以cos ∠SAO ＝33a 2a ＝36，即所求余弦值为36.3． (2011·福建改编)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于( ) A. 2B. 3C.22D.13答案 A解析由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 4．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( ) A.34 B.54 C.74 D.34 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，正确的有____．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°答案①②④解析由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故④正确；③是错误的，故填①②④.6. 如图所示，三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为________．答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.7．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ， DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ， ∴DK ⊥AF .又DG ⊥AF ， ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 运动到E 点时，K 为AB 的中点，t ＝AK ＝AB2＝1；当F 运动到C 点时，在Rt △ADF 中，易得AF ＝5，且AG ＝15，GF ＝45，又易知Rt △AGK ∽Rt △ABF ，则AG AK ＝AB AF ，又AB ＝2，AK ＝t ，则t ＝12. ∴t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的正弦值．(1)证明在直二面角D —AB —E 中，由ABCD 是正方形，则CB ⊥平面AEB ，∴AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .(2)解由(1)知平面AEC ⊥平面BCE ，又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AC ，连接BD 与AC 交于O 点，连接OF (如图)，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BOF ，∴AC ⊥FO . ∴∠BOF 为二面角B —AC —E 的平面角，在Rt △AEB 中，BE ＝2，在Rt △EBC 中，BC ＝2，∴BF ＝BE ·BC EC ＝233，在Rt △BFO 中，sin ∠BOF ＝63，则二面角B —AC —E 的正弦值为63.9． (12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD是矩形．F 是PD 的中点．若P A ＝AD ＝3，CD ＝ 6. (1)求证：AF ⊥平面PCD ；(2)求直线AC 与平面PCD 所成角的余弦值的大小． (1)证明 ∵P A ⊥ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AF ，又AP ＝AD ，PF ＝DF ，∴AF ⊥PD ， ∴AF ⊥平面PCD .(2)解由(1)知AF ⊥平面PCD ，连接CF . 则∠ACF 为AC 与平面PCD 所成的角．在Rt △ACF 中，AC ＝32＋(6)2＝15.AF ＝12PD ＝322.∴CF ＝15－92＝212＝422. ∴cos ∠ACF ＝CF AC ＝7010.即直线AC 与平面PCD 所成的角的余弦值为7010.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·郑州模拟)如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E是A 1B 1上的点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离d 是( )A.32B.22C.12D.33答案 B解析 ∵A 1B 1∥ABC 1D 1，E ∈A 1B 1，∴A 1到平面ABC 1D 1的距离即为点E 到平面ABC 1D 1的距离，∴d ＝22. 2．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34答案 D解析如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角．∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3. 在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.3．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23答案 B解析设棱柱的侧棱与底面边长均为1，O 为△ABC 的中心，如图，连接AO ，则AO ＝33. ∵A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ＝63. 又在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， A 1B 1∥平面ABC ，∴点B 1到平面ABC 的距离d ＝63. 连接AB 1，A 1B ，BO ，设A 1B 与AB 1交点为H . 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝1.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴A 1H ⊥AB 1，∴AH ＝AA 21－A 1H 2＝32，∴AB 1＝ 3. 设AB 1与底面ABC 成的角为α，则sin α＝d AB 1＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．直线l 在平面α内，经过α外一点A 与l 、α都成45°的角的直线有________条．答案 2解析如图，AO ⊥α，BC ∥l ，∠ABO ＝∠ACO ＝45°，只有AB 、AC 两条直线满足条件． 5．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 将三个角折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P —DEF 中，二面角 D —PE —F 的大小为________．答案90°解析由已知可知，PD⊥PE，PF⊥PE，所以∠DPF是二面角D—PE—F的平面角．又因为PD⊥PF，所以二面角D—PE—F的大小为90°.6. 如图所示，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______________．答案 23解析取AB 、DC 的中点分别为P 、Q ，如图所示，作MN ⊥PQ ，则MN 的长即为点M 到截面ABCD 的距离．在△PQM 中，PM ＝22，PQ ＝MQ ＝324，由面积可知PQ ·MN ＝PM ·1，所以MN ＝23.三、解答题7． (13分)如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a . (1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．(1)证明 ∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC . 又点E 为的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD . ∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)解方法一如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋(2BC )2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a .∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2，∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a1055a ＝22121a .∵C 是BD 的中点，∴点B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .方法二 ∵EB ⊥平面FBD ，BF ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FB . 在Rt △FBE 中，∵FB ＝5a ，EB ＝a ，∴EF ＝6a .又∵FC ⊥平面BED ，∴FC ⊥BD . ∵BC ＝CD ，∴FD ＝FB ＝5a . 在Rt △EBD 中，ED ＝BE 2＋BD 2＝5a .在△EFD 中，DF ＝DE ＝5a ，EF ＝6a ，由余弦定理得cos ∠EDF ＝25，∴sin ∠EDF ＝215.∴S △EFD ＝12DE ·DF ·sin ∠EDF ＝212a 2.设B 到平面FED 的距离为h ，∵V F －EBD ＝13S △EBD ·FC ＝13×12·2a ·a ·2a ＝23a 3，且V F －EBD ＝V B －EFD ，∴23a 3＝13×212a 2h ，∴h ＝42121a ，即点B 到平面FED 的距离为42121a .。

数学必修2空间几何体中的夹角和距离知识点

数学必修2空间几何体中的夹角和距离知识点高中数学课本中，空间几何体角与距离这部分内容是教学的难点，下面是店铺给大家带来的数学必修2空间几何体中的夹角和距离知识点，希望对你有帮助。

空间几何体中的夹角和距离知识点一、距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

1、两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离;求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

2、点到平面的距离平面外一点P，在该平面上的射影为P'，则线段PP'的长度就是点到平面的距离;求法：(1)”一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

(2)、等体积法。

3、直线与平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离;4、平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

二、线面垂直空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

1、两条异面直线所成的角求法：①、先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得;②、通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,90°]，向量所成的角范围是(0,180°]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

用空间向量研究距离、夹角问题全文

P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
A
F
B
B(1,1,1), A(1, 0,1), C1(0,1, 0).
EF=l，求公垂线AA′的长.
A′ m E
a
解：∵ EF =EA+ AA+ AF， ∴EF 2 =(EA+ AA+ AF )2
A
n
Fb
2
2
2
=EA + AA + AF +2(EA AA+AA AF +AF AA)
m2 d 2 n2 2mncos .
∴d l2 m2 n2 2mncos .
(1, 0,
1 ), 2
A1 A
(0, 0, 1).
设平面AB1E的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
y z 0
∴
x
1 2
z
0
,
取z
2, 则x
1,
y
2.
D
A x
F
C
y
B
∴平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2).
点A1到平面AB1E 的距离为 |
A1 A n |n|
|
2 3
.
D1
∴AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1).
A1
直线AC1 的单位方向向量为u

2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量求空间角、距离【课件】

(3)平面与平面的夹角如图，平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
若平面 α，β 的法向量分别是 n1 和 n2，则平面 α 与平面 β 的夹角即为向量 n1 和 n2 的 |n1·n2|
夹角或其补角．设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，则 cosθ＝|cos n1，n2 |＝_____|n_1_||n__2|___.
设平面 CDP 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··PP→→DC＝＝00 ⇒n＝(0,1,1)．
平面 PAB 的法向量 m＝(0,1,0)
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2.
又∵平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为锐二面角，∴所求二面角为 45°.
易错点睛：(1)误认为直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是线面角出错． (2)不能结合图形准确判定二面角出错．
4．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，
π 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为___6_____．
【解析】以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0，2 2)．点 C1 在
侧面 ABB1A1 内的射影为点
提醒：(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意 n1，n2 与二面角大小的关系，是
相等还是互补，需要结合图形进行判断． (2)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的
夹角的范围为0，π2.
2．空间距离(1)点 P 到直线 l 的距离设A→P＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向量A→P在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u. 在 Rt△APQ 中，由勾股定理，得 PQ＝ |A→P|2－|A→Q|2＝___a_2－___a_·u__2__.

