第三章 电场中的电介质
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1 1 M Fl sin F l sin Fl sin 2 2
q
E
l
q
F
M qEl sin
7
力偶矩的方向垂直于纸面并指向读者。力偶矩 矢量为
M ql E p E
说明：当外场一定时，偶极子所受力偶矩 （大小方向）由 p 唯一决定。 力偶矩力图使偶极子的偶极矩 p 转到 与外场一致的方向。 当 p 与 E 平行或反平行时，力偶矩为 零。平行时为稳定平衡态，反平行时为不稳 定平衡态。
得
P 0 E
0 0 E 0 r
0 r
绝对介电常数
28
均匀各向同性电介质
充满两个等势面之间
E
E0
r
例2 导体球置于均匀各向同性介质中 如图所示 求：1)场的分布
R2
r 1
R1
R0
0
r 2
2)紧贴导体球表面处的极化电荷 3) 两介质交界处的极化电荷
由公式
P2n P1n
r R1
介质1、2交界处的极化电荷为
r1 ^ n R1 r2
0
P
P3
( P2 ) r R1
Q Q 0 ( r 2 1) 0 ( r1 1) 2 2 4 0 r 2 R1 4 0 r1R1 Q r1 r 2 2 4 R1 r1 r 2
（1）电荷是微观粒子的一种属性，故强调宏观。 （2）介质 电荷。 约定：
q 0 ，宏观上不一定不带电，取物理无
q ' , ' , ' , ' 表示极化电荷； q0 , 0 , 0 , 0 表示自由电荷；
16
限小体元 V ，在电场作用下， V 内可能出现宏观
二、极化强度与极化电荷的关系
E
A
D
P
B
C
20
极化电荷面密度与极化强度的关系
en1
h
△S2
△S1 介质1 介质2 S
求薄层内的极化电荷
q
en 2
上底面贡献： q1 P S1 1 下底面贡献： q2 P S2 2
总贡献
q q1 q2
29
解：1）求场的分布
r R0
导体内部
E1 0
P 0 1
r 1 R2 R0 R1
0
r 2
R0 r R1
介质1内
E2
Q ˆ r 2 4 0 r1r
P2 0 r1 1
Q ˆ r 2 4 0 r1r
R1 r R2
介质2内
P en1S P en2S 1 2 (P P ) en1S 2 1
( P2n Pn )S 1
场点与薄层的距离＞＞薄层的厚度
极化电荷集中分布在几何面上
q 面密度 P2n P n (P2 P ) en 1 1 S
E0
-
E 介质
+ + +
E E0 E
26
例1 平行板电容器 ,自由电荷面密度为0 其间充满相对介电常数为r的均匀的各向 同性的线性电介质。 0 0 求:板内的场强。
r
解:介质被匀强电场均匀极 化，表面出现束缚电荷。 内部的场 自由电荷 0
介质极化强度为 P2 ，真空
n
真空
极化强度为P1 0 ( P1
' P2 n P2n
pi )。 V
+
+
+
介质
n
2）介质金属界面
介质极化强度为 P2 ，金属内
电场为零，故极化强度 P1 0
金属
+
+
+
介质
' P2 n P2n
注意： 是由介质2指向介质1 en
4.电介质外表面极化电荷面密度
ˆ dq P dS P dSn PndS
dq ˆ P n Pn dS
内
dS
P
面外
l
dS
ˆ P n
ˆ n
介质外法线方向
23
讨论：1）介质与真空界面
注意：均匀极化时电介质内部极化电荷体密度为零。
如图，平行板电容器极板间充满 电介质，在匀强电场作用下介质 均匀极化。取一个体元，截面 ABCD，只有AB和CD两个侧面才 会与偶极子相截。由于均匀极化 P 处处相同，两个侧面所截的偶极 子数相等。如AB把偶极子的正电 荷留在长方体内，则CD必把偶极 子的负电荷留在长方体内，而且 两者绝对值相等。故长方体内的 极化电荷体密度为零。
对于非均匀电场，偶极子除受力矩外还要受 到一个合外力作用。因此，偶极子一般有平 动和转动。
8
§3、电介质的极化wenku.baidu.com
一、 位移极化和取向极化 有极分子电介质：无外场时，每个分子的 正负电荷“重心”不重合，分子偶极矩不 为零。（水、有机玻璃等） 无极分子电介质：无外场时，每个分子 的正负电荷“重心” 重合，分子偶极矩 为零。（氢、甲烷、石蜡等）
