七年级数学培优讲义 第13讲 平行线的性质及其应用

C B A

D 第13讲 平行线的性质及其应用

考点·方法·破译

1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典·考题·赏析

【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝38°，求∠C 的度数.

【解法指导】

两条直线平行，同位角相等；

两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.

【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD

∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）

A ．155°

B ．50°

C ．45°

D ．25°

02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65°

03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.

【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂

直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°

【变式题组】

（第1题图）

E D

C

B

A

E

A

B

D

α

1

2 C F

（第3题图）

3

2

1

l 1 l 2

（第2题图）

E A

F G

D C B

01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________

02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平

行，则∠BOC ＝___________

03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度

数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F .

【解法指导】 因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，

即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.

证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）

【变式题组】

01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行

A

B

C

D

O

E F

A

E

B

C （第1题图）

（第2题图）

B

A

M

C

D

N P （第3题图）

C D

A

B E

F

1 3

2 G B

3 C A 1

D 2

E F （第1题图）

A

2 C

F 3 E D

1

B

（第2题图）

D

A

2 E

1 B C B

F E A C

D

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.

【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3.

求证：AD 平分∠BAC ．

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析

条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论

的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）

证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】

01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．

02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠

EDF ＝∠BDF .

3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM

⊥CN ，求：∠BCM 的度数.

【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°

A D

M

C

N

E

B

O /

α

O θ

β

B

3

1 A B G D C

E