专升本第五章 定积分
专升本高数定积分的应用PPT课件
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
高等数学第五章定积分总结
高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念，是无穷积分的一种形式，并在多个领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用。
首先，本章介绍了定积分的概念和定义。
定积分是一个数值，表示在给定的区间上，函数曲线与x轴之间的面积。
定积分可以分为两个部分：积分号和被积函数。
积分号表示积分的区间，被积函数表示要求积分的函数。
定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行，具体方法和结论有不少。
其次，本章介绍了定积分的性质。
定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。
线性性质表示定积分可以进行加减运算，并且可以乘以一个常数。
区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间，进行分段积分。
保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0，那么该区间上的定积分也大于等于0。
这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。
然后，本章介绍了定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。
通过求解原函数，并利用牛顿-莱布尼茨公式，可以简化计算过程。
本章还介绍了定积分的几何意义，即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。
最后，本章介绍了定积分的应用。
定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题；通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题；通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。
这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上，对于深入理解和运用定积分具有重要意义。
总之，定积分是微积分中的重要概念，不仅具有丰富的理论性质，还有着广泛的应用价值。
通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识，为解决实际问题提供更有效的数学工具。
专升本《高等数学》备考冲刺-定积分及重积分的方法与技巧
3 2 . 16
解法 2
1 arcsin x
1 2
x1 xdx
x sin 2 u
2
u
2sin u cos sin u cos u
udu
u
2
4
2 4
3 2 .
16
小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积
分换元 x t时还应注意：
（1） x t应为区间 , 上的单值且有连续导数的函数；
1
2
sin 2
x sin x cos x cos2
x dx
1.
20
4
（2） I
cos6 x
2
2
1
e
x
dx.
x
u
2 2
cos6 u
1 eu
du
cos6 x
2
2
1
ex
dx
I
1 2
2 2
e x cos6 1 ex
x
dx
2 2
cos6 x 1 ex
dx
1
小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。 积分区间为[0，a]时，设 x a u ;积分区间为[-a,a]时，设 x u 。可使新的积分 区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。
（2）利用例 10.6(2)中同样的方法易得
2 0
f
gsin x sin x f cos
原式
2n
sin 6 xdx
0
2n
2
sin
6
xdx
2
4n
2 sin 6
0
xdx
专升本高数5定积分
φ( x )
a
φ( x )
f (t ) d t ）
例2 求下列函数的导数：
b （） （x） a cos 2t 2 d t； 2 Φ x） x 1 Φ （） （
x
1 1 t3
dt
（3 Φ x） a x sin t 2 d t ）（
解 （） （x） cos 2t 2 1 Φ'
f x dx A .
3.若 f ( x ) 0 ， f ( x ) 0 时： 在区间[a,b]上，若 f ( x ) 有正有负时，则
b
b a
f x dx 在几何
上表示曲线 y f ( x ) 在 x 轴上方部分和 x 轴下方部分面积的代 数和.如图 7.1.3 所示，有 a f x dx = A2 A1 A3 .
b a x a
f (t )dt C (a x b) .
a a
将 x a, x b 分别代入上式，相减得
f (t )dt f (t )dt
b a
f (t )dt
再把积分变量 t 换成 x ,得
b a
f ( x)dx F (b) F (a ) .
归纳：上式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分基本 公式.该公式揭示了定积分与原函数（或不定积分）之间的联 系,它把定积分问题转化为求原函数（或不定积分）的问题,从 而给定积分计算找到了一条捷径,它是整个积分学最重要的公 式之一.为了方便常采用下面的格式:
由定理 1 知道 ( x)
f (t )dt 是 f ( x ) 在[a,b]
上的一个原函数,又由题设知 F ( x ) 是 f ( x ) 在[a,b]上的一个 原函数,由原函数性质知,同一函数的两个不同原函数只相 差一个常数,即 F ( x)
浙江专升本高数错误解析第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。
复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。
一、知识网络定积分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧Γ⎪⎩⎪⎨⎧-函数审敛法和计算定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧）（变力作功等其它弧长体积面积微元法二、典型例题例1 . 求极限 xx dtxt xx 2sin )sin(lim2302⎰→。
[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。
[解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2〜2)2(x ，4sin x 〜4x ，)0(→x ，因此再利用洛必达法则有原式=23020)2(sin 1lim2x x dx u x x x ⎰→=540602024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=⎰ =12112lim440=→x x x例2. 求极限 nn n n n n)2()2)(1(1lim⋅⋅⋅++∞→.[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和式∑=∆ni iixf 1)(ξ。
[解] 令 nn n n n n x )2()2)(1(1⋅⋅⋅++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1ln -+⋅⋅⋅++++==]ln )2ln()2ln()1[ln(1n n n n n n -⋅⋅⋅++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1nn n n n ++⋅⋅⋅++++ 因此 ⎰+=∞→1)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-所以 原式=ee 412ln 2=-例3．设)(x f 在[]b a ,上连续，B b a A <<<,求证 ⎰-=-+→ba h a fb f dx h x f h x f )()()()(lim0.[证明1] ⎰⎰⎰-+=-+b a bab a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′令 u h x =+，则⎰⎰++=+hb ha badu u f dx h x f )()(从而⎰⎰⎰-=-+++babah b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(=⎰⎰++-ha ah b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim0b f dx x f h h b b h =⎰+→ )()(1lim 0a f dx x f h ha a h =⎰+→故原题得证.[证明2] 由证明1可知⎰⎰⎰-=-+++→→babahb ha h h hdxx f dx x f dx hx f h x f )()(lim )()(lim 00=)]()([lim 0h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -例4．设)(x f 在[a ，b ]上连续，试证⎰≤≤+∞→=1101)(max ))((lim x f dx x f x ppp[证明] 记A x f x =≤≤)(max 10 ，由连续性可知，存在 ],[0b a x ∈，使 )(x f A =.当0>p 时 ⎰⎰=≥1111)())((A dx A dx x f pp pp对0>∀ε，选取0>δ，使得当 δ<-<00x x 时，有 2)(ε-≥A x f设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ则 ⎰⎰≥111))(())((βαppppdx x f dx x f⎰-≥βαεppdx A 1])2([=pA 1))(2(αβε--因为 当 +∞→p 时,1)(1→-pαβ,故当p 充分大时有 ⎰-=--≥112)2())((εεεA A dx x f pp因此当 p 充分大时有 A dx x f A pp≤≤-⎰11))((ε由ε的任意性知 ⎰=+∞→11))((lim A dx x f ppp例5. 计算⎰+-1arctandx xa xa [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 xa xa t +-=arctan则 t a tta x 2cos tan 1tan 122=+-⋅=, 故 原式=⎰04)2cos (πt a td =t at 2cos │04π+dt t a ⎰402cos π=2a [解法2] 令 t x cos = 原式=2cos 2cos 2cos 2020202a dt t a t t a t d t =-⋅=⎰⎰πππ [解法3] 记 xa xa x +-=)(ω ,分部积分得 原式=⎰+-+-aadx x a axx x 0220)(22111)(arctan ωωω =⎰-adx x a x 0222=2a 例6.计算 ⎰+102)1(dx x xe x[分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.[解法1] 原式=⎰⎰++++-=+-1010101111dx xxe e x xe x dxe x x x x=12210-=+-⎰e dx e e x [解法2] 原式=⎰+-+102)1()11(dx x e x x=⎰⎰+-+10210)1(1dx x e dx x e xx =⎰⎰+-+10102)1(11dx x e de x x x=-+11x e x⎰+102)1(dx x e x +⎰+102)1(dx x e x=12-e例7.