平行四边形有关的常用辅助线资料
中考平行四边形辅助线
平行四边形
1. 垂直于平行边
2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形
3. 做高——形内形外都要注意
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
数学初三平行四边形中常做的辅助线
数学初三平行四边形中常做的辅助线一、平行四边形的对角线平行四边形有两条对角线，我们可以通过引入对角线来研究平行四边形的性质。
首先，我们可以证明平行四边形的对角线互相平分。
具体证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC 和OD。
由于平行四边形的两对边分别平行且相等，所以可以得到AO=CO，BO=DO。
又由于AO=CO，BO=DO，所以AOBO和CODA都是菱形。
因为菱形的对角线互相平分，所以AC和BD互相平分。
利用对角线平分的性质，我们可以得到平行四边形中很多有用的结论。
例如，当平行四边形的两对角线相等时，它是一个矩形；当平行四边形的两对角线垂直且相等时，它是一个正方形。
二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是连接相邻两边中点的线段。
通过引入中位线，我们可以研究平行四边形的对应边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的中位线互相平行且相等；2. 平行四边形的中位线平分平行四边形的面积；3. 平行四边形的中位线长度等于对应边长度的平均值。
三、平行四边形的高线平行四边形的高线是从一个顶点到与对立边垂直相交的线段。
通过引入高线，我们可以研究平行四边形的高度和底边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的高线互相平行；2. 平行四边形的高线长度相等；3. 平行四边形的高线长度等于底边长度乘以对应高度的比值。
四、平行四边形的角平分线平行四边形的角平分线是从一个内角的顶点到对立边上的一点并且与对立边相交的线段。
通过引入角平分线，我们可以研究平行四边形的内角之间的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的角平分线互相平行；2. 平行四边形的角平分线平分对立角，即对立内角的两个角平分线相交于对立边上的一点。
五、平行四边形的中心连线平行四边形的中心连线是连接两对对边中点的线段。
通过引入中心连线，我们可以研究平行四边形的对角线之间的关系。
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1ECAAB第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+图4图3KDCFBB第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)
专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形. 求证: OE 与AD 互相平分.A B CD 1234ABCDABD O C 性质判定 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G. 求证: ED+FG=AC.（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
中考专题复习 平行四边形辅助线(培优训练)
平行四边形辅助线（培优训练）知识点：1、平行四边形（1）平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
（3）平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.特殊的四边形（5）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：具有平行四边形的一切性质，四个角都是直角；对角线相等。
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
（6）直角三角形：斜边的中线等于斜边的一半。
（7）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：具有平行四边形的一切性质；四条边都相等；两条对角线互相垂直；并且每一条对角线平分一组对角。
判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
（8）正方形：四条边都相等，四个角都是直角，即是菱形又是矩形，即具有菱形的性质又具有矩形的性质。
平行四边形相关的辅助线（一）一、本节概述本节重点讲解与平行四边形相关的辅助线，即通过构造平行四边形改变线段和角的位置，从而使条件结合更紧密，达到解题的目的，同时构造平行四边形也是线段平移的过程，因此平行四边形与平移变换紧密相关。
二、典例精析知识点一：平行四边形相关辅助线【例1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB+AD=BC+CD,求证：四边形ABCD是平行四边形。
思路分析：由AB+AD=BC+CD知，可构造和为AB+AD与BC+CD的线段。
构造AB+AD。
证明：延长DA至M，使AM=AB构造BC+CD。
延长BC至点N,使CN=CD.方法总结：利用平行四边形改变线段和角的位置，达到解题的目的，此方法可以理解为图形变换中的“平移变换”【例2中，思路分析：题目中线段的位置无法比较大小，需要构造辅助线，可通过平移改变线段的位置。
平行四边形题型和辅助线(完美打印版)
平行四边形题型和辅助线(完美打印版)平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下性质：两组对边分别平行，两组对边分别相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，邻角互补。
在判定平行四边形时，可以选择不同的方法。
常见的考点包括利用平行四边形的性质求解角度、线段长和周长，求解某边的取值范围，以及综合计算问题。
另外，还可以利用平行四边形的性质证明角相等、线段相等和直线平行，或利用判定定理证明四边形是平行四边形。
在解决平行四边形问题时，常用的辅助线方法包括：连对角线或平移对角线，过顶点作对边的垂线构造直角三角形，连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线，连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形，以及过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
平行四边形包括矩形、正方形和菱形，它们的两组对边、对角和对角线都具有相同的性质。
因此，在处理平行四边形问题时，可以将其转化为常见的三角形、正方形等问题处理，以达到更好的解决效果。
例如，在证明平行四边形的性质时，可以连对角线或平移对角线，或通过构造直角三角形和线段平行或中位线等方法，将问题简化为常见的三角形或线段问题。
这样可以更加方便地解决问题，提高解题效率。
四、构造相似或等积三角形例7：在正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，证明AP=AB。
证明：连接AP、BP，由于BE=EF，CF=DF，所以三角形BEP和CFP相似，即EP/FP=BE/CF=1，所以EP=FP，又因为EP=AB/2，所以AP=AB。
例8：在平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，证明PB平分∠APC。
证明：连接AP、BP、CP，由于AE=CF，所以△AEP和△CFP全等，即∠APE=∠CPF，又因为AB∥CD，所以∠APE=∠BPC，所以∠XXX∠XXX，即PB平分∠APC。
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析李培华广东省化州市文楼中学 525136辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。
与平行四边形有关的辅助线有哪些呢？下面本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE =∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1E CAA B第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中,12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD = ∴DCF ABC ∠=∠∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆∴CF BE =∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+图4图3KC F B B第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
平行四边形中的辅助线
平行四边形中辅助线问题知识点一：平行四边形有关的辅助线作法第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形。
求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =证明：第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例5已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ，求BD BF :综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
知识点二：和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例7 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EF//BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形.分析：要证明四边形CDEF 是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD 是∠BAC 的平分线，AE=AC ，可通过连接CE ，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD 垂直CE.求AD 平分CE.例8 如图，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长.分析：要证明EF+BF 的最小值是DE 的长，可以通过连结菱形的对角线BD ，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF ，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.知识点三：与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例9如图，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD ，可过P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长.知识点四：与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例10如图，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.分析：由BE//AC ，CF//AE ，AE=AC ，可知四边形AEFC 是菱形，作AH ⊥BE 于H ，根据正方形的性质可知四边形AHBO 是正方形，从AH=OB=21AC ，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.知识点五：与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例11 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AC ，∠BAC=90°，BD=BC ，BD 交AC 于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD ，可证明∠COD=∠CDO ，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题.说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例12 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E.求DE 的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.知识点六：和中位线有关辅助线的作法例13 如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD 中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD 中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.。
平行四边形辅助线总结
平行四边形辅助线总结1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC 的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE证：∠BCF=21∠AEB.。
