空间解析几何 (1)
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大一数学课程中的一部分，涵盖了三维空间中的点、直线和平面的相关知识。
以下是一些大一空间解析几何的知识点总结。
1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z表示。
在该坐标系中，每个点都可以表示为一个有序三元组(x, y, z)，称为点的坐标。
2. 点和向量：点表示空间中的位置，而向量表示从一个点到另一个点的方向和长度。
向量可以表示为两点之间的位移。
3. 向量的加法和减法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，而向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
4. 向量的数量积和向量积：向量的数量积（点积）是两个向量的对应分量相乘再求和，而向量的向量积（叉积）是两个向量的乘积向量的模长等于原来两个向量的模长乘积与这两个向量夹角的正弦积。
5. 直线的方程：直线可以由点和方向向量来表示。
给定一点P和平行于向量v 的直线L，直线L可以表示为L：r = P + tv，其中r是直线上的任意一点，t 是实数。
6. 平面的方程：平面可以由一个点和一个法向量来表示。
给定一点P和法向量n，平面可以表示为n·(r - P) = 0，其中r是平面上的任意一点。
7. 平面与直线的位置关系：平面和直线有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和直线平行意味着它们没有公共点；平面和直线相交意味着它们有一个公共点；平面和直线重合意味着它们有无数个公共点。
8. 平面与平面的位置关系：平面和平面也有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和平面平行意味着它们没有公共点；平面和平面相交意味着它们有一条公共直线；平面和平面重合意味着它们完全重合。
这些知识点是大一空间解析几何的基础，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决三维空间中的几何问题。
在学习过程中，还可以进一步学习曲面、二次曲线、空间几何体等更高级的知识。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何参考答案
空间解析几何参考答案练习一一1 D 2 B 3 D 4 C 5 B二1，2； 2，2； 3，1,1,1}3- 4, {}4,2,3-- 三， 222240A B a b λλ∙=+=+=得2λ=-； ()222b 226,15A B a b b a a b A B a λλλλλ⨯=⨯+⨯=-⨯⨯=-=-==-，解得，或 四222216913a b a b a b a b ±=+±∙=±=，；五()()()22220c 232a b a b c a b a c b c a b a c b c =++=+++∙+∙+∙=+∙+∙+∙ 32a b a c b c ∙+∙+∙=- 六 ()()a 2a 33a 2a 5a b b b b b +⨯-=-⨯+⨯=-⨯,5a 5a sin4b b ∏-⨯==练习二 一1 C 2 C 3 D 4 A 5.C 6.C二 1,m=1,m=3 2, 1 三(1) 2113;340110ij k n i j k x y z ==+-+--=-所求平面方程为(2) 11123;30211ij k n i j k x y z =-=-++--=所求平面方程为2；(3) 10024;20542i j kn j k y z ==++=-所求平面方程为；(4)，,2,2x y z A A x y z ++==++=设所求平面方程为则有所求平面方程为 ；(5)，333396;20310i j k n i j k y z =-=---=所求平面方程为x-3；(6) 2,A 8A x y z A ++=-设所求平面方程为8则有其在X 、Y 、Z 轴截距分别为-， 31,18,12,21202616A A A x y z ⨯==±++±=-故有解得，所求平面方程为8 ； 四()222000000113,,,,3,449122x y z M x y z t AM t t t --+====++=设球心则由得 ()()()()()2222,3,10,31,5,2319M M x y z ±----+-++=得t=1,球心或则球为()()222159y z ++++=或x五(1)直线，平面(2)圆，圆柱面(3)双曲线，双曲柱面(4)抛物线，抛物柱面(5)原点，z 轴练习三一1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6B二，1.24231x y z --==- ；2. 124213x y z -+==--- 三， ()11143,1,0,0213i j ks i j k ==----点在直线上，故对称式方程为1414133x t x y z y t z t =-+⎧+⎪=-⎨--⎪=-⎩==参数方程为 四()12,2,124,7,6,9x t y t z t t =+=-=-+=---代入平面方程得故交点为()()()2,1,,27,5,92,1,10,3u u u u u u u ++-++∙==-设另一直线上点由得()7691,8,6,186x y z s +-+=-==-所求直线为 五()()223220,2312220x y y z x y z λλλλ--+-+=+---+=设经过直线的平面为即242403140,1,220x y z y z λλλ-+-=⎧--==-⎨+-=⎩由两平面垂直，得故所求直线为 自测题 一 1，2；3.0x y z -+=；3，20y z x +=⎧⎨=⎩； 4，210y z x ⎧+=⎨=⎩；5，3λ=-二，1 C 2 D 3 B 4 A 三，1，1293110x y z -++==--；2，23,231x y z x y z +-=--= 3，sin cosx t y t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩；42 ；5，40x y z ++-=。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
第1讲 数学：空间解析几何(一)
第一章高等数学
第一节空间解析几何
一、向量代数
（一）向量及其线性运算
既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，
记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，
