和式的恒等变换
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换是一种重要的数学思想，它是一种重要的数学变换，它可以将函数或形式转换成另一种形式。
它具有良好的几何意义，包括积分，平方，幂和三角函数。
这种变换可以帮助我们理解数学概念，解决数学问题，更好地应用数学的思想。
三角恒等变换的公式有很多种，其中最受欢迎的是“反三角变换”，它的公式如下：
反三角变换：f(x) = sinx和 cosx反三角变换是
Acos(x)+Bsin(x)。
它的反三角变换表示式是：
Acos(x)+Bsin(x) = f(x)
利用反三角变换可以将函数 f(x)换成 Acos(x)+Bsin(x)，其中A和B是任意实数。
也可以把它看成是三角函数的线性组合。
反射恒等变换：反射恒等变换是另一种常用的三角变换，它的公式是：
Csin(x)+Scos(x) = f(x)
反射恒等变换表示上式函数 f(x)以用 Csin(x)+Scos(x)表示，其中C和S是任意实数。
反射恒等变换也可以看成是三角函数的线性组合。
另外，三角恒等变换还有其他公式，例如求导公式：
f(x)=Acosx + Bsinx
反三角变换也可以应用于求积分，其求积分公式为：
F(x) = Asin(x)+Bcos(x)
F(x) =f (x) dx
上述就是三角恒等变换的所有公式，它们是数学的重要变换，有着无限的应用空间，被广泛应用在科学中和工程中。
他可以帮助我们更快地理解数学概念，解决数学问题，更好地运用数学思想。
2024年简单的三角恒等变换
函数名变换技巧
弦化切
将弦函数（正弦、余弦）通过适当的变换转化为切函数（正切、余 切），以便更好地利用切函数的性质。
切化弦
将切函数转化为弦函数，以便利用弦函数的和差公式、倍角公式等 性质进行化简。
万能公式
利用万能公式将任意三角函数转化为有理函数，从而便于求解和证 明。
次数变换技巧
升幂公式
利用升幂公式将低次三角函数转化为高次三角函数，以便进行更高 层次的化简和求解。
半角公式
正弦半角公式
sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]
余弦半角公式
cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]
正切半角公式
tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα) / sinα
• 在几何问题中的应用：三角恒等变换公式在几何问题中也有广泛的应用。例如，在求解一些与角度、长度等相 关的几何问题时，可以通过运用三角恒等变换公式来简化问题的求解过程。
05
三角恒等变换在解题中应用
三角函数求值问题
利用同角三角函数关系式求值
01
通过已知的一个三角函数值，利用同角三角函数关系式
求出其他函数值。
利用三角恒等变换证明不等 式
通过三角恒等变换，将不等式的一边进行化简或放缩， 从而证明不等式成立。
利用三角恒等变换证明三 角恒等式
通过三角恒等变换，证明一些常见的三角恒等 式，如倍角公式、和差化积公式等。
三角恒等变换在几何中应用
利用三角恒等变换求角度
在几何图形中，通过已知的边长和角度，利用三角恒等变 换求出未知的角度。
第10讲 不等式的证明方法与技巧 东北育才学校 彭玲
不等式的证明方法与技巧东北育才学校 张雷 彭玲我们除了要熟悉平均值不等式、柯西不等式及排序不等式等基本不等式外，常用的不等式证明技巧更要熟练掌握.不等式的证明技巧很多，证明方法常常因题而异，其中不乏高难题目. 我们这里以常见题型和技巧为主，希望对大家学习不等式有所帮助.【范例选讲】一、取等匹配法对于一些非严格的对称（或轮换对称）不等式，我们可以根据待证不等式取等号的条件和结构特征，进行配项与凑项，造成利用平均值不等式之态势，应用这一技巧，我们可以证明很多甚至很难的不等式. 例1 若x 、y 、z +∈R 且x+y+z=1,求证：81)1()1()1(242424≥-+-+-x x zz z yy y x.分析 注意到：当31===z y x 时不等式取等号，此时：241)1()1()1(242424=-=-=-x x zz z yy y x.证明 因为：)1(321)1(16181)1(24y y y y y x++-++-x y y y y y x21)1(321)1(16181)1(4424=+⋅-⋅⋅-≥即：32332321)1(24--≥-y x y y x.同理：32332321)1(24--≥-z y z z y32332321)1(24--≥-x z x x z.相加得：)1()1()1(242424x x zz z yy y x-+-+-39)(323)(21-++-++≥x z y z y x .8132932321=--=原不等式得证二、发现局部不等式 例2.已知正实数,,a b c 满足1111a b c ++=,证明≥证明:先证明局部不等式1b≥+，因为222111)(11111(0bbbb a cb-+=--=+-=≥所以11a cb +成立，同理可得1a≥+，11b a ≥++111bac++≥++++左右两边乘以三、导数法例3、（2009年高中联赛二试）求证不等式：2111ln 12nk kn k=-<-≤+∑，n =1，2，…．