用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件

= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2

1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版数学选择性必修

高考一轮复习资料空间角与空间距离

9.6 空间角与空间距离知识要点1.异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）范围：.2π,0⎥⎦⎤ ⎝⎛ 2.斜线与平面所成的角（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成 0°角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成 90°角.（2）范围： )2π,0( .3.二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 .（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 .(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的平面角来度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④射影法：利用面积射影公式 S 射=S 原cos θ ，其中S 原为原斜面面积，S 射为射影面积， θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来.（4）范围：［0，π］.4.三种空间角的向量法计算公式(1)异面直线a，b所成的角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分别为直线a，b的方向向量．(2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a为直线a的方向向量．(3)锐二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n为两个面的法向量．5.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度.6.求距离的常用方法与一般步骤（1）求距离的常用方法①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离.（2）求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取.7、用向量法求距离的公式(1)异面直线a，b之间的距离：d，其中n⊥a，n⊥b，A∈a，B∈b.(2)直线a与平面α之间的距离：d，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量．(3)两平行平面α，β之间的距离：d，其中A∈α，B∈β.n是平面α的法向量．(4)点A到平面α的距离：d，其中B∈α，n是平面α的法向量．(5)点A到直线a 的距离：其中B∈a，a是直线a的方向向量．(6)两平行直线a ，b 其中A ∈a ，B ∈b ，a 是a 的方向向量．典型范例例1．如图所示，已知∠BOC 在平面α内，OA 是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC =60°，OA=OB=OC=a,BC=2a ，求OA和平面α所成的角.分析：首先应确定A 点在平面α内射影的位置,这样就可得到OA 与平面α所成的角,进而求之.解：∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB、△AOC 为正三角形. ∴AB=AC=a.∵BC=2a ，∴AB 2+AC 2=BC 2， ∴△BAC 为直角三角形.同理△BOC 也为直角三角形.过A 作AH 垂直平面α于H ，连结OH ，∵AO=AB=AC ，∴OH=BH=CH ，H 为△BOC 的外心.∴H 在BC 上，且H 为BC 的中点. ∴∠AOH 为直线OA 与平面α所成的角.︒=∠∴==∠∴=∆45,22sin ,22,Rt AOH AO AH AOH a AH AOH 中在即AO 和平面α所成的角为45°.点评：（1）确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.（2）求斜线与平面所成角的步骤：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角；③把该角放入三角形中计算.（3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面角时，应想到以上两种特例.变式1：如图所示，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC.求AD 与平面ABC 所成角的大小.解：∵AB ⊥平面BCD, ∴∠ADB=30°.∵CD ⊥CB,由三垂线定理得DC ⊥CA,∵AC ∩CB=C ，∴DC ⊥平面ABC,即∠CAD 是AD 与平面ABC 所成角.设AB=BC=a,则AC=2a, BD=3a, AD=2a.在Rt △ACD 中,∠CAD=45°,即AD 与平面ABC 所成的角为45°.例2．如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°,PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AD=2，AB=23，BC=6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —BD —A 的大小.分析：对于问题（2），由（1）知棱BD ⊥平面PAC ，则可找到二面角的平面角.（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA.,3tan ,33tan ==∠==∠ABBC BAC AB AD ABD 又 ∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD ⊥AC ，又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC.（2）解：如图所示，连结PE ，∵BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PE ，BD ⊥AE ，∴∠AEP 为二面角P —BD —A 的平面角.在Rt △AEB 中，AE=AB ·sin ∠ABD=3，,3tan ==∠∴AEAP AEP ∴∠AEP=60°,∴二面角P —BD —A 的大小为60°.点评：利用垂面法找出平面角再转化到直角三角形中求解.变式2：如右图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=a,AA 1=2a,D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且.411CC CE =（1）求证：BE ⊥平面ADB 1；（2）求二面角B —AB 1—D 的大小.（1）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得 AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面B 1BCC 1.又BE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BE.由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得BC=2a,在Rt △BB 1D 中，,4221tan 111===∠BB BC BB BD D BB ,4222tan ,Rt ===∠∆aaBC CE CBE CBE 中在于是∠BB 1D=∠CBE, 设EB ∩DB 1=G,∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE.又AD ∩DB 1=D,故BE ⊥平面ADB 1.（2）解：如右图，过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连结BF.由（1）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角.在Rt △ABB1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，.552a BF =得在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，.32a BG =得所以在Rt △BFG 中，,35sin ==∠BF BG BFG 故二面角B —AB 1—D 的大小为.35arcsin例3．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=a,BC=b.（1）设E,F 分别为AB 1,BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC;（2）求证：A 1C 1⊥AB;（3）求B 1到平面ABC 1的距离.分析：（1）线线平行或面面平行线面平行；（2）线面垂直⇒线线垂直；（3）求垂线段长或用等积法.（1）证明：分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连结EM ，MN ，FN ，从而EM FN ，即四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN.而EF ∥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC.（2）证明：连结A 1B,∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥AB.又AB=CC 1=AA 1,∴ABB 1A 1是正方形，从而AB 1⊥A 1B.∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1,∴A 1C 1⊥AB 1,而A 1C 1⊥AA 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 又AB ⊂平面ABB 1A 1,∴A 1C 1⊥AB.（3）解： ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1,于是B 1到平面ABC 1的距离等于A 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1H ⊥AC 1于H.由（2）知，BA ⊥平面ACC 1A 1，∴BA ⊥A 1H ，于是A 1H ⊥平面ABC 1.在Rt △A 1AC 1中，AA 1=CC 1=a ，,222211a b AB BC AC C A -=-==.,,)(221122111112222211ba b a ABC B ba b a AC C A A A H A b a b a AC C C AC -∴-=⋅=∴=-+=+=的距离为到平面点评：求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离. 如本题（3）的如下解法即用等积法=-11ABB C V ,11ABC B V -即,2131********AC AB h BB AB C A ⋅⋅⋅=⋅⋅将各数据代入可得h 的值.变式3 ：如右图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，若AB=a ，PD=a ，求：（1）P 到正方形各顶点的距离；（2）P 到正方形各边的距离；（3）P 到两条对角线的距离.解：（1）P 到各顶点的距离分别为PA 、PB 、PC 、PD 的长.∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，PD ⊥BD ，∴△PAD 、△PCD 、△PBD 是直角三角形.∵PD=a ，AB=a ，四边形ABCD 为正方形， ∴PA=2a ，PB=3a ，PC=2a ，PD=a.（2）由图形易知P 到AD 、CD 的距离都是PD=a.P 到BC 的距离为PC ，即为 2a,P 到AB 的距离为PA ，即为 2a.（3）∵AC ⊥BD ，∴DO ⊥AC.又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC,∴PO ⊥AC.故PO 的长就是P 到对角线AC 的距离.26)22(22a a a PO =+=而P 到对角线BD 的距离为PD 的长，PD=a.故P 到BD 的距离为a ，到AC 的距离为.26a 例4．设ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，AA 1=1 cm ，AB=4 cm ，BC=3 cm ，∠ABC=90°，设过A 1、B 、C 1的平面与平面ABC 的交线为l .（1）判断直线A 1C 1与l 的位置关系，并加以证明；（2）求点A 1到直线l 的距离；（3）求点A 到平面A 1BC 1的距离；（4）作CH ⊥BC 1，垂足为H ，求异面直线AB 与CH 之间的距离.分析：（1）利用线面平行的性质定理可知 A 1C 1∥l ;（2）点A 1到l 的距离可借助三垂线定理来寻求；（3）关键是找出点A 到平面A 1BC 1的距离，注意运用图形中垂直关系，特别是面面垂直的关系；（4）关键是找出异面直线AB 与CH 的公垂线段.解：（1）A 1C 1∥l 证明如下：∵A 1C 1∥平面ABC ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，平面A 1C 1B ∩平面ABC=l ， ∴A 1C 1∥l（2）如右图所示，作AD ⊥l ，垂足为D ，连结A 1D.∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥l ， ∴A 1D 为所求，又∵l ∥AC ，而B 到AC 距离等于cm,512543=⨯ ∴.cm 512=AD 在Rt △A 1AD 中, .cm 513)512(1221=+=D A ∴点A 1到直线l 的距离为.cm 513 (3)由(2)知l ⊥平面AA 1D, l ⊂平面A 1C 1B,平面A 1AD ⊥平面A 1BC 1,作AG ⊥A 1D,垂足为G. ∴AG ⊥平面A 1BC 1..cm 13125135121=⨯=AG ∴点A 到平面A 1BC 1距离为.cm 1312 (4)∵AB ⊥BC,而BC 为BC 1在平面ABC 上的射影, ∴AB ⊥BC 1.又∵CH ⊥BC 1, ∴AB 与CH 的公垂线段是BH..cm 101091093.cm 10103131322222=-=-=∴=+⨯=CH BC BH CH ∴AB 与CH 之间的距离为.cm 10109 点评：1、求异面直线的距离有以下几种方法：（1）定义法：一般应先找出两异面直线的公垂线段，再通过解三角形求解.（2）转化法：若不能直接找出公垂线，则可考虑用线面平行法或面面平行法转化成求直线和平面的距离或平行平面的距离.（3）函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上的两点距离中的最小值.2、求空间的距离时，都是通过作辅助线、辅助面等方法将空间问题转化为平面问题来解决的.本例中通过辅助面A 1AD ，将点A 1到l 的距离及A 到面A 1BC 1的距离转化为求A 1D 和AG 两线段的长.。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)