向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c，
如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律：
①交换律 a + b = b + a
②结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）
向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量b 与 a 的负向量-a 的和，即
b - a = b + (-a)
由向量加法的三角形法则可知：
向量 a 与实数λ的积记作λa，它是一个向量，它的模
它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：
由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：
1页。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
第十章(空间解析几何)(数一)(基础留白版)
ax ay az 3. a,b,c 共面 ⇔ bx by bz = 0 .
cx cy cz 【例 4】已知=a {1, 2, −3}，=b {2, −3, k} ， c = {−2, k, 6} ，
（1）若 a ⊥ b ，求 k ;（2）若 a c ，求 k ;（3）若 a,b,c 共面，求 k .
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1 z2 − z1 = 0 ． z3 − z1
【评注】（1）.法向量是不唯一的.
（2）. Ax + By + Cz = 0 表示通过原点的平面， Ax + By + D =0 表示平行于 z 轴的平面，
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .
2.一般式：空间 O − xyz 中平面方程为三元一次方程
Ax + By + Cz + D = 0
3. 截距式：在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的截距分别为 a, b, c (abc ≠ 0) 的平面方程为
x + y + z =1 abc 4.三点式：过空间不共线的三点{x1, y1, z1}，{x2, y2, z2}，{x3, y3, z3} 的平面方程为
二.直线方程 平行于直线的非零向量称为该直线的方向向量，记为 s = {m, n, p}，方向向量不唯一.
1.对称式（点向式）:过点 ( x0 , y0 , z0 ) 且方向向量为 s = {m, n, p}的直线方程为
第一节空间解析几何简介.doc
多元函数微分学§1空间解析几何简介【目的要求】1、会建立曲面和旋转曲面的方程；2、会求空间曲线在坐标面上投影方程；3、熟练识别空间柱面方程；了解常见二次曲面方程．【重点难点】旋转曲面的方程的建立；空间柱面概念的理解．【教学内容】在平面解析几何中, 通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来, 把平面上的图形和方程对应起来, 从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样, 空间解析几何的知识对学习多元函数也是必要的.本章先简要介绍空间解析几何的有关内容.一、空间直角坐标系在空间任意选取一定点O点, 过定点O作三条互相垂直的以O为原点的数轴：Ox轴（横轴）、Oy轴(纵轴), Oz轴(竖轴)，统称为坐标轴．它们的顺序按下角度转述右手规则确定：以右手握住z轴，让右手的四个手指从x轴正向以/2向y轴正向时，大姆指的指向就是z轴的正向(如图4-1)．这样就构成了一个空间直角坐标系，如图4-2所示．点O称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面．由x轴与y轴确定的平面称为xOy平面，类似地有yOzx横轴y纵轴z竖轴∙定点o图 4-2平面和zOx 平面．显然, 三个坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限(图6-3). 含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第Ⅰ卦限，其它第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限，在xOy 平面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅰ、Ⅱx 、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分分别称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图4-3)．设M 为空间任意一点, 过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于P 、Q 、R 三点(图4-4)．设这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为、y 和z ．则点M 唯一确定了一个三元有序数组(,,)x y z ；反之，设给定一组三元有序数组(,,)x y z ，在x 轴、y 轴和z 轴上分别取点P 、Q 、R ，使得OP x =, OQ y =,OR z =, 然后过P 、Q 、R 三点分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，这三个平面相交于点M ，即由一个三元有序数组(,,)x y z 唯一地确定了空间的一个点M ．于是，空间的点M 和三元有序数组(,,)x y z 之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点M 的坐标，记为(,,)M x y z ，并依次称x 、y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O 的坐标为(0,0,0)；x 轴、y 轴和z 轴上点的坐标分别为(,0,0)x 、(0,,0)y 、(0,0,)z ；xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面上点的坐标分别为(,,0)x y 、(0,,)y z 和(,0,)x z ．x Oyz图 4-1二、空间两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间任意两点，过这两点可作一条空间直线, 称空间直线段12M M 的长度为空间两点12,M M 之间的距离, 由此得空间任意两点间的距离公式：12d M M ==特别地, 点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==xy)例1 求点(2,1,1)M -到y 轴的距离．解 过点M 作y 轴的垂线，其垂足点P 的坐标为(0,1,0)，所以MP ==．例2 设动点M 与两定点1(1,2,1)P -, 2(2,1,2)P-等距离,求此动点M 的轨迹． 解 设动点(,,)M x y z ,因为12||||PM P M =，所以=由此得点M 的轨迹为26630x y z +--=.以后我们会知道, 这是一个空间平面方程.三、空间曲面及其方程与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程(,)0F x y =的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程(,,)0F x y z =之间的对应关系．在空间解析几何中，任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹．因此，曲面上的所有点都具有共同的性质，这些点的坐标必须满足一定的条件．在这样的意义下，先建立空间曲面S 与三元方程(,,)F x y z = (1)之间的对应关系：定义 1.1 如果三元方程(,,)0F x y z =与空间曲面S 有下列关系: (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1)； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1),那么，方程(1)就称为曲面S 的方程，而曲面S 就称为方程(1)的图形(见图4-5)． 这样, 可利用方程来研究曲面. 关于曲面的讨论, 有下列两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 如何建立该曲面的方程；(2) 已知方程(,,)0F x y z =, 研究此方程所表示的曲面形状.例3 求球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面方程．解 设(,,)M x y z 是球面上任一点(见图4-6)，则有0M M R =，由两点间距离公式得R =．两边平方，得222000()()()x x y y z z R -+-+-=．(2) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程．所以，方程(2)就是以点0000(,,)M x y z 为球心、R 为半径的球面方程． 特别地，以原点(0,0,0)O 为球心, R 为半径的球面方程为2222x y z R ++=． 一般的, 设有三元二次方程2220Ax Ay Az Dx Ey Fz G ++++++=,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化为方程(2)的形式, 那么它的图形就是一个球面. 例4 考察方程222x y R +=表示怎样的曲面．解 方程222x y R +=在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 此方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足方程, 那么这些点就在该曲面上. 这就是说, 凡是通过xOy 面内圆222x y R +=上一点(,,0)M x y , 且平行于z 轴的直线l 都在此曲面图4-5图4-6上, 因此, 该曲面可以看做是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆222x y R +=移动而形成的. 这种曲面叫做圆柱面(见图4-7), xOy 面上的圆222x y R +=叫做它的准线, 平行于z 轴的直线l叫做它的母线.一般的, 直线L 沿定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程222x y R +=在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆222x y R +=.类似地, 方程23y x =表示母线平行于z 轴的柱面,它的准线是xOy 面上的抛物线23y x =,该柱面叫做抛物柱面(见图 4-8).一般的, 只含x 、y 而缺z 的方程(,)0F x y =在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是x Oy 面上的曲线:(,)0C F x y =. 类似可知, 只含x 、z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含y 、z 而缺y的方程(,)0H y z =在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.接下来, 我们讨论空间平面方程. 平面是曲面的一种特殊形式, 将方程(1)化为三元一次方程0Ax By Cz D +++=, (,,A B C 不全为零) (3)所对应的图形就是一个平面; 反之, 任何一个平面都可以用一个三元一次方程表示. 我们称方程(3)为平面的一般方程.例5 设一平面与,,x y z 轴的交点依次为(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c , 见图4-9, 求这平面的方程(其中0,b 0,c 0a ≠≠≠).图4-7222x y R +=L M∙3x图4-8解 设所求的平面的方程为0Ax By Cz D +++=.因(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c 三点都在该平面上，所以点P 、Q 、R 的坐标都满足平面方程；即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA 得,,D D D A B C a b c=-=-=-. 得所求的平面方程为1=++czb y a x (4) 方程(4)叫做平面的截距式方程，而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距.四、二次曲面简介对于一般的曲面方程(,,)0F x y z =所确定的曲面, 常用平行于坐标面的平面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌. 这种方法叫做截痕法.下面我们研究三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面, 即：二次曲面. 本小节将简介几种常见的二次曲面. 1. 