证明：首先证明一个不等式：⑴ln(1)1x x xx<+<+，0x >．事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1x g x x x =+-+．则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nn k k x nk ==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n =-<+因此1112n n x x x -<<<= ．又因为111l n (l n l n (1))(l n (1)l n (2))(l n 2l n 1)l n 1l n 1n k n nn n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ． 从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．四、换元法例4、（1998年韩国）已知,,x y z R +∈，且x y z x y ++=，求证：232+≤证明:令tan ,tan ,tan ,,,(0,)2x A y B z C A B C π===∈由条件x y z xyz ++=易得A B C π++= 问题转化成了3cos cos cos 2A B C ++≤，其中,,(0,)2A B C A B C ππ∈++=且有函数()cos f x x =在(0,)2π为凹函数可得cos cos cos 1cos332A B CA B C++++≤=所以3cos cos cos 2A B C ++≤，从而原不等式得证五、引进参数法 例5.(2001年IMO试题)已知,,a b c为正实数，证明：1++≥证明:引进参数λaa b cλλλλ≥++即2222()()(8)a b c a a a bcλλλλ++⋅≥⋅+，而22322424()()()()2()4()8()a b c ab c a b c abc a bc a bcλλλλλλλλλλλλλλλ++-=++++≥⋅=则3332224224()()8()(8())a b c a a bc a a bcλλλλλλλλλ++≥+=+取43λ=，则有4442223333()(8)a b c a a bc++≥+即43444333aa b c≥++43444333b ba b c≥++43444333c ca b c≥++三个式子相加即得六、构造对偶式例6.如果,,a b c R+∈，求证：3332222223a b c a b ca ab b b bc c c ca a++++≥++++++证明:记不等式左边为M，构造对偶式333222222b c aNa ab b b bc c c ca a=++++++++则0M N-=，即M N=又222222222222()()()a ab b b bc c c ca aM N a b b c c aa ab b b bc c c ca a-+-+-+ +=+++++++++++由基本不等式易得222213a ab ba ab b-+≥++，222213b bc cb bc c-+≥++，222213c ca ac ca a-+≥++所以2()3a b cM N+++≥，所以()3a b cM++≥七、和式的恒等变换例7.（1989年高中联赛二试）已知(1,2,,;2)i x R i n n ∈=≥ ，满足11||1,0nni ii i x x====∑∑求证：111||22ni i x in=≤-∑证明：令1(1,2,,)kk ii S x i n ===∑ ，，则0nS=有和式变换得1111111111()()11nn n i n k k i k k x S S S inkk kk --====⋅+-=-++∑∑∑对于11k n ≤≤-，由110nnik i i i k xS x ==+==+∑∑所以1n k i i k S x =+=-∑，所以1||||nk i i k S x =+=∑从而112||||||||1n nk k i i i k i S S x x =+==+≤=∑∑，所以1||2k S ≤所以1111111111111111|||()|||()()112122nn n n i k k i k k k x S S ikk kk kk n---=====-≤-≤-=-+++∑∑∑∑八、局部调整例8（40届IMO ）设)2(≥n n 是一个固定的整数，确定最小的常数c ，使不等式41221)()(∑∑=≤<≤≤+ni i ji nj i j ix c x x x x对所有非负实数n x x x ,...,21都成立。
高中数学三角恒等变换
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知识梳理
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ，(C(α＋β))
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，(S(α－β))
7 － 5
.