2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,

a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a

专题1.4 用空间向量研究距离、夹角问题(七个重难点突破)(原卷版)-高二数学上学期重难点和易错突破

专题1.4用空间向量研究距离、夹角问题知识点1空间距离及向量求法1.点到直线的距离设u为直线l 的单位方向向量，A l P ∈，是直线l 外一点，设AP a = ，向量AP在直线l 上的投影向量为()AQ a u u =⋅ ，则PQ ==2.点到平面的距离设已知平面α的法向量为n，A P α∈，是直线α外一点，向量AQ 是向量AP 在平面上的投影向量，则||||||n AP n PQ AP n n ⋅=⋅=重难点1点到直线的距离1．已知空间直角坐标系中的点()1,1,1P ，()2,0,1A ，()0,1,0B ，则点Р到直线AB 的距离为（）A B ．6C D2．空间中有三点()()11,0,0,1,2,0,0,1,2P M N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到直线MN 的距离为（）A ．3B C ．D 3．生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S ABCD -，其所有棱长都为6，且,AC BD 交于点O ，点E 在线段SC 上，且13CE SC =，则SAD 的重心G 到直线OE 的距离为（）A ．5B ．5C ．5D ．54．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为（）A ．1B CD 5．已知直线AB 过点()3,2,0A ，它的一个方向向量为()0,0,1m =，则点()3,0,1C 到直线AB 的距离为_____.6．在空间直角坐标系Oxyz 中，()1,2,1A ，()2,1,B m ，()0,1,2C ，若点C 到直线AB 的距离不小于2，写出一个满足条件的m 的值：_____.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ===，圆E 内切上底面正方形1111A B C D ，F 为圆E 上的动点．(1)求点D 到直线AE 的距离；(2)求AF 的取值范围．重难点2点到平面的距离8．在单位正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 的中点，则点M 到平面1A BD 的距离为（）A B C D 9．如图，在棱长为1的正方体1111BCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则点C 到平面1AEC 的距离等于_____.10．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，3SA =，2SB SC ==，点E 在边SA 上，且2SE EA =，F 为BC 的中点．以SA ，SB ，SC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：(1)直线EF 的一个方向向量；(2)点S 到平面EFC 的距离．11．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,0)A -，(2,1,0)B ，(1,1,3)C ，则三棱锥O ABC -的体积为_____．12．斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，160A AB ∠=︒，点1A 在下底面ABC 的投影为AB 的中点O ．(1)在棱1BB （含端点）上是否存在一点D 使11A D AC ⊥？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点1A 到平面11BCC B 的距离．13．如图，BCD △与MCD △都是边长为4的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =(1)证明：//AB 平面MCD ．(2)求点A 到平面BDM 的距离．14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是正方形，2PA AD =，点E 为PC 上的点，2PE EC =.(1)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；(2)若1AD =，求点C 到平面BDE 的距离.重难点3直线（或平面）到平面的距离15．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32B ．22C D ．16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11AC D 之间的距离为A B ．3C D 17．已知1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，则平面11AB D 与平面1C BD 的距离为_____．18．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，则平面AMN 与平面EFBD 的距离为_____.19．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，设M 、N 、E 、F 分别是1111111AD A B D C B C ，，，，的中点，求平面AMN 与平面EFBD 的距离．知识点2空间角及向量求法1.用向量运算求两条直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u v,，则cos cos,||u v u v u vθ=⋅=⋅ 〈〉注意：①范围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．2.用向量运算求直线与平面所成的角设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n，则sin cos,||u n u n u nθ=⋅=⋅ 〈〉注意：①范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．3.用向量运算求平面与平面所成的角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于π2的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面αβ，的法向量分别为12n n，，则121212|cos cos|n n n n n n θ⋅== 〈，〉注意：①范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．重难点4异面直线所成的角20．直三棱柱111ABC A B C -如图所示，4,3,5,AB BC AC D ===为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线1A D 和1B C 所成的角的余弦值为（）A．5B ．25C．5D．2521．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF =λAD，若异面直线D 1E和A 1F所成角的余弦值为10，则异面直线A 1F 与BE 所成角θ的余弦值为（）A．10B．10C．10D．10-22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，120BAD ∠=︒，PA AB =，点M 是BC 的中点，点N 是PD 上不与端点重合的动点，则异面直线AM 与CN 所成角的正切值最小为（）A ．2B C D 23．已知a ，b 是异面直线，,A B a ∈，,C D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥，且2AB =，1CD =，则a 与b 所成的角是（）A ．30B ．45C ．60D ．9024．正四面体ABCD 中，M 、N 分别为边BC 、AB 的中点，则异面直线DM 、CN 所成角的余弦值为_____．25．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC BB =<，点M 是线段1CC 上靠近点C 的三等分点，记直线11,A B AD 的夹角为1α，直线1,A B BD 的夹角为2α，直线,AM BD 的夹角为3α，则123ααα、、之间的大小关系为_____．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）26．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 长为b ，11120A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AC 的长；(2)证明：1AC BD ⊥；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．重难点5直线与平面所成的角27．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，则直线1D E 与平面1ACD 所成的角的正弦值为（）A ．13B ．9C D ．1928．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．(1)求证：平面1AD F ⊥平面ADE ；(2)求直线EF 与1AD F 所成角的正弦值．29．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 和平面11BB C C 所成角的余弦值为（）A ．4B ．6C ．2D ．230．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 依次为1C C ，BC 的中点．(1)求证：11A B B C ⊥；(2)求1A B 与平面AEF 所成角的正弦值．31．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，112AA A B ==．(1)证明：1AB A C ⊥；(2)若平面1A AB ⊥平面ABC ，且AB =1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值．32．如图1，在梯形ABCD 中，90224AB CD ABC AB CD BC ∠=︒===∥,,，O 是边AB 的中点．将AOD △绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120A OB ∠=︒，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．(1)判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明；(2)若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长；(3)求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．(1)证明：AB PM ⊥；(2)求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．重难点634．三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，ABC 是等边三角形，145A AC ∠=︒，1AA =2AC =.(1)证明：平面1A BC ⊥平面ABC ；(2)求二面角111A BC B --的平面角的余弦值.35．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，,22,60AB CD AB BD CD BDC ∠==== ∥.(1)证明：BC ⊥平面PCD ；(2)若PC ⊥平面,ABCD PC =PAD 与平面PCD 夹角的余弦值.36．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，D 为BC 的中点，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：AD ⊥平面11BB C C ；(2)已知四边形11BB C C 是边长为2的菱形，且160B BC ∠=︒，求平面ABC 与平面1AC D 所成角的正弦值.37．校考期末）如图，ABC 和DBC 所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒，求：(1)直线AD 与平面BDC 所成角的大小；(2)平面ABD 和平面BDC 夹角的余弦值.38．在如图所示的空间几何体中，ACD 与ACB △均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE BE ⊥.(1)求证：平面ABC ⊥平面ADC ；(2)求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值.39．如图，扇形AOB 的半径为2，圆心角120AOB ∠=︒，点C 为AB 上一点，PO ⊥平面AOB 且PO =M PB ∈且2BM MP =，//PA 面MOC ．(1)求证：OC ⊥平面POB ；(2)求平面POA 与平面MOC 所成二面角的正弦值的大小．40．如图1，已知正三棱锥,,P ABC AB M N -=分别为,AB BC的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点P 的展开点分别为12,P P ，点B 的展开点分别为1,B B ），其中1PMN △的面积为在三棱锥-P ABC 中，(1)求证：AB ⊥平面PMC ；(2)求平面PAC 与平面PMN 夹角的余弦值．重难点7已知夹角求其他量41．如图，在四棱锥 P ABCD -中， AB CD ∥， AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =，过AB 的平面α分别交线段PD ，PC 于E ，F .(1)求证：PD EF⊥(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为π3， PA PD =，EF AB =，求平面ABD 和平面BDF 夹角的余弦值.42．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是菱形，AB AC ⊥，平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面111A B C 与平面1AB C 的交线为l .(1)证明：11A B B C ⊥；(2)已知160,2,ABB AB AC l ∠=== 上是否存在点P ，使1A B 与平面ABP 求1B P 的长度；若不存在，说明理由.43．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠= .点D 、E 、N 分别为棱PA 、PC 、BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.(1)求证：//MN 平面BDE ；(2)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．44．如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且ABEF 为等腰梯形，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，平面CDF 与平面BCF 的夹角的大小为π4.45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB AC AD ==．(1)证明：平面PAC ⊥平面PAB ；(2)已知PA =，在线段PB 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC B --的平面角为3π？若存在，求出PQ QB 的值，若不存在，请说明理由．46．（多选）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为侧面11BCC B （不含边界）内的动点，Q 为线段1A C 上的动点，若直线1A P 与11A B 的夹角为45 ，则下列说法正确的是（）A ．线段1A PB 1A Q PQ +的最小值为2C ．对任意点P ，总存在点Q ，使得1⊥D Q CPD ．存在点P ，使得直线1A P 与平面11ADD A 所成的角为6047．（多选）四面体ABCD 中，AB BD ⊥，CD BD ⊥，3AB =，2BD =，4CD =，平面ABD 与平面BCD 的夹角为π3，则AC 的值可能为（）AB C D。