椭球面 方程2222221,(0,0,0)x y z a b c a b c++=>>> 所表示的曲面叫做椭球面(见图4-10).椭球面与三个坐标面的交线：222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210x z a c y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210y z b cx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩均为图4-9平面上的椭圆.椭球面与平行于xoy 的平面1z z =的交线也为椭圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x 同理, 与平面 1x x = 和 1y y =的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面的几种特殊情况：(1) 当a b =时, 1222222=++cz a y a x 叫做旋转椭球面, 由椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 1z z =)||(1c z <的交线为圆. 截面上的圆方程为: .)(12122222⎪⎩⎪⎨⎧=-=+zz z c ca y x (2) 当abc ==时, 1222222=++az a y a x 为球面.2．双曲面 由方程1222222=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为单叶双曲面．由方程1222222-=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为双叶双曲面．下面讨论单叶双曲面的图形．图 4-10显然，单叶双曲面关于各坐标轴、坐标平面及原点对称．用一组平行于xOy 平面的平面h z =去截它，截痕为椭圆，其方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩并且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面截曲面，得到一条实轴为y 轴的双曲线． 用zOx 平面截曲面，得到一条实轴为x 轴的双曲线． 因此，单叶双曲面的图形如图4-11所示． 注 方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面．用同样的方法也可以得到双叶双曲面的图形． 用h z =去截双叶双曲面，截痕方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩当h c <时，无截痕；h c =时，截痕为两点(0, 0, )c ±；当h c >时，截痕为椭圆，且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 用zOx 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 因此，双叶双曲面的图形如图4-12所示． 注 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也是双叶双曲面．3．抛物面常见的抛物面有椭圆抛物面和双曲抛物面． 由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面．由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．用截痕法可得到它们的图形分别如图4-13与图4-14所示． 注 双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．4．柱面例4中定义的柱面也是一种特殊的二次曲面. 常见的柱面还有:图 4-13图 4-14椭圆柱面：12222=+b y a x (图4-15)．双曲柱面：12222=-ax b y (图4-16)．抛物面：py x 22= (图4-17)．5．旋转曲面一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面．例6 设母线C 在yOz 平面上，它的平面直角坐标方程为(, )0F y z =试证: 曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面∑的方程为( )0F z =．证 设(, , )M x y z 为旋转曲面上的任一点，并假定M 点是由曲线C 上的点000(0, , )M y z 绕z 轴旋转到一定角度而得到的(图4-18)．因而0z z =，且点M 到z图 4-16轴的距离与0M 到z 轴的距离相等．而M 到z 轴的距离为22y x +，0M 到z 轴的距离为020y y =，即0y =又因为0M 在C 上，因而00(, )0F y z =，将上式代入得( )0F z =，即旋转曲面上任一点(, , )M x y z 的坐标满足方程( )0F z =．其次，若点(, , )M x y z的坐标满足方程( )0F z =，则不难证明M ∈∑．于是，该旋转曲面的方程为( )0F z =．注 此例说明，若旋转曲面的母线C 在yOz 平面上，它在平面直角坐标系中的方程为(, )0F y z =，则要写出曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程，只需将方程(, )0F y z =中的y 换成±22y x +即可．同理，曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面的方程为(, 0F y =，即将(, )0F y z =中的z 换成±22z x +．反之，一个方程是否表示旋转曲面，只需看方程中是否含有两个变量的平方和M 图 4-18如在yOz 平面内的椭圆12222=+cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为122222=++cz b y x ． 该曲面称为旋转椭球面．例7 求xOy 平面上的双曲线14922=-y x 绕x 轴旋转形成的旋转曲面的方程．解 由于绕x 轴旋转，只需将方程14922=-y x 中的y 换成±22z y +即可，所以，所求的旋转曲面的方程为149222=+-z y x ． 该曲面为旋转双叶双曲面．五、空间曲线及其方程一般地, 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两个曲面方程, 它们的交线为C , 如图4-19. 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩. 