答案
解析
2 2 cos α － sin α cos 2α ＝ ＝cos α－sin α， π 2 2 2sinα＋ 2 sin α＋ cos α 4 2 2 3 π ∵sin α＝ ，α∈( ，π)， 5 2 4 7 ∴cos α＝－ ，∴原式＝－ . 5 5
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(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为 答案
2 A.－ 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D.－ 2
解析
由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
tan A＋tan B 可得 ＝－1，即 tan(A＋B)＝－1， 1－tan Atan B 3π 又 A＋B∈(0，π)，所以 A＋B＝ ， 4 π 2 则 C＝ ，cos C＝ . 4 2
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引申探究
θ θ 1＋sin θ－cos θsin －cos 2 2 化简： (0<θ<π). 解答 2－2cos θ
θ π θ ∵0< < ，∴ 2－2cos θ＝2sin ， 2 2 2
例2 2 5 A. 25 5 3 (1)设 α、β 都是锐角，且 cos α＝ ，sin(α＋β)＝ ，则 cos β 等于 5 5
答案 解析
三角恒等变换知识总结 (1)
三角恒等变换知识点总结一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =， 1212a b x x y y =+ ，12120a b x x y y ⊥⇔+= 1221//0a b x y x y ⇔-= ； 二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+ 的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒= _______________.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5πcos52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母) 6、cos 20cos 40cos60cos80= （ ） 7、 已知322A ππ<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.其中cos ϕϕ==）如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________. 2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45πα+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值[例1] 1.0000cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin50(1);3.求tan 70tan 5070tan 50+ 值;4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ∙∙=++ （三）三角函数给值求值问题1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________;2. 已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。
课件2：5.5.2 简单的三角恒等变换
1．设 α 是第二象限角，tan α＝－43，且 sinα2<cosα2，则 cosα2＝( )
A．－
5 5
5 B. 5
3 C.5
D．－35
解析：∵α 是第二象限角，且 sinα2<cosα2，∴α2为第三象限，∴cosα2<0，
∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－ 答案：A
点拨：解答本题可设∠PAB＝θ 并用 θ 表示 PR，PQ.根据 S 矩形 PQCR ＝PQ·PR 列出关于 θ 的函数式，求最大值、最小值．
解：如图，连接 AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
5.5.2 简单的三角恒等变换
【课标要求】
能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【新知初探】
要点一 半角公式
1－2sin2α 2α
1－2sin2α2
2cos2α－1 α
2cos2α2－1
1－cos α
±
2
1＋cos α
±
2
状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数 1 余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即 y＝1＋cosα(α 是锐角)是减函数，角小值 大，因此用“＋”号，而 y＝1－cosα 为增函数，角大值大，因 此用“ －”号．
(完整版)三角恒等变换知识点归纳
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。
，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4
教 目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。
过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。
情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。
重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。
难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。
教学方法探究学习，小组讨论、学案导学教学手段投影仪，多媒体 教 学 过 程设 计 意 图 一、知识回顾学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。
二、公式推导思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？?)(cos =-βα ?)(cos =+βα师生活动: 引导学生回答)(cos βα+是怎样由)(cos βα-推导出来的？思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？ 学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦即引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识的理解。
新高考数学A版讲义：三角函数第5节 三角恒等变换
第5节 两角和与差的恒等变换公式知识点一 两角和与差的余弦公式知识点二 两角和与差的正弦公式题型一、给角求值例1 计算：(1)cos 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.反思感悟 解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 跟踪训练1计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )． 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin [(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 题型二、给值求值例2 已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．解 ∵π2<β<α<34π，∴－34π<－β<－π2.∴0<α－β<π4，π<α＋β<32π.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365， 延伸探究1．若本例的条件不变，求sin 2α的值． 解 由本例解析知sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 2．若本例条件变为：π2<β<α<3π4，sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，求sin 2β的值．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<32π.所以cos(α－β)＝1213，cos(α＋β)＝－1213，所以sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－513×1213－⎝⎛⎭⎫－1213×513＝0. 反思感悟 给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练2 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.①∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 题型三、给值求角例3 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为0<β<π2，所以0<α＋β<π.因为sin(α＋β)＝5314<sin α，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为0<β<π2，所以β＝π3.延伸探究若把本例中的“0<β<π2”改为“π2<β<π”，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2.因为sin(α＋β)＝5314，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为π2<β<π，所以β＝2π3.反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π2或⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，选取求正弦值． 跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 因为α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，所以cos α＝255，sin β＝31010. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. 又因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.知识点三 两角和与差的正切公式题型一、化简求值例1 计算：(1)tan(－75°)；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.解 (1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3，∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－ 3. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟 利用公式T (α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：T (α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的 特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．跟踪训练1 求值：(1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.解 (1)1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 15°tan 45°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. 题型二、给值求值(角)例2 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan β＝－17，tan(α－β)＝12，∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－13×12＝1.∵tan α＝13>0，tan β＝－17<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝12>0，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－34π.反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 跟踪训练2 已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．