在极化的介质内任意作一闭合面S。
基本认识：
1）S 把位于S 附近的电介质分子分为两部分，
一部分在 S 内 ， 一部分在 S 外；
2）只有电偶极矩穿过S 的分子对
S内外的极化电荷才有贡献；
S
或被S截为两段的偶极子才对极化电荷有贡献。
17
1. 面元dS附近分子对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化 以dS为底、长为l（偶极子正负电 荷的距离）作斜圆柱。 只有中心落在薄层内的偶极子才 对面S内电荷有贡献。所以，
Q 4 r1R
2 0
r R0
^ n
r1
R0
0
4 0 r1R
2 0
0 r1 1
( r1 1)
P 0 E
r2
P
因为均匀分布，所以总极化电荷为
r1 1 q 4 πR Q r1
2 0
31
3)求两介质交界处极化电荷
dS
dS
S
dq qnl dS cos
PdScos P dS
分子数密度为 n
ˆ n
P
P
p
l
Np nql V V
18
面内极化电荷的正负取决于 ； 将电荷的正负考虑进去，得小面 元dS附近分子对面内极化电荷的 贡献为
V
dS P l
14
2、各向异性介质
• 极化强度 P 与外场 E 的关系与 E 的方 向有关；同一大小的场强 E 如果方向
不同引起的 P 的大小和方向也会不同。
• 极化率
n
一般是张量，不是常量，有
3 个分量。
在非线性光学中研究这种问题。
15
§4、极化电荷
一、极化电荷 由于介质极化而出现的宏观电荷。
4
电偶极子——两个相距很近而且等值异号的点电 荷组成的带电系统。
电偶极子的电偶极矩 ：
中性分子 等效为 电偶极子
p ql
分子偶极子
二、电偶极子激发的静电场:（第1章已讲） 任意点的场：
5
E
1 4 0 r
3
p 3 er p er
二、极化强度—描述极化强弱的物理量
P
pi V
V
宏观上无限小， 微观上无限大的 体积元 V
12
pi :分子偶极矩 P :极化强度 的单位： m 2 C P
注意：
1、极化强度是量度电介质极化程度和方向的物理 量； 2、是空间矢量点函数，只有均匀极化，电极化强 度才是常矢； 3、真空中电极化强度为零；
9
10
1.无电场时 热运动—杂乱排列—宏观呈电中性
有极分子 无极分子
2. 有电场时 电介质发生极化—宏观呈电性
有极分子介质 取向极化 无极分子介质 位移极化
均匀
－ － － ＋ ＋ ＋
E
均匀
－ － － ＋ ＋ ＋
E
11
结论：极化的总效果是介质边缘出现电荷分布！
由于这些电荷仍束缚在每个分子中，所以称之 为束缚电荷或极化电荷。
Q ˆ E3 r 2 4 0 r 2 r
E4 Q 4 0 r
2
P3 0 r 2 1
Q ˆ r 2 4 0 r 2 r
r R2
真空中
ˆ r
P 0 4
30
2)求紧贴导体球表面处的极化电荷
ˆ Pn
Q
r R0
ˆ P n cos P 2
24
3）两种介质
P2n P1n
n
介质1
+ +
+ +
介质2
带电棒吸引轻小物体的解释：轻小物体， 如纸片在带电棒的场中发生极化，两端出 现两种极化电荷，正负电荷都受到电场力， 但距离近处场强大，电荷受力大，合力向 棒，故会被吸引。
5.自由电荷与极化电荷共同产生的场
外场为 E0 自由电 荷产生），使介 质极化出现极化 电荷，极化电荷 产生电场 E ，则 介质内合场强为
第3章 静电场中的电介质
1
第3章 静电场中的电介质
目 §1 概述 §2 偶极子 §3 电介质的极化 §4 极化电荷 录
§5 有电介质时的高斯定理
§6 有介质时的静电场方程
§7 电场的能量
2
§1 概 述
真空中
库仑定律 迭加原理 基本规律{
L E
dL = 0
s E ds =
q
ε
0
导体中 导体感应电荷，感应电场又反过来影响 原电场，静电平衡。
电介质 电介质是绝缘体，不导电物体，在电场 中怎样？
深入到介质内部，许多物理量都涉及到微观值和宏观值的
问题。宏观试验测量的是物理量的宏观值，宏观值是微观值在 物理无限小体积中的平均值。
3
§2、偶极子
一、重心模型