2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之空间角和空间距离

形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝＜，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
⁠
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
⁠
[0，π] .
⁠
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－；如图1(2)，θ＝－＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.

立体几何之夹角、距离问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学(新高考通用)

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题21立体几何之夹角、距离问题目录一览一、典型例题讲解二、梳理必备知识三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标（1）面面夹角（2）线面夹角（3）点到线的距离（4）点到面的距离六、高考真题衔接1.空间中的角（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅== a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为二、梳理必备知识l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅== a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,= n n θ或12,- n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅= n n n n θ．2.空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅= n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图）， n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||n n ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅ AB AB AH AB AB AB n AB AB θ，||||⋅= AB n d n 三、解题技巧实战1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．在△CDO 中，易得222OC CD DO =+-又23PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO则D （0，0，0），()22,0,0A ，(0,22,0B ∴()22,2,2CP =- ，()22,0,0CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22220220x y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取∴1212cos ,212n n ==⨯ ，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为【点睛】方法点拨利用向量法求二面角的方法主要有两种：（平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．2．如图，已知多面体111ABC A B C -中，111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠= ，14A A =，111,2C C AB BC B B ====.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.由题意知()(0,3,0,1,0,0A B -设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为可知()(10,23,1,1,AC AB == 设平面1ABB 的法向量(,n x = 则10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,20,x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令1y =，则3,0x z =-=，可得平面111sin cos ,AC AC n AC θ⋅∴==⋅ ∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．（1）求点M 到直线AC 1的距离；（2）求点N 到平面MA 1C 1的距离．则A(0，0，0)，A1(0，0，（1）直线AC1的一个单位方向向量为故点M 到直线AC1的距离（2）设平面MA1C1的法向量为则1111·0·0n A C n A M ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即202y x z =⎧⎨-=⎩不妨取x ＝1，得z ＝2，故因为N(1，1，0)，所以MN 故N 到平面MA1C1的距离222102102MN n d n -+-==++ 四、跟踪训练达标面面夹角1．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 上一点，,PE AD PA PC ⊥⊥，四边形BCDE 为矩形，且13,,//4BC PE BE PF PC PA ==== 平面BEF .(1)求证：PA ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AB D --的大小.因为//PA 平面BEF ，平面PAC 又//BE CD ，所以AF AF DE BC GC ==则(1,0,0),(0,3,0),(3,0,0),A B D F -设平面ABF 的一个法向量为(m = 则7330444030AF m x y AB m x y ⎧⎧⋅=-++⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩又平面ABD 的一个法向量为(0,0,1)n = 故二面角F AB D --的大小为π4.2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知多面体ABCDEF 中，AD BC EF ∥∥，且4AD CD DE ===，2BC EF ==，π3BCD FED ∠∠==(1)证明：AD BF ⊥；(2)若BF =C AF B --的余弦值．在BCD △中，4DC =，2BC =2222cos BD BC DC BC DC =+-⋅⋅同时AD ∥BC ，可得DB AD ⊥因为BD AD ⊥，DF AD ⊥，且所以AD ⊥平面BDF ；又因为BF ⊂平面BDF ，所以AD （2）在BDF V 中，2BD FD ==即222BD FD BF +=，所以BD ⊥以D 为原点，,,DA DB DF 的方向分别为建立空间直角坐标系如图．其中(4,0,0),(0,23,0),(0,0,23),(2,23,0)A B F C -，所以()()()4,23,0,4,0,23,6,23,0AB AF AC =-=-=- 设向量(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，满足0423004230n AB x y n AF x z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ，不妨令3x =，则2y z ==，故(3,2,2)n = ，设向量(,,)m p q r =为平面ACF 的法向量，满足0423006230m AF p r m AC p q ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ 不妨令3p =，则2,3r q ==，故(3,3,2)m = 131311cos ,||||44114m n m n m n ⋅〈〉===⨯ 由图可知二面角为锐角，所以二面角C AF B --的余弦值为131144.3．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABC 是等边三角形，AB AD ⊥(1)从三个条件：①AC BD ⊥；②120ADC ∠=︒；③2BD AD =中任选一个作为已知条件，证明：1BC DC ⊥；(2)在（1）的前提下，若13AB AA =，P 是棱1BB 的中点，求平面1PDC 与平面1PDD 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)710对②：∵180ADC ABC ∠+∠=又∵AB AD ⊥，即90BAD ∠=可得90BCD ∠=︒，即BC CD ⊥又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC ∴1BC CC ⊥，且1CD CC =I 故BC ⊥平面11CDD C ，注意到1DC ⊂平面11CDD C ，故对③：∵AB AD ⊥，即BAD ∠在Rt BAD 中，则sin ABD ∠故30,ABD CBD AB ∠=∠=︒=故90BCD BAD ∠=∠=︒，即BC 又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC4．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．(1)求证：//AB EF ；(2)若平面CDE ⊥平面ABCD ，4AB =，2EF =，ED FC =，AF =，求平面ADE 和平面BAE 所成角余弦值的绝对值．5．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为1AA 的中点．(1)证明：11B D BC ⊥；(2)设,M N 分别是棱,AC BC 上的点，若点1,,,B D M N 在同一平面上，且ABC 的面积是CMN 的面积的3倍，求二面角1A B M N --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）方法一：延长B 11B C BC ⊥可证得1BC ⊥平面方法二：结合垂直关系可以C 得结论；AB 设2AB = ，则()3,1,1D ，(0,2,0B ()13,1,1DB ∴=- ，(10,2,2BC =- 方法三：1AA ⊥ 平面ABC ，AB 10AA AB ∴⋅= ，10AA AC ⋅= ；则()3,1,0A ，232,,033M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,033MA ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12MB ⎛=- ⎝ 设平面1AMB 的法向量(1,m x y = 则11111131033234233MA m x y MB m x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++⎪⎩设平面1B MN 的法向量(2,x n y =，线面夹角6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，D，E，G分别为11,,AA AC BB的中点，11A C 与平面1EBB交于点F，AB BC==，12AC AA==，1C C BE⊥．(1)求证：F为11A C的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．条件①：平面ABC⊥平面1EBB；条件②：13BC=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为选条件②，因为5AB BC ==，AC由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为7．（2023·全国·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为2的正方形，AD DE ⊥，AB CD ∥，6AE =，1AB BD ==．(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．则()0,0,0D ，()1,0,0B ，E所以()0,2,0= EF ，(1,0,BE =- 设平面BEF 的法向量为n = 取1z =，得2x =，所以可取设直线BC 与平面BEF 所成的角为则sin cos ,BC BC n BC θ⋅== 所以直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值为8．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，PAB PDC ∠=∠．(1)证明：四边形ABCD 为矩形；(2)若2PA AB ==，当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)64【分析】（1）取AD 的中点线面垂直，再证得线线垂直即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求（2）由题意知，当平面PAD ⊥平面（1）知AB AD ⊥，所以以O 为原点，空间直角坐标系，因为2PA AB ==，则()0,0,0O ，B 设平面PDC 的法向量为(,,n x y z = 令3x =，则()3,0,1n =- ．又()1,2,3PB =- ，设直线PB 与平面则sin cos ,23n PB n PB n PBθ⋅=== 所以直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为9．（2023·四川凉山·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11A C 中点，平面11ABB A平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．∵E ，G 分别是BC ，AB 又∵1A F AC ∥且112A F AC =∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ∵EF ⊂平面AEF ，平面（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面设1AA a =，则1(0,22,0)B ，F 所以1(0,22,)AB a =- ，(0,EF = 又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅= ，解得所以(2,2,2)E ，(0,0,2)A ，则设平面11A B E 法向量为(,,n x y = 所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222x ⎧⎪⎨+⎪⎩由（1）知直线EF l ∥，则l 方向向量为设直线l 与平面11BCC B 所成角为则sin cos ,n EF n EF n EF α⋅===⋅ 所以直线l 与平面11BCC B 所成角的余弦值为10．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB ∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B⊥平面1AB C；(2)点P在线段1A E上（异于点1A，E），AP与平面1A BE所成角为π4，求1EPEA的值.点到线的距离11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD BC ，190 1.2ADC PAB BC CD AD ∠=∠==== ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.(1)在平面PAB 内是否存在一点M ，使得直线CM 平面PBE ，如果存在，请确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P −CD −A 的大小为45︒，求P 到直线CE 的距离.点E 为AD 的中点，AE ED ∴=1,2BC CD AD ED BC ==∴= ，AD BC ∥ ，即ED BC ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形，即,,AB CD M M CD CM ⋂=∴∈∴ BE ⊂ 平面,PBE CM ⊂平面PBE CM ∴ 平面PBE ，,M AB AB ∈⊂ 平面PAB ，M ∴∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M （2）如图所示，ADC PAB ∠∠= 且异面直线PA 与CD 所成的角为又,,AB CD M AB CD ⋂=⊂平面AD ⊂ 平面,ABCD PA AD ∴⊥，又,,AD CD PA CD AD PA ⊥⊥⋂=CD \^平面PAD ，PD ⊂ 平面,PAD CD PD ∴⊥.因此PDA ∠是二面角P CD A --PA AD ∴=.因为112BC CD AD ===.以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为⎫⎪⎭12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，160A AC ∠=︒，1A B =(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ；(2)设M 为侧棱1CC 上的点，若平面1A BM 与平面ABCM 到直线11A B 距离．轴，建立空间直角坐标系，-中，底面四边形ABCD 13．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.(1)求证：AE //平面POC ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，且3ABC PAB π∠∠==，24AB PA ==；①求PD 与平面POC 所成的角；②在棱PD 上是否存在点F ，使点F 到直线OD 的距离为21，若存在，求DF DP 的值；若不存在，说明理由.（2）①在平面PAB 内过点O 作Oz 菱形ABCD 中3ABC π∠=，则OC ⊥以O 为原点，分别以,,OB OC Oz 所在直线为()()(1,0,3,0,23,0,4,23,0P C D --(1,0,3)OP =- ，(0,23,0)OC = ，设平面POC 的一个法向量为(,n x y = 则30230n OP x z n OC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取=3x ，得设直线PD 与平面POC 所成的平面角为n PD ⋅ 4②设[],0,1DF DP λλ=∈14．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为4，点A 到平面1BC D 的．(1)求1BC D 的面积；(2)若2AB BC ==，动点E 在线段1DD 上移动，求1AEC 面积的取值范围．则(2,0,0)A ，1(0,2,1)C 设(0,0,)(01)E t t ≤≤，则(2,0,EA = 则直线1AC 的单位方向向量为u =r 则点E 到直线1AC 的距离为d EA = 所以1AEC 的面积1112AEC S AC =⋅△所以1AEC 面积的取值范围为32⎡⎢⎣15．（2022·全国·高三专题练习）在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1.（1）求1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值；（2）求二面角1E A D F --的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由.则1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，(2E ，1，所以11(2,4,2),(2,0,2),(2,1,0)A C DA DE =--==设平面1A ED 的法向量为(,,)n x y z = ，则有100n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则=2y -，1z =-，故(1,n =- 所以111||2|cos ,|3||||A C n A C n A C n ⋅<>== ，故1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值为23点到面的距离16．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,120,3,ABC AB BC ABC PA D ∠==== 为线段PC 上一点，且BC BD ⊥.(1)在线段AC 上求一点M ，使得平面BPC ⊥平面BDM ，并证明；(2)求点C 到平面ABD 的距离.则33(0,,0),(,0,0),(0,22A B C -设PD PC λ= ,其中01λ≤≤，则BD BP PD BP PC λ=+=+ 因为BC BD ⊥，所以BC BD ⋅ 设平面BPC 的法向量为m = 则33022330m BC x y m PC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 设33(0,,0),22M b b -≤≤，MB17．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD AB ⊥，22DC AD a ===，PA PD =，二面角P AD B --的大小为135︒，点P 到底面ABCD 的距离为2a ．(1)过点P 是否存在直线l ，使直线l ∥平面ABCD ，若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由；(2)若2PM MC = ，求点M 到平面PAD 的距离．平面，建立空间直角坐标系，由条件（2）取线段AD 的中点为O ，线段连接,OE OP ，因为ABCD 为直角梯形，AB CD 所以//OE AB ，又AD AB ⊥，所以AD OE ⊥，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又PO OE O = ，,PO OE ⊂平面POE 所以AD ⊥平面POE ，过点O 在平面POE 内作直线ON ⊥则直线,,OA OE ON 两两垂直，以O 为原点，,,OA OE ON 为,,x y z 过点P 作//PF NO ，交直线OE 于点因为,ON OA ON OE ⊥⊥，,OA OE 所以ON ⊥平面ABCD ，故PF ⊥平面又点P 到底面ABCD 的距离为2a ，所以因为OE AD ⊥，OP AD ⊥，18．（2023·云南红河·统考二模）如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．(1)若M 为线段BF 上的一个动点，证明：CM ∥平面ADE(2)若60BAD ∠=︒，2AB =，直线CF 与平面BCE F 到平面BCE 的距离．()3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,0,E a19．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD E --为60°，DE CF ∥，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．(1)求证：CD AE ⊥；(2)求直线DE 与平面AEF 所成角的正弦值．(3)直接写出λ的值，使得CG CF λ=，且三棱锥B ACG -【答案】(1)证明见解析CD AD ⊥ ，CD DE ⊥，ADE ∴∠即为二面角A CD F --的平面角，即∴(0,1,3)A ，(0,0,0),(0,3,0),(3,6,0)D E F ∴(0,2,3),(3,5,3),AE AF DE =-=-设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，230,3530.n AE y z n AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令2z =，则所以(3,3,2)n =-，∴3330cos ,10310DE n DE n DE n ⋅===20．（2023·江西九江·统考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11AA B B ，13ABB ∠=，1AB =，12AC AA ==，D 为棱1BB 的中点．(1)求证：AD ⊥平面11AC D ；(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥1E AC D -的体积．则()0,0,0A ，1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,0,2D ⎛ ⎝所以1,1,02AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,0,2AD ⎛= ⎝ 设(),,n x y z =r为平面1AC D 的一个法向量，则10n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1302223x z x y ⎧+=⎪⎨⎪-++⎩所以点E 到平面1AC D 的距离d =则三棱锥1E AC D -的体积13S V =1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 五、高考真题衔接的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．则()2,0,0A 、()2,2,0B 、(2,0,2C 则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为EF ⊄ 平面ABC ，故//EF 平面2．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩ 可取()1,0,1m =-，3．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．4．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．。