解 (1)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝13－(－2)1＋13×(－2)＝7.(2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋(－2)1－13×(－2)＝－1，又0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴α＋β＝34π.题型三、两角和与差的正切公式的综合应用例3 (1)已知A ，B 是三角形ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________.解析 由题意可知⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝－83，tan A ·tan B ＝－13，由两角和的正切公式得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－831－⎝⎛⎭⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3－3tan B tan C1－tan B tan C ＝3，又0<B ＋C <π，∴B ＋C ＝π3，①；又由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B 得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝33(tan A ·tan B －1)1－tan A ·tan B ＝－33.又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝56π，②由①②及A ＋B ＋C ＝π解得B ＝π6，C ＝π6，A ＝23π.所以△ABC 为等腰三角形．反思感悟 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)；③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式． 跟踪训练3 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )A.π3 B ．－2π3 C ．－2π3或π3D ．无法确定 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，①tan α·tan β＝4，②所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又由①②可知tan α<0，tan β<0.∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－23π.两角和与差的正弦余弦公式1．sin 15°sin 75°的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析 原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14.2.⎝⎛⎭⎫cos π8－sin π8⎝⎛⎭⎫cos π8＋sin π8的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.22解析 原式＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析 由sin α＋cos α＝33，平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23. ∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴cos α－sin α＝－153， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43解析 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D.3 解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 6．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.解析 由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.7．化简：sin 235°－12sin 10°cos 10°＝________.解析 原式＝2sin 235°－12sin 10°cos 10°＝－cos 70°sin 20°＝－cos 70°sin (90°－70°)＝－1.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________．解析 方法一 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.9．已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解 tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34，tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，所以α＋2β＝π4. 10．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 解 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35， ∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45.11．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2等于( )A ．－233 B.233 C.43 D ．－33解析 ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.12．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( ) A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值 B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0 C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值 解析 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是______． 解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 14．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.15．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析 设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 16．已知α为锐角且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3.(1)求tan α的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值．解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝3，即1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12. (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α＝cos α(sin 2α＋cos 2α)－sin αcos 2α＝2cos 2αsin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α＝cos 2α(cos α＋sin α)cos 2α＝cos α＋sin α.因为α为锐角且tan α＝12，所以cos α＝2sin α.由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝15，所以sin α＝55，cos α＝255，可得cos α＋sin α＝355.即原式＝355.两角和与差的正切公式1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－ 3D ．2＋3解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3.2.3－tan 18°1＋3tan 18°的值等于( ) A ．tan 42° B ．tan 3°C ．1D ．tan 24° 解析 ∵tan 60°＝3，∴原式＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°. 3．若tan(180°－α)＝－43，则tan(α＋405°)等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 解析 ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－43， ∴tan α＝43，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝1＋tan α1－tan α＝1＋431－43＝－7. 4．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53解析 ∵∠C ＝120°，∴∠A ＋∠B ＝60°，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝3， ∴tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )＝233，解得tan A ·tan B ＝13.故选B. 5．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. 解析 tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝12－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 8．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值． 解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin (β－α)cos (β－α)＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 (1)由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.11．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3解析 sin α＝55，且α为锐角，则cos α＝255，tan α＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×(－3)＝－1.又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故α＋β＝3π4. 12．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析 tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23， 13．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.14．设tan θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝________. 解析 由tan θ＝2，得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－3，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝tan θ－1tan θ＋1＝13.15．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 C解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立． 由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3， 因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－ 3. 若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4， 所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.。
2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课件 新人教B版必修4
=
1 2
+
1-
3 2
sin x+
3 2
-
3+
3 2
cos x=0.