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法1. 什么是平行四边形？在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对立边分别平行。
一个平行四边形有以下特点： - 两对对立边分别平行 - 对立角相等 - 对角线互相平分在解决几何问题时，我们经常需要在平行四边形中绘制一些辅助线来帮助我们理解和解决问题。
接下来，我们将介绍一些常见的平行四边形辅助线的添法。
2. 垂直平分线垂直平分线是指通过一个角的顶点并垂直于对立边的直线。
在一个平行四边形中，通过任意一个内角的顶点作垂直于对立边的直线可以将该对立边等分为两个相等部分。
3. 中位线中位线是指连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线可以将该平行四边形分成两个面积相等的三角形。
4. 对角线对角线是指连接两个非相邻顶点的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个非相邻顶点的直线可以将该平行四边形分成两个对角线互相平分的三角形。
5. 高线高线是指从一个顶点到对立边的垂直距离。
在一个平行四边形中，通过从一个顶点到对立边的垂直距离可以找到该平行四边形的高。
6. 平行四边形的性质除了上述常见的添法外，平行四边形还具有一些其他重要性质： - 相邻内角互补- 对立内角互补 - 相邻外角互补 - 对立外角互补 - 内角和为180度 - 外角和为360度这些性质使得我们在解决几何问题时可以利用平行四边形的特性来简化问题或者得出结论。
7. 总结通过本文介绍，我们了解了常见的平行四边形辅助线的添法。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形相关的几何问题。
同时，我们也了解到平行四边形具有一些重要的性质，这些性质在解决几何问题时起到了关键作用。
希望通过本文的介绍，读者对于平行四边形辅助线的常见添法有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
常见四边形辅助线
一.和平行四边形有关的辅助线作法1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图，已知点0是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:0E与AD互相平分.EBC2.利用两组对边平行构造平行四边形例2如图，在4ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.3.利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图，已知人口是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.求证BF二AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图，在AABC中，NACB=90°,NBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形.CBB例5如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.（3）与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.1例7如图，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证：NBCF=2NAEB.5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=AC,ZBAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC±BD,AD+BC=10,DELBC于E.求DE的长.6.和中位线有关辅助线的作法例10如图H,在四边形ABCD中，AC于BD交于点0,AOBD,E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.1.(1)如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD,AC与BD相交于点O,E、F分别是AD.BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N,试判断^OMN的形状，并加以证明；(2)如图2,在四边形ABCD中，若AB■CD,E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：;图1图2图3练习1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方,政府又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖,其中不能进行平面镶嵌的是．．()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线8口重合，折痕为DG,则AG的长为()A．1 B．C．D．23、把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．4、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x丰0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2:m.（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．题45.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是（）A.AD=BCB.CD=BFC.A A=/CD./F=/CDE6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5.过对角线交点。
四边形中常见的辅助线
四边形中常见的辅助线特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形和正方形 •在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅 助线•下面介绍一些辅助线的添加方法 •平行四边形是最常见的特殊四边形之一， 它有许多性质。