空间向量研究距离夹角问题

空间向量研究距离夹角问题
空间向量的研究主要涉及到向量的运算和几何性质。

距离和夹角是空间向量的两个重要概念。

1. 距离：在三维空间中，两个点之间的距离可以通过计算它们的欧氏距离来确定。

设两点分别为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d可以使用以下公式计算：
d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
2. 夹角：空间向量的夹角可以通过向量的内积和模长来计算。

设向量A和向量B夹角为θ，则它们的夹角可以使用以下公式计算：
cosθ= (A·B) / (|A| |B|)
其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。

值得注意的是，两个向量的夹角范围是[0, π]，即0度到180度之间。

如果需要计算夹角的度数，可以使用反余弦函数acos来计算：
θ= acos(cosθ)
使用这些公式，可以较为准确地计算空间向量之间的距离和夹角。

高三数学一轮复习8.8空间夹角和距离精品名师课件人教版

用法向量求点到平面的距离如图所示，已知AB是平面α的一条斜线，
n 为平面α的法向量，则 A到平面α的距离
AB n
为 d
A
n
n
C
B
α
用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
cos 10
4
例7. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，已知AB=2，AA1=5、E, F分别为DD1, BB1上的点，且DE=B1F=1, （Ⅰ）求证：BE⊥平面ACF ；
（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离.
5
D1
C1
A1
B1
3
F
E
D
C
A
B
例8、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面
ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
3 , BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；3147 （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面
PAC，并求出N点到AB和AP的距离．
P E D
N点到AB的距离=1;Fra bibliotekN点到AP的距离=
3 6
C
A
B
例1．（1）直三棱柱A1B1C1－ABC中，
∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1, A1C1
的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成
角的余弦值是（ A ）
（A ） 30 （B）1 （C） 30 （D） 15

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

AB CD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面线线平行l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=；线面平行l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=；面面平行α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=；线面垂直l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=；面面垂直α⊥β⇔⊥.0=⋅⇔(二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h =||||AP n n ⋅(实质是AP 在法向量n 方向上的投影的绝对值)③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==(12,l l 的公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点).题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角（3）AB 与CD 的距离.解：设,,,===则,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===（1）2||===∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为z y x ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①；由CD ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21|n |||n ||d ===⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将有基底表示，，也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。

用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类(讲+练)(学生版) 24-2025学年高二数学(人教选修一)