(2)原式=sin[(������+������)+������s]i-n2���c���os(������+������)sin������ =sin(������+������)coss���i���n-c���o��� s(������+������)sin������ =sin[(s������in+������������)-������] = ssiinn������������.
������
+
π 3
=
.
答案:4-130 3
4.sin(������+30°co)s-s������in(������-30°)=
.
解析:sin(������+30°co)s-s������in(������-30°) =sin������cos30°+cos������sin30°co-s(s������in������cos30°-cos������sin30°) =2cos���c���ossin������30°=2sin 30°=1.
3.1.2 两角和与差的正弦
课标阐释
思维脉络
1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、 证明.
两角和与差的正弦公式
【问题思考】
1.(1)计算sin 15°的值.
(2)试用sin α,cos α,sin β,cos β表示sin(α+β)和sin(α-β).
提示:(1)sin 15°=cos 75°=cos(45°+30°)=
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
高中数学新人教A版必修4课件：第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换6
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公 式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或 余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin 2x＋14 ＝12cos x－ 23sin x12cos x＋ 23sin x－12sin 2x＋14
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
（sin
x＋cos
2sin xcos x x－1）（sin
x－cos
x＋1）＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x
1．已知 180°＜α＜360°，则 cosα2的值等于( )
A．－
1－cos α 2
B．
1－cos α 2
C．－
1＋cos α 2
D．
1＋cos α 2
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，
∴cos α2＜0，故应选 C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式三角恒等变换公式如下：1、二倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]2、三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα3、半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα4、万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]5、积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 6、和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数的起源：早期对于三角函数的研究可以追溯到古代，古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同），对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
三角恒等变换公式 -回复
三角恒等变换公式 -回复三角恒等变换公式是指一系列将三角函数表达式转化为等价形式的公式。
以下是常见的三角恒等变换公式：
1. 余弦的平方和正弦的平方等于1：
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
2. 1加上正切的平方等于割线的平方：
1 + tan^2(x) = sec^2(x)
3. 1加上余切的平方等于余割的平方：
1 + cot^2(x) = csc^2(x)
4. 正弦与余弦之间的关系：
sin(π/2 - x) = cos(x)
sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)
5. 正切与余切之间的关系：
tan(x) = sin(x) / cos(x)
cot(x) = cos(x) / sin(x)
tan(-x) = -tan(x)
cot(-x) = -cot(x)
6. 正弦、余弦和正切之间的关系：
sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))
cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))
tan(x) = sin(x) / sqrt(1 - sin^2(x))
这些是常见的三角恒等变换公式，它们在解三角方程、简化三角函数表达式等数学计算中非常有用。
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和式的恒等变换
一.知识归纳
在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：
（1）()()i j i j i j j i i i j j a a b b a b a b a b a b +--=--；
（2）2
21
1
1()2
n
n
i i i j i i i j n
a a a a ==<=+∑∑∑
；
（3）
2
2211
1
()()n n
i j i i i j n
i i a a n a a <==-=-∑
∑∑；
（4）1
1
11
11
()()n
n
n
n
n
n
i i i j j i i i i j i j a b a b a b ========∑∑∑∑∑∑；
（5）
1
11
1
2
1
()()j n
n
n
i j i j i j i j n
i j i j i a a a a a a -<==+====∑∑∑∑∑；
（6）11
111()2n n
n n
i j i j j i i j i j a b a b a b =====+∑∑∑∑；
（7）1
111
()n n k k k a a a a -+=-=-∑.