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组.因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.(,,)0F x y z =例8 方程组221236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半径为1. 方程组中第二个方程表示平行于y 轴的空间平面, 该平面在坐标平面zOx 面的截痕为2360x z y +=⎧⎨=⎩. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 大致图像见图4-20.以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩.设方程组消去变量z 后所得的方程(x,y)0H =这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy面上的投影曲线的方程为(,)00H x y z =⎧⎨=⎩. 请自行讨论: 曲线C 关于yOz 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yOz 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么？例9 已知两球面的方程为2221x y z ++=和222(1)(1)1x y z +-+-=, 求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程. 解两球面的交线C 的方程:图4-202222221(1)(1)1x y z x y z ⎧++=⎨+-+-=⎩求解, 得1y z +=.上式代入2221x y z ++=得22220x y y +-=.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为222200x y y z ⎧+-=⎨=⎩.例10 求由上半球面z z xOy 面上的投影.解由方程z 和z 消去z 得到221x y +=. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为2210x y z ⎧+=⎨=⎩. 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:221x y +≤.。
空间解析几何演示
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
空间解析几何课后习题答案
30平面曲线弧长(1) 曲线：()x f y = b x a ≤≤ ()dx x f 1s b a 2⎰+= (2) ()()⎩⎨⎧==t y y t x x βα≤≤t ()()dt t y t x s 22⎰+'=βα(3) ()θr r = βθα≤≤ ()()θθθβαd r r s 22⎰'+=例 求下类平面曲线的弧长 1. 曲线()2x 1ln y -=相应于21x 0≤≤的一段 2. 心形线()θcos 1a r +=的全长 ()0a > 3.摆线⎩⎨⎧-=-=t sin t y tcos 1x π2t 0≤≤的一拱解：1. 2x1x 2y --=' 222x 1x 1y 1-+='+dx x1x 1s 2122⎰-+=dx x 11x 111210⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=21x 1x1ln21-++-= 3ln 21+-=2. ()θθsin a r -='()()θθθθθθd sin a cos a cos a 2a r r 22222222+++='+ 2cos a 2cos 1a 2θθ=+=⎰=πθθ20d 2cos a 2S⎰⎰-=πππθθθθ20d 2cos d 2cos a 2 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=πππθθ202sin22sin 2a 2a 8=4.()()()()dt t cos 1t sin dt t y t x S 20222022⎰⎰-+='+'=ππ⎰=π20dt 2t sin2 ⎰=π20dt 2t sin2 π202t cos 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8=40向变力沿直线作功,液体的水压力 P137空间解析几何10向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P15420向量的数量积的向量积{}z y x z y x a ,a ,a k a j a i a a =++=(1)向量积 {}z y x z y x b ,b ,b k b j b i b b b ,a cos b a b a =++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∧()()2z 2y 2x baa a a a ab ba ++===性质：P155z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅应用：（i ） b a b a arccos b a ⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∧ （ii ） 2a a a a=⋅=（iii ）0b a b a =⋅↔⊥例1、习题4，1选择题（1）（2）（3） 2 填空题（3）（4）（5）例2、设192b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧解：()()76b 9b a 2a 4b 3a 2b 3a 2b 3a 2222=+⋅-=-⋅-=-∴ 192b 3a 2=-(2)向量积c b a =⨯()∧=⨯=b ,a sin b a b a c ,b b a ,a b a b c ,a c ⊥⨯⊥⨯⊥⊥即右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯性质P155 注意a b b a⨯-=⨯zy xz y xb b b a a a k j i b a=⨯应用（i）S ABC Δ=（ii ）0b a b //a =⨯↔（iii ）如()b a //c 则,c b ,c a⨯⊥⊥即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。
最新文档-1空间解析几何15814-PPT精品文档
a
b
2
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
ab 0
a x b x a yb y a zb z 0
求|ab|.
