2017山东莱芜中考试卷解析

2017年山东省莱芜市初中学业考试
数学试题
（总分120分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题都给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分） 1．（2017山东莱芜，1，3分）－6的倒数是（ ） A ．－16
B ．16
C ．－6
D ．6
答案：A ，解析：－6的倒数是－1
6
.
2．（2017山东莱芜，2，3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）
A ．7.8×10－7
B ．7.8×10－8
C ．0.78x 10－7
D ．78x 10－
8
答案：A ，解析：0.000 000 78=7.8×10－
7 3．（2017山东莱芜，3，3分）下列运算正确的是（ ） A ．2x 2－x 2＝1 B ．x 6÷x 3＝x 2 C ．4x ·x 4＝4x 5 D ．(3xy 2)2＝6x 2y 4 答案：C ，解析：A 项， 2x 2－x 2＝x 2，该项错误； B 项，x 6÷x 3＝x 3，该项错误； C ．4x ·x 4＝4x 5，该项正确； D ．(3xy 2)2＝9x 2y 4，该项错误. 4．（2017山东莱芜，4，3分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ） A ．30x －1＝40x －25
B ．30x －1＝40
x ＋25
C ．30x ＋1＝40
x －25
D ．30x ＋1＝40
x ＋25
答案：B ，解析：据时间方面的等量关系列方程：30x －1＝40
x ＋25
.
5．（2017山东莱芜，5，3分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三梭
柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
答案：C ，解析：该几何体的左视图是C 项中的图形. 6．（2017山东莱芜，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．46° B ．47° C ．48° D ．49°
答案：C ，解析：∵直线DA 与⊙O 相切，∴∠ODA =90°. ∵∠AOD =2∠ABC =2×21°=42°，∴∠ADC =90°－∠AOD =90°－42°=48°. 7．（2017山东莱芜，7，3分）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案：C ，解析：设多边形的边数是n ，据题意，得 （n －2）·180°=2×360°+180°. 解得n =7.
7边形的对角线的条数是
7(73)
2
⨯-=14. 8．（2017山东莱芜，8，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，将Rt △ABC 绕A 点顺时针旋转90°得到Rt △ADE ，则BC 扫过的面积为（ ） A ．π2
B ．(2－3)π
C ．2－32
π
D ．π
B
（第6题图）
正面
（第
5题图）
A B C D
答案：D ，解析：∵∠BCA ＝90°，∴222BC AC AB +=，即222AB AC BC -=. ∵整个图形的面积=△ABC 的面积+扇形BAD 的面积 =阴影部分的面积+扇形CAE 的面积+△AED 的面积， 又△ABC 的面积=△AED 的面积，
∴阴影部分的面积=扇形BAD 的面积－扇形CAE 的面积
= 2290()360AB AC π⋅-= 290360
BC
π⋅=π.
点拨 线段旋转所形成的阴影部分的面积=线段两端点分别绕旋转中心旋转所形成的扇形面积的差. 9．（2017山东莱芜，9，3分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB ＋PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A ．
7
2
B ．273
C ．355
D ．
264
答案：A ，解析：法一：解析：连接BD 、DM ，DM 交AC 于点P ，则此时PB ＋PM 的值最小．
过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点M 作ME ∥BD 交AC 于点E ． ∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°．
又∵DC ＝BC ，∴△BCD 是等边三角形．
∴BF ＝CF ＝1
2BC ＝3．∴MF ＝CF －CM ＝3－2＝1，DF ＝3BF ＝3 3.
∴DM ＝(33)2
＋12
＝27.
∵ME ∥BD ，∴△CEM ∽△CO B.∴ME OB ＝CM BC ＝26＝13.又∵OB ＝OD ，∴ME OD ＝1
3
.
M
D
A
B P
（第9题图）
∵ME ∥BD ，∴△PEM ∽△PO D.∴PM PD ＝ME OD ＝13.∴PM ＝14DM ＝14×27＝7
2.
故选A ．
法二：作点M 关于AC 的对称点M ′，连接BM ′交AC 于点P ，此时PB ＋PM 的值最小. 过点作BE ⊥CD 于E .
可求CE =3，则EM ′=1. 利用勾股定理可得BM ′=利用相似三角形可得PM ′=PM =
7
2
.
10．（2017山东莱芜，10，3分）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝5，CD ＝3，sin A ＝sin B ＝1
3，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自点A 出
发，沿着边AD －DC －CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象是（ ）
A
B C P D M′
E M
答案：B ，解析：法一：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ． ∵sin A ＝DE AD ＝13，∴DE 5＝13．∴DE ＝53．∴CF ＝DE ＝5
3．
∵sin A ＝sin B ，∴∠A ＝∠B.∴△ADE ≌△BCF . ∴BC ＝AD ＝5，AE ＝BF ＝
52
－⎝⎛⎭⎫532＝
103 2.
∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝2×1032＋3＝20
32＋3，AD ＋CD ＋BC ＝5＋3＋5＝13．
∵
20
3
2＋3＜13， ∴当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0. 当8＜t ≤20
32＋3时，点Q 在线段BC 上，此时AP ＝t ，AD ＋CD ＋CQ ＝t ，
∴CQ ＝t －8，∴BQ ＝5－( t －8)＝13－t .
过点Q 作QG ⊥AB 于点G ，则sin B ＝QG BQ ＝13，∴QG 13－t ＝13.∴QG ＝1
3(13－t ).
∴△APQ 的面积S ＝12AP ×QG ＝12×t ×13(13－t )＝－1
6(t 2－13t ),其图象开口向下．
又∵当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0.
∴由此可得答案选B ．
G
法二：分为三段，
当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而增大； 当点Q 在DC 上运动时，S 关于t 的函数为一次函数，且S 随t 的增大而增大；
P
（第10题图）
当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而减小，注意在该段当点P 运动点B 停止时，点Q 没有到达达点B. 综上，选B.
11．（2017山东莱芜，11，3分）对于实数a ，b ，定义符号min ，其意义为：当a ≥b 时，min
＝b ：当a ＜b 时，min
＝a ．例如min
＝－1．若关于x 的函
数y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝，则该函数的最大值为（ ） A ．23
B ．1
C ．43
D ．53
答案：D ，解析：当2x －1≥－x ＋3时，4
3
x ≥
，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=－x ＋3，最大值为53
.
当2x －1<－x ＋3时，43x <
，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=2x －1，最大值为53
. 综上，该函数的最大值为5
3
.
12．（2017山东莱芜，12，3分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，连结AC 、AD 、BE ，BE 分别与AC 和AD 相交于点F ，G ，连结DF ，给出下列结论：①∠FDG ＝18°；②FG ＝3－5；③(S 四边形CDEF )2＝9＋25；④DF 2－DG 2＝7－25．其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：B ，解析：（1）∵正五边形ABCDE 的每一个内角都等于(5－2)×180°5＝108°.
∴∠BAC ＝∠BCA ＝(180°－108°)÷2＝36°. 同理可得∠ABE ＝∠AEB ＝∠EAD ＝∠EDA ＝36°. ∴∠CBF ＝∠FCD ＝∠GDC ＝∠DEG ＝108°－36°＝72°. ∴∠BFC ＝180°－∠BCA －∠CBF ＝180°－36°－72°＝72°.
G
F
（第12题图）
∴∠BFC ＝∠CBF ＝72°. ∴BC ＝CF ＝2.
同理可得DG ＝DE ＝2.
∵BC ＝CF ,BC ＝CD ,∴CF ＝C D . 又∵∠FCD ＝＝72°， ∴∠CDF ＝∠CFD ＝(180°－72°)÷2＝54°. ∴∠FDG ＝∠GDC －∠CDF ＝72°－54°＝18°. 由此可知①正确；
（2）∵∠ABE ＝∠BCA ＝36°，∠BAF ＝∠CAB ,
∴△BAF ∽△CA B .∴AB AC ＝AF AB .∴AB AF ＋CF ＝AF AB .∴2AF ＋2＝AF
2.
解得AF ＝5－1.