电介质是由中性分子构成的，所谓中性，是分 子正负电荷的代数和为零，而不是没有带电粒子。 由于分子内在力（原子核力等）的约束，电介质分 子中的带电粒子不能发生宏观的位移，这些带电粒 子称为束缚电荷。 “重心模型” ——当场点与分子的距离远大于 分子的线度时，可以认为分子中所有正电荷和所有 负电荷分别集中于两个几何点，这两个几何点分别 叫正、负电荷的“重心”（两个重心不一定重合）。
r
P E
E
r
2p 连线上的场： E 3 4 0 r q
l
r
q
p 中垂线上的场： E 3 4 0 r
6
三、 偶极子在外电场中所受的力矩
外场是指除偶极子的电荷以外的所有电荷激发的电场。
1）先讨论均匀外电场的情形
如图，偶极子的两个点电 荷受到的电场力等值反向， F 整个偶极子受到的合外力 为零。但两个力的作用线 不重合，偶极子将受到一 个力偶矩，其大小为
dS
dq P dS -P dS n
面内
2.在S所围的体积内的极化电荷 q 与 P 的关系
q P dS
S
问题：
面元的法 线方向是 如何规定 的？ 19
3.极化电荷体密度 S面包围的体积无限小时， 该点的极化电荷体密度为：
PdS V
束缚电荷
共同产生
27
0
'
0 单独产生的场强为 E0 0
单独产生的场强为 E 0
0 0
E0
0 (1) E E0 E 0 o
E
Pn 0 ( r 1) E (2)
介质与真空交界处极化电荷
由公式
' P2 n P2n
r R2
r1
R2
0
P
P3n
'
Q 0 r 2 1 2 4 0 r 2 R2
介质真空界面总电荷
r2
^ n
Npi 4、介质均匀极化，分子数密度为n，则 P V npi
三、极化强度与场强的关系
1、各向同性介质
实验显示：
P 0 E
13
反映电介质每点的宏观性质，叫极化率；写为
r 1 ，其中 r叫做相对介电常数。
各向同性：指介质沿各方向的电学性质相 同，即外场沿不同方向作用时极化状态相 同：A、极化程度相同，B、极化方向沿外 电场方向。 如果每点的 与 E 无关，则称为各向同性 的线性电介质。各点的 相同的电介质称 为均匀电介质。 我们研究的均为各向同性的线性电介质。
q
E
l
q
F
M qEl sin
7
力偶矩的方向垂直于纸面并指向读者。力偶矩 矢量为
M ql E p E
说明：当外场一定时，偶极子所受力偶矩 （大小方向）由 p 唯一决定。 力偶矩力图使偶极子的偶极矩 p 转到 与外场一致的方向。 当 p 与 E 平行或反平行时，力偶矩为 零。平行时为稳定平衡态，反平行时为不稳 定平衡态。
得
P 0 E
0 0 E 0 r
0 r
绝对介电常数
28
均匀各向同性电介质
充满两个等势面之间
E
E0
r
例2 导体球置于均匀各向同性介质中 如图所示 求：1)场的分布
R2
r 1
R1
R0
0
r 2
2)紧贴导体球表面处的极化电荷 3) 两介质交界处的极化电荷
由公式
P2n P1n
r R1
介质1、2交界处的极化电荷为
r1 ^ n R1 r2
0
P
P3
( P2 ) r R1
Q Q 0 ( r 2 1) 0 ( r1 1) 2 2 4 0 r 2 R1 4 0 r1R1 Q r1 r 2 2 4 R1 r1 r 2
（1）电荷是微观粒子的一种属性，故强调宏观。 （2）介质 电荷。 约定：
q 0 ，宏观上不一定不带电，取物理无
q ' , ' , ' , ' 表示极化电荷； q0 , 0 , 0 , 0 表示自由电荷；
16
限小体元 V ，在电场作用下， V 内可能出现宏观
二、极化强度与极化电荷的关系
E
A
D
P
B
C
20
极化电荷面密度与极化强度的关系
en1
h
△S2
△S1 介质1 介质2 S
求薄层内的极化电荷
q
en 2
上底面贡献： q1 P S1 1 下底面贡献： q2 P S2 2
总贡献
q q1 q2
29
解：1）求场的分布
r R0
导体内部
E1 0
P 0 1
r 1 R2 R0 R1
0
r 2
R0 r R1
介质1内
E2
Q ˆ r 2 4 0 r1r
P2 0 r1 1
Q ˆ r 2 4 0 r1r
R1 r R2
介质2内
P en1S P en2S 1 2 (P P ) en1S 2 1
( P2n Pn )S 1
场点与薄层的距离＞＞薄层的厚度
极化电荷集中分布在几何面上
q 面密度 P2n P n (P2 P ) en 1 1 S
E0
-
E 介质
+ + +
E E0 E
26
例1 平行板电容器 ,自由电荷面密度为0 其间充满相对介电常数为r的均匀的各向 同性的线性电介质。 0 0 求:板内的场强。
r
解:介质被匀强电场均匀极 化，表面出现束缚电荷。 内部的场 自由电荷 0
介质极化强度为 P2 ，真空
n
真空
极化强度为P1 0 ( P1
' P2 n P2n
pi )。 V
+
+
+
介质
n
2）介质金属界面
介质极化强度为 P2 ，金属内
电场为零，故极化强度 P1 0
金属
+
+
+
介质
' P2 n P2n
注意： 是由介质2指向介质1 en
4.电介质外表面极化电荷面密度
ˆ dq P dS P dSn PndS
dq ˆ P n Pn dS
内
dS
P
面外
l
dS
ˆ P n
ˆ n
介质外法线方向
23
讨论：1）介质与真空界面
注意：均匀极化时电介质内部极化电荷体密度为零。
如图，平行板电容器极板间充满 电介质，在匀强电场作用下介质 均匀极化。取一个体元，截面 ABCD，只有AB和CD两个侧面才 会与偶极子相截。由于均匀极化 P 处处相同，两个侧面所截的偶极 子数相等。如AB把偶极子的正电 荷留在长方体内，则CD必把偶极 子的负电荷留在长方体内，而且 两者绝对值相等。故长方体内的 极化电荷体密度为零。
对于非均匀电场，偶极子除受力矩外还要受 到一个合外力作用。因此，偶极子一般有平 动和转动。
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§3、电介质的极化wenku.baidu.com
一、 位移极化和取向极化 有极分子电介质：无外场时，每个分子的 正负电荷“重心”不重合，分子偶极矩不 为零。（水、有机玻璃等） 无极分子电介质：无外场时，每个分子 的正负电荷“重心” 重合，分子偶极矩 为零。（氢、甲烷、石蜡等）
在极化的介质内任意作一闭合面S。
基本认识：
1）S 把位于S 附近的电介质分子分为两部分，
一部分在 S 内 ， 一部分在 S 外；
2）只有电偶极矩穿过S 的分子对
S内外的极化电荷才有贡献；
S
或被S截为两段的偶极子才对极化电荷有贡献。
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1. 面元dS附近分子对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化 以dS为底、长为l（偶极子正负电 荷的距离）作斜圆柱。 只有中心落在薄层内的偶极子才 对面S内电荷有贡献。所以，
Q 4 r1R
2 0
r R0
^ n
r1
R0
0
4 0 r1R
2 0
0 r1 1
( r1 1)
P 0 E
r2
P
因为均匀分布，所以总极化电荷为
r1 1 q 4 πR Q r1
2 0
31
3)求两介质交界处极化电荷
dS
dS
S
dq qnl dS cos
PdScos P dS
分子数密度为 n
ˆ n
P
P
p
l
Np nql V V
18
面内极化电荷的正负取决于 ； 将电荷的正负考虑进去，得小面 元dS附近分子对面内极化电荷的 贡献为
V
dS P l
14
2、各向异性介质
• 极化强度 P 与外场 E 的关系与 E 的方 向有关；同一大小的场强 E 如果方向
不同引起的 P 的大小和方向也会不同。
• 极化率
n
一般是张量，不是常量，有
3 个分量。
在非线性光学中研究这种问题。
15
§4、极化电荷
一、极化电荷 由于介质极化而出现的宏观电荷。
4
电偶极子——两个相距很近而且等值异号的点电 荷组成的带电系统。
电偶极子的电偶极矩 ：
中性分子 等效为 电偶极子
p ql
分子偶极子
二、电偶极子激发的静电场:（第1章已讲） 任意点的场：
5
E
1 4 0 r
3
p 3 er p er
二、极化强度—描述极化强弱的物理量
P
pi V
V
宏观上无限小， 微观上无限大的 体积元 V
12
pi :分子偶极矩 P :极化强度 的单位： m 2 C P
注意：