4
解： ab 2(a b )(a b )
a a2abbb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
b a
几何意义：右图三角形面积
cab
S＝
1 2
ab
a b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
直的单位向量.
解
c
ab
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
c0
|
c c |
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了三维空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系和运动规律。
它与平面解析几何相似，但在处理问题时需要考虑三维空间的特殊性和复杂性。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和定理，并探讨其应用于实际问题的方法。
第一节：点、直线和平面的表示在空间解析几何中，点、直线和平面都可以通过数学方法进行表示。
点可用它在空间中的坐标表示，通常用三个实数表示它在x、y、z轴上的位置。
直线可用参数方程表示，例如：$$\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$其中，$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标，$a, b, c$是方向向量的分量，$t$为参数。
平面可用一般方程表示，例如：$$Ax + By + Cz + D = 0$$其中，$A, B, C, D$为常数，$(x, y, z)$为平面上任意一点的坐标。
第二节：点与直线的关系点与直线的关系在空间解析几何中是一个重要的研究内容。
给定一直线和一个点，在确定这个点在直线上的位置时，可通过求解参数方程所表示的直线和点坐标的方程组得到。
如果方程组有解，则表示该点在直线上；如果方程组无解，则表示该点不在直线上。
第三节：点与平面的关系点与平面的关系也是空间解析几何中的一个重要问题。
给定一个平面和一个点，在确定这个点在平面上的位置时，可通过将该点的坐标带入一般方程所表示的平面方程中，若等式成立则表示该点在平面上；若等式不成立则表示该点不在平面上。
第四节：直线与直线的关系直线与直线的关系是空间解析几何中的一个研究热点。
两个直线之间可能存在相交、平行或异面的关系，通过求解直线的参数方程，可得到它们的交点或判断它们的平行性。
若两直线的方向向量的夹角为零或$\pi$，则表示它们平行；若两直线参数方程的方程组有解，则表示它们相交。
大一空间解析几何知识点
大一空间解析几何知识点解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究点、直线、平面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在大一阶段，我们通常学习的是平面解析几何，涉及到的知识点有平面上的点的坐标表示、距离公式、斜率公式等。
本文将重点介绍大一空间解析几何中的一些基本知识点，帮助大家理解和掌握相关概念和计算方法。
1. 空间直角坐标系空间直角坐标系是我们描述三维空间的标准方法。
它由三个坐标轴组成：x轴、y轴和z轴，它们两两垂直，形成一个三维坐标系。
在空间直角坐标系下，空间中的任意一点都可以由它在x轴、y轴和z轴上的坐标唯一确定。
2. 空间点的坐标表示与平面解析几何类似，空间中的点也可以用坐标表示。
设某点P在空间直角坐标系中的坐标为(x, y, z)，那么x、y、z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
通过坐标表示，我们可以方便地讨论和计算空间中点的性质和关系。
3. 空间点之间的距离在空间解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
假设两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，它们之间的距离可以使用三维空间中的勾股定理进行计算：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]这个公式可以理解为将空间中的两个点投影到各个坐标轴上，然后计算各个坐标轴上的距离，最后求平方和再开方。
4. 空间直线的表示与平面解析几何类似，空间中的直线也可以用解析式表示。
对于一条通过点A(x₁, y₁, z₁)且方向向量为u = (a, b, c)的直线，可以表示为：{x = x₁ + at{y = y₁ + bt{z = z₁ + ct其中t为参数，通过改变参数t的值可以得到直线上的任意一点。
此外，我们还可以利用两点表示直线的方程：{(x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c这个方程可以通过两点的坐标和斜率来推导得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x −1 y − 2 z − 5 = = 与平面 π : 2 x + y + z + 1 = 0 的夹角。 2 −1 2
4
（1）
（2） −
