2015高考理科数学《空间几何体的结构》练习题

2015高考理科数学《空间几何体的结构》练习题

[A组基础演练·能力提升]

一、选择题

1．(2014年临沂模拟)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )

解析：由题意知应为D.

答案：D

2.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

解析：根据斜二测画法知△ABC为直角三角形，B正确．

答案：B

3．(2013年高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )

A.

3

2

B．1 C.

2＋1

2

D. 2

解析：由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD1B1，正视图的方向垂直于面A1C1CA，且正视图是长为2，宽为1的矩形，故正视图的面积为2，因此选D.

答案：D

4.(2014年江西九校联考)如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA

＝VC，已知其正视图的面积为2

3

，则其俯视图的面积为( )

A.

3

2

B.

3

3

C.

3

4

D.

3

6

解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，设底面边长为2a，高

VO＝h，则△VAC的面积为1

2

×2a×h＝ah＝

2

3

.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高

OB＝3a，所以侧视图的面积为1

2

OB·VO＝

1

2

×3a×h＝

3

2

ah＝

3

2

×

2

3

＝

3

3

答案：B

5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )

解析：由正视图和侧视图可知，该长方体挖掉一个小长方体后，相应位置在俯视图中应为左下角位置，且可看见轮廓线，故选C.

答案：C

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6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：

①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；

③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为62.

其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．②③④⑤ C ．①③④⑤

D ．①②④⑤

解析：四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立，当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，②④成立，四边形BFD 1E 在底面的投影恒为正方形ABCD .当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为

62

. 答案：B 二、填空题

7.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm 2.

解析：构造一个边长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在此正方体中作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为

2 2 cm ，高为2 cm 的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 2 cm 2.

答案：2 2

8．(2014年东北三校联考)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．

解析：依题意得，几何体的侧视图的面积等于22＋1

2

×2×3＝4＋ 3.

答案：4＋ 3

9．如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．

解析：根据题意可知，几何体的最底层有4块长方体，第2层有1块长方体，一共5块．

答案：5

三、解答题

10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

解析：图①几何体的三视图为：

图②所示的几何体是上面为正六棱柱，

下面为倒立的正六棱锥的组合体．

11．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去

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的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．

解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为1∶16，设半径分别为r 、4r .

设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r 、4r .根据相似三角形的性质得

33＋l

＝r

4r

，解得l ＝9.所以，圆台的母线长为9 cm 12.(能力提升)已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解析：(1)如图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中

VA ＝

42

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫23×3

2×232

＝23，

∴S △VB C

＝1

2

×2

3×23＝6.

[B 组 因材施教·备选练习]

1.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )