17+代数学基础(1)群和子群的基本概念
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i
记为 a ∈ G 。
i
注释： 注释：
（1）a ∈ G 只是将 a 与自身做 i − 1 次群运算的结果， 整数 i 和 a 之间
i
的“运算”并不是群运算。 （2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn， +(mod n)） 对于这些群，a 。 就是 i
i
⋅ a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
群元素的阶
定义 5.9 群元素的阶 令 G 是一群， 任意 a ∈ G ， 称满足 a i = e 的 最小正整数 i ∈ N 为元素 a 的阶，记为 ord (a ) 。如果不存在这样的 整数 i ，则称 a 的阶是无限的。
当一个元素g的阶 的阶ord(g)有限时，如果有 n =e成立，则必有 有限时， 成立， 注：当一个元素 的阶 有限时 如果有g 成立 ord(g)|n，即n一定是 ， 一定是ord(g)的倍数 的倍数。 一定是 的倍数
.
2． ∀ a, b, c ∈ G ，有 ( a o b) o c = a o (b o c )
3．存在唯一的元素 e ∈ G ，使得对于任意 a ∈ G ，都有 a o e = e o a = a ，元 素 e 称为单位元 （单位元） （可逆性）
−1 −1 4． ∀ a ∈ G ，存在元素 a −1 ∈ G ，使得 a o a = a o a = e
群的例子(8)
置换群 S={1,2,…,n} Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! α, β是Sn中置换, αβ表示α和β的复合, 即αβ(x)=α(β(x)) Sn构成群, 称为n阶对称群 对称群. 对称群
置换的表示
1 2 ... n α = i i ... i n 1 2
举例
下面，我们给出群的一些具体例子。
群的例子（1）
整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法 都形成无限群。单位元，逆元素的定义与 整数加法群相同。
群的例子（2）
Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成 群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, ⋅) , (R*,⋅) , (C*, ⋅) 。 将这些群称为乘法群。
事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便， 用Zn代替Z/nZ。
商群的阶
设 G 是一个有限（阿贝尔）群，且 H ≤ G ，则 #( G / H )=
#G 。 #H
商群的例子(2)
设 m, n 是正整数，满足 m | n ，参照上一个例子，我们有： n − 1 1．m Z n = {0, m , 2 m , L , ⋅ m} 是 ( Z n , + ) 的一个含有 n / m 个元素的子群； m 2． Z n / mZ n = Z m ； 3． # ( Z n / mZ n ) = # Z m = m = n # Zn = n / m # ( mZ n )
从子群的判别方法可以看出，如果 H1 和 H 2 都是 G 的子群，那么： （1） H1 I H 2 也是 G 的子群； （2） H1 与 H 2 的并集是 G 的子群，当且仅当 H1 包含于 H 2 或 H 2 包含 于 H1 。
子群的判别(2)
设H是群G的一个非空子集, H是G的子群 的充要条件是对任意的元素x, y∈ H, 有 xy-1 H. ∈
子群的例子（6）
设G是一个群，e是它的单位元
{e}和G是群G的两个平凡子群。
群的阶
有限群G中元素的个数称为G的阶，记为 #G.
#Zn = n B={0,1}按照异或运算，#B = 2 #Roots (x3-1) = 3
子群中的单位元
在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含 它的群的单位元！ 事实上，对任意子群都有这样的结论成立：Biblioteka α= 1234 3124
1234 β= 4123
1234 αβ= 4312
1234567 2341657
(1234)(56) β=
1234 4123
α=
证明: 设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G
中的单位元为eG。那么，在H中，有eH 。eH = eH； 在G中，有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。
子群中的逆元素
由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元 正是它在G中的逆元。
子群的判别 (1)
子群的判别方法：
设(G,o) 是一个群，H 是G 的一个非空子集，那么(H,o) 是G 的子群的充要条件是： （1）封闭性：任意a, b ∈ H ，都有a o b ∈ H ； （2）单位元素：eG ∈ H ； （3）逆元素：任意a∈ H ，都有a−1 ∈ H 。
φ ( n ) = # {k | 0 ≤ k < n , gcd( k , n ) = 1)
欧拉定理： 欧拉定理：
对任意正整数 a 和 n ，若 gcd(a, n) = 1 ，则 aφ ( n ) ≡ 1 (mod n) 。
费马小定理： 费马小定理：
设 p 是素数，那么对任意与 p 互素的数 a（即 p 不整除 a ） ，都有 a p −1 ≡ 1 (mod p) 。
子群
对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是 G的子群，需要验证4条：
封闭性 结合律（不必验证） 单位元 逆元素
子群的例子（1）
在加法运算下，Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
注意，在这个例子中：
子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0 子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致
子群的例子（2）
子群的判别 (3)
当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些， 只需满足封闭性即可：
设 (G ,o) 是一个群，H 是 G 的一个非空子集，H 只含有 有限个元素， 那么只要 H 满足封闭性， H ,o) 就是 G 的子群。 (
拉格朗日定理
陪集（Coset）的定义 陪集
令 G 是一个（阿贝尔）群， H ≤ G ，对于 a ∈ G ， 集合 a o H = {a o h | h ∈ H } 称为 H 的一个（左）陪集。
注:
此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。 实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因 为：
( a o H ) o (b o H ) = ( a o b) o H
商群的例子(1)
设 n>0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ={0, n, -n, 2n, -2n,…}是Z的一个子群， 那么商群 Z/nZ={x+nZ | x为任一整数} 有n个元素，即 Z/nZ={0+nZ,1+nZ,…,n-1+nZ} 可以看出Z/nZ=Zn
例子（4）
在Z中，ord(1)= ∞ 。
推论 （拉格朗日）
令 G 是一有限群，则对任意 a ∈ G ，都有 ord (a ) |# G 。
推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。 欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到：
欧拉函数： 对任意自然数 n ， 定义 n 的欧拉函数 φ (n ) 为：
群的例子（3）
对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个 包含 n 个元素的有限加法群，这里的加 法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）.
注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。
群的例子（4）
时钟上表示小时的数字在模12加法下构 成群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12))称为时钟 群。
是群中的元素。
群的性质
性质: (1) a o x = a o y ⇒ x = y (2) x o a = y o a ⇒ x = y
子群
设 H 是群G 的一个非空子集，如果 H 在群G 的运算下也构成一个群， 就称 H 是群G 的一个子群， 记为 H ⊆ G 。 H ⊂ G 表示 H 是群G 的一个真 用 子群（即 H ≠ G ） 。
代数学基础
内容提要
群 环和域 有限域
群
一般来说，一个代数结构是指一个非空 集合S以及定义在S上的二元运算的总体， 要求二元运算满足一定的条件。
定义 群的定义
群的定义： “ 群的定义：设 G 是一个集合， o ”是定义在 G 上的一个二元运算。如果
下面四个条件成立，就将代数系统 (G ,o) 称为群 (Group)： 1． ∀ a, b ∈ G ，有 a o b ∈ G （封闭性） （结合律）
拉格朗日定理：
若 H 是 G 的一个子群，则 # H |# G 。
商群的概念
设 G 是一个阿贝尔群， H ≤ G ， 且 考虑所有陪集 a o H 构成的集合 （其中，a ∈ G ） ， 记为 G / H ，在 G / H 上定义运算 ∗ 为： a o H ）∗ （ b o H ）= (a o b) o H ，则 G / H （ 在运算 ∗ 下构成一个群，称为 G 模 H 的商群。
* n * n n −1 2 * n
的 一 个 子 集 ，其 中 的 任
* n
≡ + 1 (m o d n ) ， 那 么 F e rm at( n )是 Z
的一个
；当 n 为 合 数 时 ，
的一个真子群。
子群的例子（5）
B={0,1}在异或运算下是一个群。
{0}是B的一个真子群 {1}不是B的子群
集合B={0,1}，在异或运算下形成群。
群的例子（7）
x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限 群。
x =1是方程的一个解，该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。 封闭性: (x2)3 –1 =0 。
全体偶数的集合（包括0），在加法运算 下，是整数加法群的一个子群。因此也 是 （1）中所有群的子群。
子群的例子（3）
在乘法运算下， Q* ⊆ R* ⊆ C*。
子群的例子（4）
令 n 是 一 个 正 奇 数 ，F e rm a t( n ) 表 示 Z 一元素 a ，都满足 a 子群。 当 n 为 素 数 时 ，由 费 马 小 定 理 ，F erm at( n ) = Z F erm at( n ) 是 Z
注意：
在表示群 (G,o) 时，通常省略运算符“o ” ，而用G 表示一个群。
有限群和无限群：
如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。
阿贝尔群
如果对所有的 a, b ∈ G ，都有 a o b = b o a ，就称
G 为阿贝尔群。
阿贝尔群又称交换群（commutative group)， 本章中出现的所有群都是指交换群。
1234 3124
(132) αβ= 1234 4312 (1423)
(1432)
重复群运算的简化表示
令 G 是运算“ o ”下的一个群，对任一元素 a ∈ G ，任一整数 i ∈ N ， 将下面的元素
a o a2 L3 14 o 4 a
群的例子（5）
Zn={0, 1, 2, …, (n-1)}
Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用 Zn*表示。 例如， (Z15*, ⋅(mod15) ) = ({1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}, ⋅(mod15) )
群的例子（6）
例子（1）
在时钟群Z12中：
12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，所有 ord(1)=12； 类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3， ord（5）=12。
例子（2）
{0, 1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2.
例子（3）
在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.
记为 a ∈ G 。
i
注释： 注释：
（1）a ∈ G 只是将 a 与自身做 i − 1 次群运算的结果， 整数 i 和 a 之间
i
的“运算”并不是群运算。 （2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn， +(mod n)） 对于这些群，a 。 就是 i
i
⋅ a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
群元素的阶
定义 5.9 群元素的阶 令 G 是一群， 任意 a ∈ G ， 称满足 a i = e 的 最小正整数 i ∈ N 为元素 a 的阶，记为 ord (a ) 。如果不存在这样的 整数 i ，则称 a 的阶是无限的。
当一个元素g的阶 的阶ord(g)有限时，如果有 n =e成立，则必有 有限时， 成立， 注：当一个元素 的阶 有限时 如果有g 成立 ord(g)|n，即n一定是 ， 一定是ord(g)的倍数 的倍数。 一定是 的倍数
.
2． ∀ a, b, c ∈ G ，有 ( a o b) o c = a o (b o c )
3．存在唯一的元素 e ∈ G ，使得对于任意 a ∈ G ，都有 a o e = e o a = a ，元 素 e 称为单位元 （单位元） （可逆性）
−1 −1 4． ∀ a ∈ G ，存在元素 a −1 ∈ G ，使得 a o a = a o a = e
群的例子(8)
置换群 S={1,2,…,n} Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! α, β是Sn中置换, αβ表示α和β的复合, 即αβ(x)=α(β(x)) Sn构成群, 称为n阶对称群 对称群. 对称群
置换的表示
1 2 ... n α = i i ... i n 1 2
举例
下面，我们给出群的一些具体例子。
群的例子（1）
整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法 都形成无限群。单位元，逆元素的定义与 整数加法群相同。
群的例子（2）
Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成 群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, ⋅) , (R*,⋅) , (C*, ⋅) 。 将这些群称为乘法群。
事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便， 用Zn代替Z/nZ。
商群的阶
设 G 是一个有限（阿贝尔）群，且 H ≤ G ，则 #( G / H )=
#G 。 #H
商群的例子(2)
设 m, n 是正整数，满足 m | n ，参照上一个例子，我们有： n − 1 1．m Z n = {0, m , 2 m , L , ⋅ m} 是 ( Z n , + ) 的一个含有 n / m 个元素的子群； m 2． Z n / mZ n = Z m ； 3． # ( Z n / mZ n ) = # Z m = m = n # Zn = n / m # ( mZ n )
从子群的判别方法可以看出，如果 H1 和 H 2 都是 G 的子群，那么： （1） H1 I H 2 也是 G 的子群； （2） H1 与 H 2 的并集是 G 的子群，当且仅当 H1 包含于 H 2 或 H 2 包含 于 H1 。
子群的判别(2)
设H是群G的一个非空子集, H是G的子群 的充要条件是对任意的元素x, y∈ H, 有 xy-1 H. ∈
子群的例子（6）
设G是一个群，e是它的单位元
{e}和G是群G的两个平凡子群。
群的阶
有限群G中元素的个数称为G的阶，记为 #G.
#Zn = n B={0,1}按照异或运算，#B = 2 #Roots (x3-1) = 3
子群中的单位元
在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含 它的群的单位元！ 事实上，对任意子群都有这样的结论成立：Biblioteka α= 1234 3124
1234 β= 4123
1234 αβ= 4312
1234567 2341657
(1234)(56) β=
1234 4123
α=
证明: 设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G
中的单位元为eG。那么，在H中，有eH 。eH = eH； 在G中，有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。
子群中的逆元素
由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元 正是它在G中的逆元。
子群的判别 (1)
子群的判别方法：
设(G,o) 是一个群，H 是G 的一个非空子集，那么(H,o) 是G 的子群的充要条件是： （1）封闭性：任意a, b ∈ H ，都有a o b ∈ H ； （2）单位元素：eG ∈ H ； （3）逆元素：任意a∈ H ，都有a−1 ∈ H 。
φ ( n ) = # {k | 0 ≤ k < n , gcd( k , n ) = 1)
欧拉定理： 欧拉定理：
对任意正整数 a 和 n ，若 gcd(a, n) = 1 ，则 aφ ( n ) ≡ 1 (mod n) 。
费马小定理： 费马小定理：
设 p 是素数，那么对任意与 p 互素的数 a（即 p 不整除 a ） ，都有 a p −1 ≡ 1 (mod p) 。
子群
对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是 G的子群，需要验证4条：
封闭性 结合律（不必验证） 单位元 逆元素
子群的例子（1）
在加法运算下，Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
注意，在这个例子中：
子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0 子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致
子群的例子（2）
子群的判别 (3)
当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些， 只需满足封闭性即可：
设 (G ,o) 是一个群，H 是 G 的一个非空子集，H 只含有 有限个元素， 那么只要 H 满足封闭性， H ,o) 就是 G 的子群。 (
拉格朗日定理
陪集（Coset）的定义 陪集
令 G 是一个（阿贝尔）群， H ≤ G ，对于 a ∈ G ， 集合 a o H = {a o h | h ∈ H } 称为 H 的一个（左）陪集。
注:
此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。 实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因 为：
( a o H ) o (b o H ) = ( a o b) o H
商群的例子(1)
设 n>0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ={0, n, -n, 2n, -2n,…}是Z的一个子群， 那么商群 Z/nZ={x+nZ | x为任一整数} 有n个元素，即 Z/nZ={0+nZ,1+nZ,…,n-1+nZ} 可以看出Z/nZ=Zn
例子（4）
在Z中，ord(1)= ∞ 。
推论 （拉格朗日）
令 G 是一有限群，则对任意 a ∈ G ，都有 ord (a ) |# G 。
推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。 欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到：
欧拉函数： 对任意自然数 n ， 定义 n 的欧拉函数 φ (n ) 为：
群的例子（3）
对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个 包含 n 个元素的有限加法群，这里的加 法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）.