Abel 分部求和公式：
111
1
1
1
()()n
n n k
k k
n k i k k k k k i a b
b a a b b -+=====+-∑∑∑∑
Abel 不等式： 设12
1
012t
n k
k b b b m
a
M t n =⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅∑，，，，，.则有：
111
n
k k
k b m
a b
b M =∑
二.赛题精讲
例1. 证明Lagrange 恒等式：
2
2221
1
1
1()()()()n
n
n
i
i
i i i j j i i i i i j n
a b a b a b a b ===<⋅=+
-∑∑∑∑
.
例2. 实数集01{}n a a a ⋅⋅⋅，，，满足以下条件： （1）00n a a ==； （2）对1
11
1()n k i k i i i k k
n a c a a a --+=-=++∑，. 求证：1
4c
n
.
例3.已知122i x R i n n
∈=⋅⋅⋅，，，，，，满足1
1
||10n n
i i i i x x ====∑∑，.
求证：111
||22n
i i x i n
=-
∑
（1989年全国高中数学联赛）
例4.设x R n ∈∈N ，.求证：1[]
[]n
i ix nx i
=∑
，这里[]x 表示不超过x 的最大整数.（第10届美国数学奥
林匹克）
例5.设012i x i n =⋅⋅⋅，，，，，且21
12
1n
i k j i k j n
x x x j =<+⋅=∑∑
，求1
n
i i x =∑的最大值和最小值.
例 6.实数122001
x x x ⋅⋅⋅，，，满足2000
11
||2001k k k x x +=-=∑，令11122001k
k i i y x k k ===⋅⋅⋅∑，，，，.求
200011
||k
k k y
y +=-∑的最大可能值.（2001年上海市高中数学竞赛）
例7.已知12n a a a ⋅⋅⋅，，，和12n b b b ⋅⋅⋅，，，是实数.证明：使得对任何满足12
n x x x ⋅⋅⋅
的实数，
不等式11
n
n
i i
i i
i i a x b x
==∑∑恒成立的充要条件是1
1
121k
k
i
i i i a b k n ===⋅⋅⋅-∑∑，，，，，且1
1
n
n
i
i
i i a b ===∑∑.（第
27届IMO 国家集训队选拔考试）
例8.证明：对每个正整数n ，
1
431
66
n
i n i
n =+∑
.不等式两边等号成立当且仅当1n =.
三.赛题训练
1.设n 是给定的正整数，3n
，对于n 个给定的实数12n a a a ⋅⋅⋅，，，，记m 为||(1)
i j a a i j
n -<的最小值.求在21
1n
i i a ==∑的条件下m 的最大值.
2.已知12n a a a ⋅⋅⋅，，，为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数n ，下列不等式成立： 2111n
n
k k k a k
k ==∑∑（第20届IMO ）（提示：由阿贝尔变换得1
2222
11111
[](1)n n k n k k k a S S k n k k -===+-+∑∑，其中1
1
k k
k i i i S a i ===∑∑.）
3.（钟开莱不等式）设1
2
(12)0k k n
a b R k n a a a ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
，，，，，，对12k n =⋅⋅⋅，，，，恒有
1
1
k k i
i
i i a b ==∑∑.则必有2
21
1
n
n
i
i
i i a
b
==∑∑.（提示：先用阿贝尔变换证明2
1
1
n
n
i
i i
i i a
a b
==∑∑，再用柯西）
4.已知12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，是实数列，满足(12)i j i j a a a i j n ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，.证明：
（1）1
1
2(2)1n n i i a a n n n -=∈-∑N ，；
（2）3
2123n n a a a a a n
+
++⋅⋅⋅+（2002年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）
（提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿（1）得1
1
21k k i i a a k -=-∑，再对求证式左边用阿贝尔变换）
5.设1
2
1
112
1212120n
n
n a a a b a b b a a b b b a a a ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，.求证：1
1
n
n
i
i
i i b a
==∑∑
（提示：令(1
)i i i
b
c i
n a =，结论转化为1
(1)0n
i i
i c a =-∑，用阿贝尔变换及均值不等式可得）。