∴AC ＝AF ＋FC ＝(5－1)＋2＝5＋1.
∵△AFG ∽△ACD ,∴AF AC ＝FG
CD .∴5－15＋1＝FG 2.
解得FG ＝3－5.
由此可知②正确；
（3）过点A 作AM ⊥CD 于点M ,交BE 于点N .
M
M
G
∵AC ＝AD , AM ⊥CD ,∴CM ＝DM ＝1
2CD ＝1.
∴cos ∠ACM ＝CM AC ＝1
5＋1＝5－14．
∴(sin ∠ACM )2＝1－( cos ∠ACM )2＝1
－(
5－14)2. ∵CD ＝CF ＝EF ＝DE ＝2，∴四边形CDEF 是菱形．
∴S 四边形CDEF ＝2 S △CDF
＝2×(1
2CF ×CD ×sin ∠ACM )
＝2×(1
2×2×2×sin ∠ACM )
＝4sin ∠ACM .
∴(S 四边形CDEF )2＝(4sin ∠ACM )2 ＝16×(sin ∠ACM )2
＝10＋25≠9＋25． 由此可知③错误；
（4）过点F 作FG ⊥CD 于点G ． ∵cos ∠ACM ＝cos ∠FCG ＝CG FC ＝5－14，∴CG 2＝5－14
. ∴CG ＝
5－12．∴DG ＝CD －CG ＝2－5－12＝5－5
2
． ∴DG 2＝(5－52)2＝15－55
2．
由对称性知CF=DG.
∴DF 2－DG 2＝DG 2－CG 2＝6－25≠7－25．
由此可知④错误；
综上①②正确，故选B ．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 13．（2017山东莱芜，13
，4分）3
012cos 45(3.14)2π-⎛⎫
--︒+-+ ⎪⎝⎭
＝___________
．
答案：－7(－2)3－2×2
2
＋1＋22＝－8－2＋1＋
22＝－7
14．（2017山东莱芜，14，4分）圆锥的底面周长为
23
π
，母线长为2，点P 是母线OA 的中点，一根细绳（无弹性）从点P 绕圆锥侧面一周回到点P ．则细绳的晟短长度为___________．
答案：1，解析：将圆锥的侧面展开，如图.
取OA ′的中点P ′，连接PP ′，则P P ′ 即为细绳的最短路径. ∵
2180O π∠⋅⋅︒=23
π
，∴∠O =60°.
∵OP =OP ′=
1
2
×2=1，∴△OPP ′是等边三角形. ∴PP ′=1. O A
A′
P P ′
15．（2017山东莱芜，15，4分）直线y ＝kx ＋b 与双曲线6
y x
=-
交于A (－3，m )，B (n ，－6)两点．将直线y ＝kx ＋b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE ＝___________．
答案：16，解析：把A (－3，m )代入6
y x
=-，得m ＝－6－3＝2.∴A (－3，2).
把B (n ，－6)代入6
y x
=-，得－6＝－6n .∴n ＝1.∴B (1，－6).
把A (－3，2)、B (1，－6)分别代入y ＝kx ＋b ，得
⎩⎨⎧2＝－3k ＋b －6＝k ＋b .解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝－4
. ∴y ＝－2x －4. 把x ＝0代入y ＝－2x －4，得y ＝－4.∴直线y ＝－2x －4与y 轴交于点(0，－4). 把点(0，－4)向上平移8个单位长度后得到的点是(0，4)，
∴将直线y ＝－2x －4向上平移8个单位长度后所得的直线是y ＝－2x ＋4.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4y ＝－6x ,得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－2,⎩⎨⎧x 2＝－1
y 2＝6.
∴可以取D (－1，6)、E (3，－2).
设直线AE 的解析式为y ＝mx ＋n ，则
⎩⎨⎧2＝－3m ＋n
－2＝3m ＋n .解得⎩⎪
⎨
⎪⎧m ＝－2
3n ＝0
. ∴直线AE 的解析式为y ＝－2
3
x ，该直线经过原点(0，0)．
过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，交AE 于点F ，则C (－1，0)、F (－1，－2
3).