注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。
群的例子（4）
时钟上表示小时的数字在模12加法下构 成群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12))称为时钟 群。
是群中的元素。
群的性质
性质: (1) a o x = a o y ⇒ x = y (2) x o a = y o a ⇒ x = y
子群
设 H 是群G 的一个非空子集，如果 H 在群G 的运算下也构成一个群， 就称 H 是群G 的一个子群， 记为 H ⊆ G 。 H ⊂ G 表示 H 是群G 的一个真 用 子群（即 H ≠ G ） 。
代数学基础
内容提要
群 环和域 有限域
群
一般来说，一个代数结构是指一个非空 集合S以及定义在S上的二元运算的总体， 要求二元运算满足一定的条件。
定义 群的定义
群的定义： “ 群的定义：设 G 是一个集合， o ”是定义在 G 上的一个二元运算。如果
下面四个条件成立，就将代数系统 (G ,o) 称为群 (Group)： 1． ∀ a, b ∈ G ，有 a o b ∈ G （封闭性） （结合律）
拉格朗日定理：
若 H 是 G 的一个子群，则 # H |# G 。
商群的概念
设 G 是一个阿贝尔群， H ≤ G ， 且 考虑所有陪集 a o H 构成的集合 （其中，a ∈ G ） ， 记为 G / H ，在 G / H 上定义运算 ∗ 为： a o H ）∗ （ b o H ）= (a o b) o H ，则 G / H （ 在运算 ∗ 下构成一个群，称为 G 模 H 的商群。
* n * n n −1 2 * n
的 一 个 子 集 ，其 中 的 任
* n
≡ + 1 (m o d n ) ， 那 么 F e rm at( n )是 Z
的一个
；当 n 为 合 数 时 ，
的一个真子群。
子群的例子（5）
B={0,1}在异或运算下是一个群。
{0}是B的一个真子群 {1}不是B的子群
集合B={0,1}，在异或运算下形成群。
群的例子（7）
x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限 群。
x =1是方程的一个解，该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。 封闭性: (x2)3 –1 =0 。
全体偶数的集合（包括0），在加法运算 下，是整数加法群的一个子群。因此也 是 （1）中所有群的子群。
子群的例子（3）
在乘法运算下， Q* ⊆ R* ⊆ C*。
子群的例子（4）
令 n 是 一 个 正 奇 数 ，F e rm a t( n ) 表 示 Z 一元素 a ，都满足 a 子群。 当 n 为 素 数 时 ，由 费 马 小 定 理 ，F erm at( n ) = Z F erm at( n ) 是 Z
注意：
在表示群 (G,o) 时，通常省略运算符“o ” ，而用G 表示一个群。
有限群和无限群：
如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。
阿贝尔群
如果对所有的 a, b ∈ G ，都有 a o b = b o a ，就称
G 为阿贝尔群。
阿贝尔群又称交换群（commutative group)， 本章中出现的所有群都是指交换群。
1234 3124
(132) αβ= 1234 4312 (1423)
(1432)
重复群运算的简化表示
令 G 是运算“ o ”下的一个群，对任一元素 a ∈ G ，任一整数 i ∈ N ， 将下面的元素
a o a2 L3 14 o 4 a
群的例子（5）
Zn={0, 1, 2, …, (n-1)}
Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用 Zn*表示。 例如， (Z15*, ⋅(mod15) ) = ({1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}, ⋅(mod15) )
群的例子（6）
例子（1）
在时钟群Z12中：
12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，所有 ord(1)=12； 类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3， ord（5）=12。
例子（2）
{0, 1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2.
例子（3）
在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.