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类一、空间向量研究距离问题1．点P 到直线l 的距离:已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l (如图)．2．点P 到平面α的距离:设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n||n|(如图)．3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．二、空间向量研究夹角问题1．两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．2．空间角的向量法解法角的分类向量求法范围线线角设两异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |(0，π2]线面角设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos〈u ，n 〉|＝|u ·n ||u ||n |[0，π2]面面角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|[0，π2]（一）点到直线的距离1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.题型1：利用空间向量求点到直线的距离1-1．（2024高二上·北京大兴·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为正方形11ADD A 的中心，若P 为平面1OD B 内的一个动点，则P 到直线11A B 的距离的最小值为（）A ．22B ．12C ．64D ．331-2．（2024高二上·河南新乡·期末）已知空间三点()()()2,1,0,2,1,1,1,0,1A B C -，则点C 到直线AB 的距离为．1-3．（2024高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点B 到直线1AC 的距离为（）A ．63B ．66C ．65D ．2631-4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是a ，且AB AD ^，1160A AB A AD Ð=Ð=°，E 为1CC 的中点，则点E 到直线1AC 的距离为（）A ．510a B ．55a C ．54a D ．53a（二）点到平面的距离与直线到平面的距离1、用向量法求点面距的步骤：(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )．(4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.2、求点到平面的距离的主要方法：(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法:d=|n ·MA ||n |(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A 的斜线段).题型2：利用空间向量求点到平面的距离2-1．（2024高二上·陕西西安·期末）在直角梯形ABCD 中，,2222,90AD BC BC AD AB ABC ===Ð=°∥，O 为BD 中点，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ^平面BCD ，如图（2）．(1)求证：OA CD ^；(2)若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．2-2．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，AC BC ^，14BC AC CC ===，D 为1AB 的中点，1CB 交1BC 于点E ．(1)证明：11CB C D ^；(2)求点E 到平面11B C D 的距离．2-3．（2024高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，4524,,5AB AD PD E ===是PA 的中点，2FB PF =uuu r uuu r ，则点C 到平面DEF 的距离为（）A ．3105B ．2105C ．105D ．10102-4．（2024高二下·云南楚雄·期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是线段1BC 上靠近点B 的一个三等分点，D 是1AC 的中点．(1)证明：1A D //平面1AB E ；(2)若16AA AB ==，求点1A 到平面1AB E 的距离．（三）两条异面直线所成的角1、求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB → 与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB → ·CD →||AB → ||CD →|.注：用空间向量求两条直线l 1，l 2夹角θ的步骤与方法：(1)化为向量问题：转化为求两直线l 1，l 2的方向向量u ,v 的夹角；(2)进行向量运算：计算cos ⟨u ,v⟩=u∙v|u |∙|v |的值；(3)回到图形问题：两条直线l 1,l 2夹角θ的余弦值cos θ=|cos ⟨u ,v⟩|.题型3：利用空间向量求异面直线的夹角3-1．（2024高二下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC CC ^===，建立适当的空间直角坐标系，并求1A B uuu r 与1B C uuur的夹角余弦值.3-2．（2024高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===Ð=Ð=Ð=°．(1)证明：1AC BD ^；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．3-3．（2024高一下·浙江宁波·期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为直线1BB 上的异于点B 的动点，则异面直线1A B 与MN 所成的角的最小值为q ，则sin q =（）A ．1010B ．105C ．31010D ．21053-4．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2Ð=Ð=ABC BAD ，3PA AD ==，1AB BC ==.点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，则线段BQ 的长为（四）直线与平面所成的角利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u ；(3)求平面的法向量n ；(4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |.题型4：利用空间向量求直线与平面所成的角4-1．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ^平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB Ð=，1A B AC ^，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B ^平面1AB C ；(2)点P 在线段1A E 上（异于点1A ，E ），AP 与平面1A BE 所成角为π4，求1EP EA 的值.4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，2AD =，4DC =，60BAD Ð=o ，PD ^平面ABCD ，直线PD 与平面PAC 所成角为30o ，则PD =（）A ．22B ．475C ．677D ．74-3．（2024高二下·甘肃金昌·期中）如图，已知AE ^平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD ==，2BC =.若2AE =，1CF =，则BF 与平面BDE 所成角的余弦值为.4-4．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ^平面ABCD ，M 为PC 中点．(1)求证：//PA 平面MBD ；(2)若2AB AD PA ===，求直线BM 与平面AMD 所成角的正弦值．4-5．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4=AD ，13AA =，1B C 交1BC 于点E .(1)证明：直线1//D E 平面1A BD ；(2)求AD 与平面1A BD 所成角的正弦值.4-6．（2024·陕西商洛·二模）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，2AP =，则直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（）A ．255B ．25C ．23D ．334-7．（2024高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆1O 的直径为AB ，圆台的上底面圆2O 的直径为PQ ，C 是弧AB 上一点，且222PA AC PC BC PB =====，.（五）两个平面的夹角求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉(当〈n 1，n 2〉∈[0，π2]时)或π－〈n 1，n 2〉注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.题型5：利用空间向量求二面角5-1．（山东省滨州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ^底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ^，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB 上．(1)证明：平面EAC ^平面PBC ；(2)当2BE EP =uuu r uuu r时，求二面角P AC E --的余弦值．5-2．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形ABCD 为菱形，ED ^平面ABCD ，FB ED P ，222BD ED FB ==.(1)证明：平面EAC ^平面FAC ；(2)若60BAD Ð=°，求二面角F AE C --的大小.5-3．（2024高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ^，AB DC P ，PA ^底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点，22AD DC AP AB ====．(1)证明：//BE 平面PAD ；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使得二面角F AD C --的余弦值为1010，若存在，求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由．5-4．（2024高三下·河南·阶段练习）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，平面1D BC ^平面1D BD .(1)求证：BC BD ^；(2)若1224AA BD BC ===，探索在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二面角1E BD D --的大小为30o ？若存在，求出1AEAA 的值；若不存在，请说明理由.5-5．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，2AB =，1DS =，平面ASD ^平面ABCD ，SD AD ^，点E 为DC 上的动点，平面BSE 与平面ASD 所成的二面角为(q q 为锐角)，则当q 取最小值时，DE =．题型6：利用空间向量求两个平面的夹角6-1．（2024高二上·湖南郴州·期末）如图2，在ABCD Y 中，2AB =，3BC =，30ABC Ð=°．将DAC △沿AC 翻折，使点D 到达点P 位置（如图3），且平面PAC ^平面PBC ．(1)求证：平面PAC ^平面ABC ；(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ mPB =uuu r uuu r，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的夹角的余弦值为24，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．6-2．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，90CAB Ð=°，2AC AB ==，M ，N 分别为AB 和1BB 的中点，D 为棱AC 上的点.(1)证明：1A M DN ^；(2)是否存在点D ，使得平面1C DN 与平面11ABB A 夹角的余弦值为53？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段AD 的长.6-3．（2024高二下·福建福州·期中）如图，圆O 是ABC V 的外接圆，CE ^平面ABC ，AB 是圆O 的直径，30CAB Ð=°，2CE BD =uuu r uuu r，且2CE AB ==.(1)求证：平面ACE ^平面BCED ；(2)若2ME DM =，求平面ACM 与平面ACE 夹角的余弦值.6-4．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，BD PC ^，四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，1AB PA ==，2PB =，E 是棱PD 上的中点.(1)求三棱锥C BDE -的体积；(2)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值.6-5．（2024高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为q ，若π0,2q æùÎçúèû，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．6-6．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2π3ADC Ð=，24PD DC BC ===，点E 是线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF AP l =uuu r uuu r ，PD ^面ABCD .(1)当13l =时，证明：PC //平面BFE ；(2)当l 为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？一、单选题1．（2024高二下·四川成都·期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===，则1AD uuuu v 与1DB uuuu v夹角的余弦值为（）A B C ．15D ．2．（2024高二上·贵州铜仁·期末）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，点E ，F 分别是11B C和1BB 的中点，M 是线段1D F 的中点，则直线AM 和CE 所成角的余弦值为（）A B C D 3．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别取棱1AA ，11A D 的中点E ，F ，点G 为EF 上一个动点，则点G 到平面1ACD 的距离为（）A B C ．1D 4．（2024高二上·河北邯郸·期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB ^底面ABCD ，AB =2BD PB ==，则PCD △的重心到平面PAD 的距离为（）A ．29B ．13C ．49D ．5185．（2024高二下·福建福州·期中）如图在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AD DD AB ===E ，F ，G 分别是1,,AB BC CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1//D P 平面EFG 平行，则线段BP 的最小值为（）A B ．1C D ．126．（2024高二下·江苏南京·期中）已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =u r ，(1,1,1)n =r ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A B C ．13D 6.3.4空间距离的计算（1））已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--r，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α的距离为（）A ．10B ．3C ．83D ．1038．（2024高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，4SO AB ==，AC BC =，D 为SO 的中点，N 为AD 的中点，则点N 到平面SBC 的距离为（）A ．43B ．53C ．1D ．29．（2024高二下·江西景德镇·期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，M 为线段EF 上的一动点，则直线1A D 与1B M 所成角的余弦值的取值范围是（）A ．12éêëB ．C ．D ．35éêë10．（2024高二下·浙江·阶段练习）如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD o Ð=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ^平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE 与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B C D 11．（2024高二下·全国·单元测试）三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直且相等，点,P Q 分别是线段BC 和OA 上移动，且满足12BP BC £，12AQ AO £，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．（2024高二下·河南周口·阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，M 为棱PC 的中点，则异面直线AC ，BM 所成角的余弦值为（）A B C D 13．（2024高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A B C D 14．（2024高二下·浙江·期中）在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为线段1AC （不与C 点重合）上的点，且满足1(0)A E mEC m =>uuur uuu r ，当二面角E AD C --的平面角为π4时，实数m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．（2024高二上·浙江金华·期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB =BH ，那么直线AH 与直线IG 所成角的余弦值为（）A ．BC ．12-D ．1216．（2024高二下·浙江·学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥P ABC -中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，二面角A BD C --的大小为q .当x 增大时，（）A ．q 增大B ．q 先增大后减小C ．q 减小D ．q 先减小后增大17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱锥P ABCD -中，AB BC ==1，则直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为（）A ．13B C D 18．（2024高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，90BAD Ð=°，112PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是棱PD 上靠近点P 的四等分点，则CQ 与平面PAB 所成角的正弦值为（）．A B C D ．1619．（2024高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为体对角线1B D 上一点，且12DP PB =，则异面直线1AD 和CP 所成角的余弦值为（）A ．0B ．35C ．45D 二、多选题20．（江苏省淮安市淮海中学2023-2024学年高二上学期收心考试数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A ．AC 与1BD 的夹角为60°B ．二面角1D ACD --C ．1AB 与平面1ACD D ．点D 到平面1ACD 21．（2024高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ^平面EFGC ．11//AD 平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 22．（2024高二下·江西宜春·开学考试）点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为()1,1,1s =-r的直线l，则点M 的坐标是（）A ．()0,0,3-B ．()0,0,3C ．(D ．(0,0,23．（2024高二上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ^平面BCD ，ABC V 与BCD △均为等腰直角三角形，且90BAC BCD Ð=Ð=°，2BC =，P 是线段AB 上的动点（不包括端点），若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30o 的角，则线段PA 的长度可能为（）A B C D 24．（2024高二上·河南·期中）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，BD CD ^，BD CD ==ABD为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF ，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．5325．（2024高二下·江苏淮安·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．点1C 到直线CQB ．122CQ AB AD AA =--+uuu r uuu r uuu r uuu rC ．平面ECG 与平面1BCD 的夹角余弦值为13D ．异面直线CQ 与BD 26．（海南省海口市龙华区海南华侨中学2023届高三一模数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．不存在点Q ，使得11//C Q A CB ．存在点Q ，使得11C Q A C^C ．对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为D ．对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形三、填空题27．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14DD =，则11A B 与平面11A C D 所成的角的正弦值为．28．（2024高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，BD ，1BB 的中点，则1C E 与FG 所成的角的余弦值为 .29．（2024·浙江绍兴·一模）如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M = .30．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到平面1AEC 的距离为．31．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，E ､F ､H 分别是AB ､CD ､11A B 的中点，则直线EC 到平面AFH 的距离为 .32．（2024高二上·山东枣庄·期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为 .33．（2024高一·全国·课后作业）正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A CC B --的大小为 .34．（2024高三·全国·课后作业）已知PA ^平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD 所成角的取值范围是．35．（2024高一下·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .四、解答题36．（2024高二上·天津·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD Ð=o .(1)求证：BD ^平面PAC ；(2)若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.37．（2024高二下·广东广州·阶段练习）如图，四棱锥P ABCD -中，CD ^平面PAD ，//AB CD ，1AB =，2CD =，M 为棱PC 上一点.(1)若M 为PC 的中点，证明：//BM 平面PAD ；(2)若2PA PD AD ===，且//PA 平面BMD ，求直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值.38．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB 的中点．(1)求点D 到平面1AD E 的距离为d ；(2)求1BC 到平面1AD E 的距离．39．（2024高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为1A B 的中点，1AA ==(1)证明：BC ∥平面1AC D ；(2)求直线BC 到平面1AC D 的距离．40．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ^底面ABC ，90BAC Ð=o ，点D 、E 分别为棱PA ，PC 的中点，M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，4PA AC ==，2AB =.(1)求证：//MN 平面BDE ；(2)求直线MN 到平面BDE 的距离.41．（2024高二下·全国·课后作业）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，CD ＝1，BC ＝2，DF ＝1．(1)求证：BE ∥平面DCF ；(2)求点B 到平面DCF 的距离．42．（2024高二上·浙江杭州·期中）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ^平面ABC ，PAC V 为正三角形，E ，F 分别是棱,PC PB 上的点，且满足(01)PE PF PC PBl l ==<<．(1)求证：BC AE ^；(2)是否存在l ，使得直线AP 与平面AEF l 的值；若不存在，请说明理由．43．（2024·新疆·模拟预测）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ^菱形ABCD 所在的平面，60ABC Ð=°，点E ､F 分别是BC ､PC 的中点，M 是线段PD 上的点.（1）求证：平面AEM ^平面PAD ；（2）当AB AP =时，是否存在点M ，使直线EM 与平面ABF ？若存在，请求出PM PD 的值，若不存在，请说明理由.44．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝5，BC ＝2AB ＝4，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM ⊥PC ，求直线PB 与面PCD 所成角的正弦值．45．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABP 所在的平面互相垂直，且//AB CD ，AB BC ^，AP PB ^，2AB =，1BC CD ==．(1)求证：AB PD ^；(2)求直线PC 与平面ABP 所成角的余弦值；(3)线段PA 上是否存在点E ，使得//PC 平面EBD ？若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由．46．（2024高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥P ABC -中，已知PA ^平面ABC ，平面PAB ^平面PBC ．(1)证明：^BC 平面PAB ；(2)6PA AB ==，3BC =，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为D 的位置；若不存在，说明理由．47．（2024··模拟预测）如图，四边形ACC 1A 1与四边形BCC 1B 1是全等的矩形，1AB AA ==．(1)若P 是AA 1的中点，求证:平面PB 1C 1⊥平面PB 1C ;(2)若P 是棱AA 1上的点，直线BP 与平面ACC 1A 1求二面角B 1﹣PC ﹣C 1的余弦值．48．（2024·福建福州·二模）如图1，在ABC V 中，2π2,,3AB AC BAC E Ð===为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF AB ^.将BEF △沿EF 翻折到B EF ¢V 的位置，如图2.(1)当AB ¢=B AE ¢^平面ABC ；(2)已知二面角B EF A ¢--的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E ¢与平面B MF ¢所成角的正弦值M 的位置；若不存在，请说明理由.49．（2024·江苏·二模）如图，在三棱台111ABC A B C -中，BA BC ^，平面11A B BA ^平面ABC ，二面角1B BC A --的大小为45°，2AB =，1111BC A B AA ===.(1)求证：1AA ^平面ABC ；(2)求异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值.50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，AB BC =，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点.11BF A B ^.(1)证明：BF DE ^；(2)求平面11BB C C 与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.51．（2024·河南郑州·模拟预测）在底面ABCD 为梯形的多面体中.AB CD ∥，BC ⊥CD ，2AB CD ==，∠CBD ＝45°，BC ＝AE ＝DE ，且四边形BDEN 为矩形．(1)求证：BD ⊥AE ；(2)线段EN 上是否存在点Q ，使得直线BE 与平面QAD 所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q 的位置并加以证明．52．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高SO =6，点P 在高SO 上，ABC V 是圆锥SO 底面的内接正三角形.(1)若PO ，判断PA 和平面PBC 是否垂直，并证明；(2)点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-ABC 的体积.53．（2024高二下·江苏盐城·期中）如图，在Rt AOB V 中，π2AOB Ð=，4AO =，2BO =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在线段AB 上．(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值；(2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦值的最大值．54．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ^平面ABCD ，PA PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，点E 在棱PC 上，2CE PE =.(1)证明：平面BDE ^平面ABCD ；(2)当直线DE 与平面PBD 所成角最大时，求四棱锥P ABCD -的体积.55．（2024高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是矩形，若2AD QD QA ===，1CD QC ==，(1)证明：平面QAD ^平面ABCD ；(2)若E F ，分别是QC QD ，的中点，动点P 在线段EF 上移动，设q 为直线BP 与平面ABCD 所成角，求sin q 的取值范围．。