和式的恒等变换

和式的恒等变换

一.知识归纳

在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：

（1）()()i j i j i j j i i i j j a a b b a b a b a b a b +--=--；

（2）2

21

1

1()2

n

n

i i i j i i i j n

a a a a ==<=+∑∑∑

；

（3）

2

2211

1

()()n n

i j i i i j n

i i a a n a a <==-=-∑

∑∑；

（4）1

1

11

11

()()n

n

n

n

n

n

i i i j j i i i i j i j a b a b a b ========∑∑∑∑∑∑；

（5）

1

11

1

2

1

()()j n

n

n

i j i j i j i j n

i j i j i a a a a a a -<==+====∑∑∑∑∑；

（6）11

111()2n n

n n

i j i j j i i j i j a b a b a b =====+∑∑∑∑；

（7）1

111

()n n k k k a a a a -+=-=-∑.

Abel 分部求和公式：

111

1

1

1

()()n

n n k

k k

n k i k k k k k i a b

b a a b b -+=====+-∑∑∑∑

Abel 不等式： 设12

1

012t

n k

k b b b m

a

M t n =⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅∑，，，，，.则有：

111

n

k k

k b m

a b

b M =∑

二.赛题精讲

例1. 证明Lagrange 恒等式：

2

2221

1

1

1()()()()n

n

n

i

i

i i i j j i i i i i j n

a b a b a b a b ===<⋅=+

-∑∑∑∑

.

例2. 实数集01{}n a a a ⋅⋅⋅，，，满足以下条件： （1）00n a a ==； （2）对1

11

1()n k i k i i i k k

n a c a a a --+=-=++∑，. 求证：1

4c

n

.

例3.已知122i x R i n n

∈=⋅⋅⋅，，，，，，满足1

1

||10n n

i i i i x x ====∑∑，.

求证：111

||22n

i i x i n

=-

∑

（1989年全国高中数学联赛）

例4.设x R n ∈∈N ，.求证：1[]

[]n

i ix nx i

=∑

，这里[]x 表示不超过x 的最大整数.（第10届美国数学奥

林匹克）

例5.设012i x i n =⋅⋅⋅，，，，，且21

12

1n

i k j i k j n

x x x j =<+⋅=∑∑

，求1

n

i i x =∑的最大值和最小值.

例 6.实数122001

x x x ⋅⋅⋅，，，满足2000

11

||2001k k k x x +=-=∑，令11122001k

k i i y x k k ===⋅⋅⋅∑，，，，.求

200011

||k

k k y

y +=-∑的最大可能值.（2001年上海市高中数学竞赛）

例7.已知12n a a a ⋅⋅⋅，，，和12n b b b ⋅⋅⋅，，，是实数.证明：使得对任何满足12

n x x x ⋅⋅⋅

的实数，

不等式11

n

n

i i

i i

i i a x b x

==∑∑恒成立的充要条件是1

1

121k

k

i

i i i a b k n ===⋅⋅⋅-∑∑，，，，，且1

1

n

n

i

i

i i a b ===∑∑.（第

27届IMO 国家集训队选拔考试）

例8.证明：对每个正整数n ，

1

431

66

n

i n i

n =+∑

.不等式两边等号成立当且仅当1n =.

三.赛题训练

1.设n 是给定的正整数，3n

，对于n 个给定的实数12n a a a ⋅⋅⋅，，，，记m 为||(1)

i j a a i j

n -<的最小值.求在21

1n

i i a ==∑的条件下m 的最大值.

2.已知12n a a a ⋅⋅⋅，，，为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数n ，下列不等式成立： 2111n

n

k k k a k

k ==∑∑（第20届IMO ）（提示：由阿贝尔变换得1

2222

11111

[](1)n n k n k k k a S S k n k k -===+-+∑∑，其中1

1

k k

k i i i S a i ===∑∑.）

3.（钟开莱不等式）设1

2

(12)0k k n

a b R k n a a a ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

，，，，，，对12k n =⋅⋅⋅，，，，恒有

1

1

k k i

i

i i a b ==∑∑.则必有2

21

1

n

n

i

i

i i a

b

==∑∑.（提示：先用阿贝尔变换证明2

1

1

n

n

i

i i

i i a

a b

==∑∑，再用柯西）

4.已知12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，是实数列，满足(12)i j i j a a a i j n ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，.证明：

（1）1

1

2(2)1n n i i a a n n n -=∈-∑N ，；

（2）3

2123n n a a a a a n

+

++⋅⋅⋅+（2002年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）

（提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿（1）得1

1

21k k i i a a k -=-∑，再对求证式左边用阿贝尔变换）

5.设1

2

1

112

1212120n

n

n a a a b a b b a a b b b a a a ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，.求证：1

1

n

n

i

i

i i b a

==∑∑

（提示：令(1

)i i i

b

c i

n a =，结论转化为1

(1)0n

i i

i c a =-∑，用阿贝尔变换及均值不等式可得）