为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四 边形•平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助 线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成 常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种： （1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的 垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位 线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的 垂线，构成线段平行或三角形全等 •一、与平行四边形有关的辅助线的作法：1. 利用一组对边平行且相等构造平行四边形例题：如图，已知点 0是平行四边形 ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形•求证：0E 与AD 互相平分 分析：因为四边形OCDE 是平行四边形，所以OC//ED,OC=DE 又由0是AC 的中点，得出AO//ED,AO=ED 则四边形 AODE 是平行四边形，问题得证•证明：连结AE 、OD 因为是四边形 OCDE!平行四边形，所以OC//DE,OC=DE 因为0是AC 的中点，所以A0//ED , AO=ED 所以四边形 AODE 是平行四边形，所以 AD 与OE 互相平分•说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形• 2. 利用两组对边平行构造平行四边形例题：如图，在△ ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ED//AC , FG//AC 交BC 分别为D, G.求证:ED+FG=AC. 分析：要证明ED+FG=AC 因为DE//AC,可以经过点E 作EH//CD 交AC 于H 得平行四边形，得ED=HC 然后根据三角形 全等，证明FG=AH.证明：过点E 作EH//BC ，交AC 于 H ，因为ED//AC ，所以四边形CDEH 是平行四边形，所以ED=HC 又 FG//AC ，EH//BC ，所以/ AEH=/ B ，/ A=Z BFG 又 AE=BF ，所以△ AEH^A FBG 所以 AH=FG 所以 FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题 3. 利用对角线互相平分构造平行四边形例题：分析： 等量代换，延长 AD 到G,使DG=AD 连结BG CG 因为BD=CD 所以四边形 ABGC 是平行四边形，所以 AC=BG AC//BG ，所以/ 仁/4，因为 AE=EF ,所以/ 仁/ 2，又/ 2= / 3,所以/ 仁/ 4,所以BF=BG=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形•当已知中点或中线应思考这种方法•4. 连对角线构造三角形例题：如图，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12, / B=9（f ,求四边形 ABCD 勺面积如图，已知 人。
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法平行四边形是一种特殊的四边形，其对边平行且相等。
在平面几何中，我们常常需要绘制平行四边形，而平行四边形的绘制又离不开辅助线。
本文将介绍平行四边形的常见添法及其应用。
一、基础概念1. 平行四边形：对边分别平行且相等的四边形。
2. 辅助线：在图形中引入的额外直线，以便更容易地进行计算或绘制。
二、常见添法1. 中点法中点法是最简单也是最基础的添法之一。
它的原理是在两条对角线上各取一个中点，然后连接这两个中点即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线；（3）在AC和BD上各取一个中点E和F；（4）连接EF即可得到平行四边形。
2. 三角形法三角形法也是一种简单易懂的添法。
它的原理是在原来图形上构造一个与之相似但比例不同的三角形，然后通过旋转或移动这个三角形，使其与原来的图形组成平行四边形。
步骤如下：（1）在原来的四边形ABCD上选择一个顶点A；（2）连接AC和AD两条边；（3）以A为顶点，做一个与△ACD相似但比例不同的三角形AEF；（4）将三角形AEF沿着AD旋转或移动到AB上，得到平行四边形ABFE。
3. 重心法重心法是一种比较常用的添法。
它的原理是在四边形的对角线交点处作一条平行于其中一条边的直线，然后将这条直线延长至四边形另一侧，再将这两条直线分别延长至与四边形相交即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）连接AC和BD两条对角线，并求出它们的交点O；（3）在O点处作一条平行于CD的直线EF，并延长至BC上；（4）将EF和BD分别延长至与AC相交，即可得到平行四边形ABFE。
4. 中垂线法中垂线法也是一种比较实用的添法。
它的原理是在任意一侧边上取一点，然后分别连接这个点与对角线的中点，再将这两条线段延长至另一侧边上即可得到平行四边形。
步骤如下：（1）画出任意一个四边形ABCD；（2）在AB上取一点E，并连接EC和AD的中点F；（3）在BC上取一点G，并连接AG和BD的中点H；（4）将EF和GH分别延长至CD上，即可得到平行四边形EFGH。
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平行四边形中的常用辅助线
PART A知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
E,F ACABCDAE?CF,中，点上，且1，在平行四边形在对角线请例1如左下图F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已你以有的某一条线段相等
（只需证明一条线段即可）
BFBF?DE⑵⑴连结
DB,DFDB,AC交于点⑶证明：连结设O,AO?OC,DO?OB ABCD∴∵四边形为平行四边形
AE?FCAO?AE?OC?FCOE?OF∴即∵EBFDBF?DE∴∴四边形为平行四边形
D
DCC
FOOEBEBAA1图2图
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
ABCDACAC?12BD，相交于点O2如右图2，在平行四边形，中，对角线如果和例
m m?10ABBD?的取值范围是（，那么，）
2?m?2210?m?125?m?611??1m BD C A
DCDB?CEDC?BECDBEDB为平,则有四边形沿方向平移，使得,解：将线段
?ACEAC?12CE?BD?10AE?2AB?2m , ,行四边形,∵在,中
2?2m?221?m?111012?10?2m?12?∴解得故选，即A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
ABCD为平行四边形3，四边形例3已知：如左下图222222DA?CDAC?BD?AB?BC?求证：D,A BCDFAE?BC?E F
于点分别作证明：过的延长线于点，22222222BC?BC?AB??2BE)(ABAEAC??CE??BE?BC?BE ∴22222222CF?)CD?BC??BC2CFBC?CFCD???BDDFBF(?)(?