∴DF ＝6－23＝16
3
.
∴S △ADE ＝S △ADF ＋ S △FDE ＝12DF ×CM ＋12DF ×CN ＝12DF ×(CM ＋CN )＝ 12DF ×MN ＝
1
2×
16
3
×6＝16.
16．（2017山东莱芜，16，4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a －4b ＋c ＜0； ②若P （－5，y 1
）、Q （
5
2
，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ③a ＝－1
3
c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b ．
其中正确的有_______________．(请将结论正确的序号全部填上) 答案：①③，解析：①∵a ＜0，∴该抛物线开口向下. ∵图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，
∴当x ＝－3或1时，y ＝0且抛物线的对称轴是直线x ＝－1. ∴当x ＝－4时，y ＝a ＋b ＋c ＜0. 由此可知①正确；
②点P （－5，y 1）关于对称轴的对称点是P ′（3，y 1）.
点是P ′（3，y 1）、Q （5
2
，y 2）都在对称轴右侧. ∵该抛物线开口向下，对称轴是直线x ＝－1， ∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小. ∵3＞52
，
∴y 1＜y 2．
由此可知②错误；
③∵对称轴是直线x ＝－1， ∴－b
2a
＝－1.
∴b ＝2a .
∵抛物线过点(1，0)，
∴a ＋b ＋c ＝0.
把b ＝2a 代入上式，得
a ＋2a ＋c ＝0.
∴a ＝－13
c . 由此可知③正确；
④若△ABC 是等腰三角形，则有两种情况：AB ＝AC 或BA ＝BC ，因此c 的值有两个，b 的值也有两个.
由此可知④错误.
17．（2017山东莱芜，17，4分）如图，在矩形ABCD 中，
BE ⊥AC 分别交AC 、AD 于点F 、E ，若AD ＝1，AB ＝CF ，则AE ＝___________．
CE ． E D
B （第17题图）
E
D
B A
∵AB ＝CF ，AB ＝CD ，∴CF ＝CD .
又∵CE ＝CE ，∠EFC ＝∠EDC ＝90°，
∴△EFC ≌△ED C.∴DE ＝EF .
设AB ＝CD ＝CF ＝a ，则AC 2＝AD 2＋CD 2＝12＋a 2＝1＋a 2.
设AE ＝x ，则DE ＝EF ＝1－x .
∵△ABE ∽△DAC ，∴AB AD ＝AE DC .∴a 1＝x a
. ∴x ＝a 2…………………………①
∵△AEF ∽△ACD ，∴AE AC ＝EF DC .∴AE 2AC 2＝EF 2
DC
2. ∴x 2
1＋a 2
＝(1－x )2a 2.…………………………② 由①、②两式，可解得x ＝
5－12
， ∴AE ＝5－12.
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（本题满分6分）（2017山东莱芜，18，6分） 先化简，再求值：（a ＋
63a a -)÷(a ＋993
a a +-)
，其中a 3. 思路分析：先将两括号内的式子分别通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简，最后代入所给的值求解． 解：原式＝
(3)63a a a a -+-÷(3)993
a a a a -++- ＝233a a a +-×2369a a a -++＝(3)3a a a +-×23(3)a a -+ ＝3
a a +.