x2 y2 + = 1； 4 9
（4） y 2 − z = 0
（2）
z x2 y2 = + ； 3 4 9
8.3.5 将 xoy 面上的曲线 4 x 2 − 9 y 2 = 36 分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周形成的旋转曲面方程。
第四节 空间曲线及其方程
8.4.1 画出下列曲线在第一卦限内的图形 ⎧x =1 （1） ⎨ ； ⎩y =2
的柱面方程。 8.4.3 求在 yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程） 。 8.4.4 指出下列方程所表示的曲线 ⎧ x 2 + y 2 + z 2 + 25 （1） ⎨ ⎩x = 3 ⎧ x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 （3） ⎨ ； ⎩ x = −3 ⎧ x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 30 （2） ⎨ ； ⎩z = 1 ⎧ y 2 + z 2 − 4x + 8 = 0 （4） ⎨ ； ⎩y = 4
高等数学（B）—向量代数与空间解析几何复习题
第一节 向量及其线性运算
8.1.1 8.1.2 8.1.3 证明：以三点 A(4, 1, 9) ， B (10, − 1, 6) ， C (2, 4, 3) 为顶点的三角形是等腰三角形。 设向量 a 与 x 同和 y 轴的夹角相等，而与 z 同的夹角是前者的两倍，求向量 a 的方向余弦。
⎧
8.5.15 求平面 π : x − 2 y + 3 z − 6 = 0 与三坐标面围成的四面体的体积。
3
第六节 空间直线及其方程
8.6.1 8.6.2 求点（1，2，1）到平面 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 的距离。 确定下列各组中的直线和平面间的位置关系： （1） 8.6.3
8.6.4
8.6.5 8.6.6
8.6.7
8.6.8
8.6.9
指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？ ⎧ y = 5x + 1 （1） ⎨ ； ⎩ y = 2x − 3 ⎧x2 y2 + =1 （2） ⎪ ⎨ 4 9 ⎪ y =3 ⎩
பைடு நூலகம்
8.6.10 设直线
x −1 y z +1 x y +1 z − 2 = = 与直线 = = 平行，求 n , m 。 2 n 4 m 1 3
π ，求它的方程。 3 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a = (2, 1, 1) 和 b = (1, − 1, 0) ，求平面方程。
一平面过 z 轴且与 2 x + y − 5 z = 0 的夹角为 分别按下列条件求平面方程 （1）平行于 xOz 而且经过点（2，-5，3） ； （2）平行于 x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7） 。
2 2 2
⎧z = 4 − x 2 − y 2 （2） ⎪ ； ⎨ ⎪ x − y = 0 ⎩
⎧x + y = a （3） ⎪ 。 ⎨ 2 2 2 ⎪ ⎩x + z = a 8.4.2 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线
2 2 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + z = 16 ⎨ 2 2 2 ⎪ ⎩x + z − y = 0
8.2.1
判别下列结论是否成立，为什么？ （1）若 a ⋅ b = 0 ，则 a = O 或 b = O ； （2） (a ⋅ b)c = a (b ⋅ c ) ； （3） (a ⋅ b) 2 =| a |2 | b | 2 。
8.2.2 8.2.3
设 a = 3i − j − 2 k, b = i + 2 j − k ，求（1） a ⋅ b 及 a × b ； （2） a ⋅ b 的夹角的余弦。 设向量 a 和 b 的夹角 ϕ =
设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？ （1） cos α = 0 ； （2） cos β = 1 ； （3） cos α = cos β = 0 8.1.4 设向量 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) ，证明 i , j, k 两两正交。 8.1.5 设 u = a − b + 2c, v = a + 3b − c ，试用 a , b, c 表示 2 u − 3v 。 8.1.6 已知两点 M 1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, − 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及 − 2M 1 M 2 。
8.6.11 已知平面： Ax + y − 2 z
= 1与平面： 3x − y + z = 3 垂直，求 A 。
x −1 y z +1 = = 垂直，求 B，m。 m 4 6