222222BE2??CD??AB??ACBDBCDA2?CF?BCBC?则精品文档．
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ABCDCDAB?CDAD?BCAB∥,为平行四边形∴且∵四边形
090??DFC?AEB?DCF?ABC??∵∴CF?DCFBE?ABE??∴
∴222222DA??AC?BD?ABBC?CD∴DEC
1D3A
PF2KAFBCEB4图3图
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
E,F CDABCDDABE与4：已知：如右上图4，在正方形分别是中，的中点，、例CFPAP?AB 点，求证：交于CFBAK证明：延长的延长线于点交ABCD为正方形∵四边形
090???D?BAD??BCD AD?CDAB?CDCDAB∥,∴
且,090?DAK??D?CDF?KAF?1??DF?AF?K∴∴,又∵≌
11CD,DF?AD?CECE?DFAK?CD?AB∴∴∵
220?BCD??D?90?BCE?CDF?1??2≌∴∵∴
00009090CPB??KPB?3??1??390?2???90?∴则, ∵∴ABAP?∴第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
CDABCDE上任一点，请你在该图基础5例如左下图5，在平行四边形为边中，点上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
BCFAE与的延长线相交于解：延长，则有FECFEC??FAB???AEDAED?FAB ,
∽∽,∽
ADA
DNEOFCEFCBB6图5图
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精品文档第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
1BC?BENEBNABCDAN?中，,,例6已知：如右上图6，在平行四边形3BDBF:FBD交，
求于ONACOBD,解：连结连结交于点BDOA?OC,OB?OD?ABCD∴为平行四边形
∵四边形2BF11BE??BCONBCONAN?BN且∵∴∴∥FO22ON21BF?BEBC?3:BEON?2:∴∵∴
33FO2BF5BF::BD?1?∴∴5BO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四
边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、
G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
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3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：
1AD时（如图②）AP=：（1）当211S?S。
∵AP=的高相等，∴AD，△ABP和△ABD ABD??ABP2211S?S。
，△CDP和△CDA的高相等，∴AP=∵PD=AD－AD
CDA?CDP?22S?S?S?S∴CDP???PBCABPABCD四边形11S?SS?＝CDAABD??ABCD四边形2211????SS????SSS＝ABCDBC??ABCD四边形四边形ABCD四边形ABCD2211SS?＝ABCDBC??221S与S与S之间的关系，写出求解过程；AD时，探求（2）当AP=DBC?ABC?PBC?31S 与SS和之间的关系式为______________________（3）当AP=AD时，；DBC?PBCABC??61SS 和与Sn之间的关系，表示正整数）（时，探求4）一般地，当AP=AD（DBC?PBC??ABC n写出求解过程；
m m???10?S和S与S??AD关AP=问题解决：当系为，之间的时C?PBCB??ABCD n n??
____________________。
①②
二、多边形m°，B=110°，∠是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1301、如图，如果直线）的度数等于（BCD 那么∠°70D 60C °、°、A40
B50 、°、
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329021，检和、∠C2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于应分别为，∠B 148验工人量得∠BDC=，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
cm的正方形板子，另一块是上底为603、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为cmcmcm 的直角梯形板子（如图①）60，下底为120，王师傅想将这两块板，高为30子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
（1）求BC的长。
xcm）为多少时，矩形的边的距离所对的顶点到BC（（2）利用图②求出矩形顶点B y面积2cm（）最大？最大面积是多少？
）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
（3
①②
三、平行四边形（矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
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1。
DC边上，且GH=的中点，点G、H在DC、在矩形2、如图，ABCD中，E、F分别是ADBC
2 BC=12若AB=10，，则图中阴影部分的面积为____________。
F，请你以所在直线上两点，DE=BFF、分别是平行四边形ABCD对角线BD3、如图，E为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有。
的某一条线段相等。
（只需研究一组线段相等即可）
（说明：写出证明过程的重3）证明：）猜想：_____________；（1（）连结_________；（2 要依
据）。
□BD。
、的中点，连结DEBF、、、4、如图，在ABCD中，EF分别为ABCD 。
ADE≌△CBF）求证：△（1 是什么特殊四边形？请证明你的结论。
，则四边形AD⊥BDBFDE）若（2
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