当a
3时，原式＝
3
a
a+
1
19（本题满分8分）（2017山东莱芜，19，8分）
为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种．为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表：
根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）a＝
____________，b＝_______，c＝_______．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；
（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑、拔河赛可分别记A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状固或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．
思路分析：（1）根据“袋鼠跳”的学生数和百分比可以求出被调查学生的总数，即a的值；用“绑腿跳”的百分比乘以a，即可得b的值；用“夹球跑”的学生数除以a，即可得c的值．
（2）根据b的值即可将条形统计图补充完整．
（3）用3000乘以“绑腿跳”的百分比，即可得到该校学生中最喜欢绑腿跑的人数．（4）用“列表法”求解即可，需注意本小题是属于“不放回”类型的．
解：（1）a＝300，b＝60，c＝10；
（2）
学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图
（3）3000×20%＝600（名）；
（4）P ＝220＝110
.（树状图或列表略）
20．（本题满分9分）（2017山东莱芜，20，9分）
某学校教学楼（甲楼）的顶部E 和大门A 之间挂了一些彩旗．小颍测得大门A 距甲楼的距离AB 是31 m ，在A 处测得甲楼顶部E 处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度及彩旗的长度：（精确到0.01 m ）
（2〉若小颖在甲楼楼底C 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G 处的仰角为40°．爬到甲楼楼顶F 处测得乙楼楼顶G 处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01 m ）
（cos31°≈0.86，t an31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84）
思路分析：（1）应用∠A 的正切可以求得甲楼的高度BE ；应用∠A 的余切可以求得彩旗的长度AE ；（2）设甲乙两楼之间的距离为x m ，再利用19°角、40°角的正切列方程求解. 解：（1）在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60.
AE ＝cos31AB ︒＝31cos31︒≈310.86
≈36.05 故甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m.
（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，
在Rt △GMF 中，GM ＝FM tan19°，在Rt △GDC 中，GD ＝CD tan40°，
设甲乙两楼之间的距离为x m ，FM ＝CD ＝x ，则根据题意得： 19︒40︒31︒甲
乙 C D E F G A B （第20题图）
x tan40°－x tan19°＝18.60；
解之得：x ＝37.20m ；
乙楼的高度：GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25，
故乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m.
21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分）
己知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE 、DB ．试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．
思路分析：（1）通过证明Rt △ACE ≌Rt △BCD 即可解决；（2）通过证明△EBD ≌△ADF 即可得解.
解：（1）AE ＝DB ，AE ⊥DB .
理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，
∴Rt △ACE ≌Rt △BCD .
∴AE ＝DB .
延长DB 交AE 于点M ， ① C E B ② F C E B （第21题图）
∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.
又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，
∴在△AMD中，∠AMD=180°－90°＝90°，∴AE⊥DB.
（2）DE＝AF，DE⊥AF.
理由：设ED与AF相交于点N，由题意可知，BE＝AD.
∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，
∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，
∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF.
∴DE＝AF.
∠E＝∠F AD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠F AD＝45°. ∴∠AND＝90°.
∴DE ⊥AF .
22．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，22，10分）
某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩毎袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．
（1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？
（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10 000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45
．已知甲种口罩毎袋的进价为22.4元，乙种口罩毎袋的进价为18元．请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？
思路分析：（1）根据等量关系列方程组求解；（2）根据不等关系列不等式组求解各种符合题意的方案；分别计算所得各种方案的获利情况，可得利润最大的方案及最大利润；也可以建立二次函数模型求解．
解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x 元，乙种口罩每袋的售价为y 元，根据题意得：523110x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解这个方程组得：2520
x y =⎧⎨=⎩， 故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元．
（2）设该网店购进甲种口罩m 袋，则购进乙种口罩(500－m )袋，根据题意得：
4(500)522.418(500)10000
m m m m ⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩， 解这个不等式组得：222 2＜m ≤227 3，因m 是整数，故有5种进货方案，分别是： 购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；
购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；
购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；
购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；
购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；
设网店获利为w 元，则有w ＝(25－22.4)m ＋(20－18)(500－m )＝0.6m ＋1000，
因w 随m 的增大而增大，故当m ＝227时，w 最大，
W 最大＝0.6×227＋1000＝1136.2（元）.
故网店购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋时，获利最大，最大获利为1136.2元.
23．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，23，10分）
已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，如图①．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝10．AC＝6，求BD的长；
（3）如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝19
4
，tan∠BAD
＝3
4
，求⊙O的半径．
思路分析：（1）连接OD，证明OD⊥DE即可得解；
（2）连接BC，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度，再进一步应用三角形中位线性质及勾股定理求解；
（3）设FG与AD交于点H，证明△DHE是等腰三角形是解题突破口.
解：（1）如图，连接OD.
N
E
D
C
B
A
O
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE.
∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.
∴∠ODE＋∠AED＝180°.
又∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°.
∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．
（2）连接BC，交OD于点N.
∵AB是直径，∴∠BCA＝90°.
∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝1
2 AC，
∴∠ONB＝90°，且ON＝3.
则BN＝4，ND＝2，∴BD
＝＝
．
②
（第23题图）
①
（3）如图，设FG 与AD 交于点H .
F
E
H C G M D
A O
B
根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，BD ＝3x ，
则AF ＝54x ，5315tan 4416
FH AF BAD x x =⋅∠=⋅=， 52544cos 165
x AF AH x BAD ===∠，HD =AD －AH ＝253941616
x x x -=. 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°，在Rt △HF A 中，∠F AH ＋FHA ＝90°，
又∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ，∴∠DHG ＝∠HDG .
∴GH ＝GD .
过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M .
∴MH ＝MD ，∴HM ＝
12HD ＝12×3916x ＝3932
x . ∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°，∴∠F AH ＝∠HGM . 在Rt △HGM 中，HG ＝sin HM HGM ∠＝393235
x ＝6532
x . ∵FH ＋GH ＝194，故有1516x ＋6532x ＝194，解之得：x ＝85
． 故此圆的半径为
52×85＝4．
24．（本题满分12分）（2017山东莱芜，24，12分）
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若潢足DE AE
，求点D 的坐标．
（3〉如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似．若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）将A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得到关于a ，b ，c 的方程组，解所得的方程组得到a ，b ，c 的值，即得抛物线的解析式；
（2）根据题意，AB ∥x 轴，DE ⊥x 轴，求出直线AC 的解析式y ＝kx n +，设D 设点D (m ，ax 2＋bx ＋c )，2＜m ＜6，则点E (m ，kx n +)，用含有m 的式子分别表示出AE 、DE 的长度，再求解；（3）先确定△ABF 的形状，再分不同情况分别讨论求解．
解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y ＝2(3)a x h -+．
所以395a h a h +=⎧⎨+=-⎩
﹐﹒ 解得14a h =-⎧⎨=⎩
﹐﹒ 所以抛物线表达式为y ＝265x x -+-．
（2）设直线AC 的表达式为y ＝kx n +，则
2365k n k n +=⎧⎨+=-⎩
﹐﹒ 解得27k n =-⎧⎨=⎩
﹐﹒ ∴直线AC 表达式为y ＝－2x ＋7．
设点D (m ，265m m -+-)，2＜m ＜6，则点E (m ，－2m ＋7)，
∴DE ＝2(65)(27)m m m -+---+＝2812m m -+-．
设直线DE 与直线AB 交于点G ，则AG ＝m －2，EG ＝3(27)m --+＝2(m －2)，m －2＞0．
（第24题图）
在Rt △AEG 中，∴AE (m －2)．
由DE
AE ，2，化简得221114m m -+＝0，解得m ＝72或m ＝2（舍去）．
∴D （72，154
）． （3）根据题意得，△ABF 为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P 、Q ，则△BPQ 为等腰直角三角形．
（i ）若∠BPQ ＝90°，BP ＝PQ ，如图①，易知△BAP ≌△PMQ ，由AB ＝PM ＝2，所以P
（2，2），Q （3，0），PQ ，S △BPQ ＝52
．
如图②，△BNP ≌△PMQ ，由PN ＝QM ＝2，所以P （2，－2），Q （－3，0），PQ S △BPQ ＝292
． （ii ）若∠BQP ＝90°，BQ ＝PQ ，如图③，易知△BNQ ≌△QMP ，由NQ ＝PM ＝3，所以P
（2，－5），Q （－l ，0），PQ S △BPQ ＝17．
如图④，△QNB ≌△PMQ ，由NQ ＝PM ＝3，所以ｐ（2，－1），Q （5，0），PQ S △BPQ ＝5．
（iii ）若∠PBQ ＝90°，BQ ＝BP ，如图⑤，易知△PQB ≌△BNQ ，又AB ＝2，NQ ＝3，AB ≠NQ ，此时不存在满足条件的点P 、Q ．。