1、极化强度是量度电介质极化程度和方向的物理 量； 2、是空间矢量点函数，只有均匀极化，电极化强 度才是常矢； 3、真空中电极化强度为零；
9
10
1.无电场时 热运动—杂乱排列—宏观呈电中性
有极分子 无极分子
2. 有电场时 电介质发生极化—宏观呈电性
有极分子介质 取向极化 无极分子介质 位移极化
均匀
－ － － ＋ ＋ ＋
E
均匀
－ － － ＋ ＋ ＋
E
11
结论：极化的总效果是介质边缘出现电荷分布！
由于这些电荷仍束缚在每个分子中，所以称之 为束缚电荷或极化电荷。
Q ˆ E3 r 2 4 0 r 2 r
E4 Q 4 0 r
2
P3 0 r 2 1
Q ˆ r 2 4 0 r 2 r
r R2
真空中
ˆ r
P 0 4
30
2)求紧贴导体球表面处的极化电荷
ˆ Pn
Q
r R0
ˆ P n cos P 2
24
3）两种介质
P2n P1n
n
介质1
+ +
+ +
介质2
带电棒吸引轻小物体的解释：轻小物体， 如纸片在带电棒的场中发生极化，两端出 现两种极化电荷，正负电荷都受到电场力， 但距离近处场强大，电荷受力大，合力向 棒，故会被吸引。
5.自由电荷与极化电荷共同产生的场
外场为 E0 自由电 荷产生），使介 质极化出现极化 电荷，极化电荷 产生电场 E ，则 介质内合场强为
第3章 静电场中的电介质
1
第3章 静电场中的电介质
目 §1 概述 §2 偶极子 §3 电介质的极化 §4 极化电荷 录
§5 有电介质时的高斯定理
§6 有介质时的静电场方程
§7 电场的能量
2
§1 概 述
真空中
库仑定律 迭加原理 基本规律{
L E
dL = 0
s E ds =
q
ε
0
导体中 导体感应电荷，感应电场又反过来影响 原电场，静电平衡。
电介质 电介质是绝缘体，不导电物体，在电场 中怎样？
深入到介质内部，许多物理量都涉及到微观值和宏观值的
问题。宏观试验测量的是物理量的宏观值，宏观值是微观值在 物理无限小体积中的平均值。
3
§2、偶极子
一、重心模型
电介质是由中性分子构成的，所谓中性，是分 子正负电荷的代数和为零，而不是没有带电粒子。 由于分子内在力（原子核力等）的约束，电介质分 子中的带电粒子不能发生宏观的位移，这些带电粒 子称为束缚电荷。 “重心模型” ——当场点与分子的距离远大于 分子的线度时，可以认为分子中所有正电荷和所有 负电荷分别集中于两个几何点，这两个几何点分别 叫正、负电荷的“重心”（两个重心不一定重合）。
r
P E
E
r
2p 连线上的场： E 3 4 0 r q
l
r
q
p 中垂线上的场： E 3 4 0 r
6
三、 偶极子在外电场中所受的力矩
外场是指除偶极子的电荷以外的所有电荷激发的电场。
1）先讨论均匀外电场的情形
如图，偶极子的两个点电 荷受到的电场力等值反向， F 整个偶极子受到的合外力 为零。但两个力的作用线 不重合，偶极子将受到一 个力偶矩，其大小为
dS
dq P dS -P dS n
面内
2.在S所围的体积内的极化电荷 q 与 P 的关系
q P dS
S
问题：
面元的法 线方向是 如何规定 的？ 19
3.极化电荷体密度 S面包围的体积无限小时， 该点的极化电荷体密度为：
PdS V
束缚电荷
共同产生
27
0
'
0 单独产生的场强为 E0 0
单独产生的场强为 E 0
0 0
E0
0 (1) E E0 E 0 o
E
Pn 0 ( r 1) E (2)
介质与真空交界处极化电荷
由公式
' P2 n P2n
r R2
r1
R2
0
P
P3n
'
Q 0 r 2 1 2 4 0 r 2 R2
介质真空界面总电荷
r2
^ n
Npi 4、介质均匀极化，分子数密度为n，则 P V npi
三、极化强度与场强的关系
1、各向同性介质
实验显示：
P 0 E
13
反映电介质每点的宏观性质，叫极化率；写为
r 1 ，其中 r叫做相对介电常数。
各向同性：指介质沿各方向的电学性质相 同，即外场沿不同方向作用时极化状态相 同：A、极化程度相同，B、极化方向沿外 电场方向。 如果每点的 与 E 无关，则称为各向同性 的线性电介质。各点的 相同的电介质称 为均匀电介质。 我们研究的均为各向同性的线性电介质。