8.6.12 已知平面 π : x + By − 3 z + 1 = 0 与直线 8.6.13 求过点 P (1, 2, 3) 且与直线 ⎨
r
r
。 。
r
r
r
( )
r∧ r
1
第三节 曲面及其方程
8.3.1 8.3.2 8.3.3 方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y + 2 z = 0 表示什么曲面？ 动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方程。 画出下列方程所表示的曲面：
2
a⎞ ⎛ ⎛a⎞ （1） ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎜ ⎟ ； 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2 2 x y （3） + = 1； 9 4 8.3.4 画出下列方程表示的曲面： x2 y2 + + z 2 =1 ； 9 4 （3） 16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 。
2 π ，又 | a |= 3 ， | b |= 4 ，试计算 (3a − 2b ) ⋅ (a + 2b) 。 3 8.2.4 已知 a , b, c 为单位向量，且满足 a + b + c = O ，计算 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a 。 8.2.5 已知向量 a , b, c 满足条件 a + b + c = O ，证明 a × b = b × c = c × a 。 8.2.6 求与 a = 3i + 6 j + 8k 及 x 轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？ 8.2.7 已知 | a |= 3, | b |= 26, | a × b |= 72 ，计算 a ⋅ b 。 8.2.8 已知 | a |= 3, | b |= 5 ，问 λ 为何值时 a + λb 与 a − λb 互相垂直？ 8.2.9 已知向量 a = 2i − 3 j + k , b = i − j + 3k 和 c = i − 3 j ，计算 （1） (a ⋅ b)c − (a ⋅ c )b ； （2） (a + b) × (b + c ) ； （3） (a × b) ⋅ c 。 8.2.10 已知 OA = i + 3 j , OB = j + 3k ，求 ∆OAB 的面积。 8.2.11 求由 a = {1, 2, 3 } ,b = {− 1, 2, 4} 为邻边组成的平行四边形的面积 8.2.12 求以 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ) 为顶点的三角形面积 8.2.13 设 a = {1, 2, 3 } ,b = { 2,1, 2} ，求 Pr ja b ， cos a b 。
⎧ x2 + y2 + z2 = 9 8.4.5 求曲线 ⎨ 分别在 xoy , xoz 平面上的投影曲线方程。 x + z =1 ⎩
2
第五节 平面及其方程
8.5.1 8.5.2 平面 A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0 与平面 A2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0 平行（但不重合）的条件是什么？ 指出下列平面的特殊位置，并画出各平面： （1） x = 0 ； （2） 3 y − 1 = 0 ； （3） 2 x − 3 y − 6 = 0 ；
⎧ x − 2 y +3z −6 = 0 平行的直线方程。 3 x + y − 2 z + 4 = 0 ⎩
8.6.14 将直线方程 ⎨
⎧3 x − 4 y + 5 z + 6 = 0 化为对称式与参数式。 ⎩ 2x − 5 y + z −1 = 0
8.6.15 求直线 ⎨ 8.6.16 求直线
⎧ x− y = 6 x −1 y − 2 z − 5 与直线 = = 的夹角。 1 −2 1 ⎩2 y − z = 3
8.5.9 求过 y 轴与点 M ( −3,1, 2 ) 的平面方程。 8.5.10 求过点 M (1,1,1) 且与平面 π 1 : x + y + z = 1, π 2 : x − 2 y − z + 1 = 0 都垂直的平面方程。 8.5.11 求过点 P (1, 2,1) 且与直线 ⎨
⎧ 2x − 3y + z − 6 = 0 垂直的平面方程。 ⎩ 4 x − 2 y + 3z + 9 = 0
（4） x − 3 y = 0 ； （5） y + z = 1 ； （6） 6 x + 5 y − z = 0 8.5.3 求过点（3，0，-1）且与平面 3x − 7 y + 5 z − 12 = 0 平行的平面方程。 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.5.8 求过点 M （2，9，-6）且与连接坐标原点的线段 OM 垂直的平面方程。 求过（1，1，-1） ， （-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。