证明柯西积分不等式，若)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积，则有⎰⎰⎰≤bab abadx x g dx x f dx x g x f ])(][)([])()([2[分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用，证明方法也类似. [证明] 对任意的实数λ有⎰⎰⎰+=+bababadx x g x f dx x gdx x g x f )()(2)()]()([222λλλ+0)(2≥⎰badx x f上式右端是λ的非负的二次三项式,则其判别式非正,即0])(][)([])()([222≤-⎰⎰⎰babab adx x g dx x f dx x g x f故原式得证 例8.设)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积,试证212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababadx x g dx x f dx x g x f[证明]⎰+badx x g x f 2)]()([=⎰++ba dx x g x f x g x f )]()()][()([=⎰⎰+++babadx x g x f x g dx x g x f x f )]()()[()]()()[(212212]))()(([])([⎰⎰+⋅≤babadx x g x f dx x f212212]))()(([])([⎰⎰+⋅+babadx x g x f dx x g (柯西不等式)=]))(())([(]))()(([212212212⎰⎰⎰++bababadx x g dx x f dx x g x f故 212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababa dx x g dx x f dx x g x f例9．证明0sin 202>⎰πdx x[证明] 令 u x =2⎰⎰=ππ20202sin 21sin du uudx x ]sin sin [2120⎰⎰+=πππdu uu du u u（第二个积分中令 t u ==π）]sin sin [2100⎰⎰++=πππdt t t du u u⎰+-=ππ0sin )11(21udu u u 当 π<<u 0 时，0sin )11(>+-u u u π故 0sin 202>⎰πdx x例10．设)(x f 在 [0，a ] 上连续,且0)0(=f , )(max 0x f M ax ≤≤= ,证明2)(2Ma dx x f a≤⎰[分析] 应该先建立)(x f 与f ´)(x 之间的关系，然后再“放大”估值，拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系. [证明1] 由0)0(=f 和微分中值定理有f f x f +=)0()(´f x =)(ξ´x )(ξ, ),0(x ∈ξ. 故22)()()(a M xdx M xdx f xdx f dx x f aa aa=≤≤'=⎰⎰⎰⎰ξξ [证明2] 由0)0(=f 和牛顿—莱布尼茨公式有)()0()()(0x f f x f dt t f a=-='⎰,于是 Mx Mdt dt t f dt t f x f xx x=≤'≤'=⎰⎰⎰)()()(,故 22)()(a M Mxdx dx x f dx x f aaa=≤≤⎰⎰⎰.例11. 设函数)(x f 在 [0, π]上上连续,且0)(0=⎰πdx x f ,0cos )(0=⎰πxdx x f 。
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
山东专升本高等数学思维导图
第五章 定积分
高等数学
第六章 常微分方程
基本概念
定义 阶数 次数
解
通解 特解
一阶微分方程
求解微分方程
高阶微分方程
可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
可降阶的高阶微分方程
二阶常系数线性微分方程
齐次 非齐次
y^(n)=f(x) 不显含y：y′′=f(x,y′） 不显含x：y′′=f(y,y′)
定义 几何意义 基本微分公式 基本微分法则 复合函数的微分法则
导数 微分
第二章 导数、微分
费马定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理 洛必达法则求极限
判别函数的单调性
求函数的极值
求函数的最值
判别函数的凹凸性、求函数的拐点
水平渐近线
垂直渐近线
求函数的渐近线
斜渐近线
微中值定理 导数的应用
第三章 微分中值定理、导数的应用
第一类换元法 第二类换元法
分部积分 有理函数的积分
定义 性质 基本积分公式
计算不定积分
第四章 不定积分
求平面图形的面积
旋转体的体积 平行截面面积已知的立体的体积
求体积
求曲边梯形的面积 定积分的定义
定积分的几何意义 定积分的性质 变限积分函数
牛顿-莱布尼兹公式 计算定积分 广义积分 定积分证明
定积分的应用
齐次 非齐次
第七章 向量代数空解析几何
向量代数 空间解析几何
基本概念 线性运算 坐标表示的线性运算 向量的模 方向角与方向余弦 数量积 向量积
平面方程
直线方程
点法式方程 一般式方程 一般方程 对称式（点向式）方程 Subtopic 3
第八章 多元函数微积分学
专升本定积分题
专升本定积分题
当涉及到专升本定积分题时，在数学中有许多不同类型的问题和例题可以考虑。
以下是一个定积分的例题示例：
题目：计算定积分 $\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx$。
解答：要计算这个定积分，我们可以使用不定积分的方法来求解。
首先，我们求出原函数：
$F(x) = \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C$
然后，根据定积分的性质，我们可以将积分上下限代入原函数，得到：
$\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \left[\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\right]_{0}^{1}$
将上下限代入，得到：
$\left(\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + 1\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + 0\right)$
化简这个表达式，得到最终结果：
$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 - 0 = \frac{17}{6}$
因此，定积分$\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) \, dx$ 的结果为$\frac{17}{6}$。
通过这个例题，你可以应用定积分的概念和性质，使用不定积分的方法求解定积分，并得到最终的结果。
记得在计算过程中仔细处理上下限的代入，并化简表达式，以获得正确的答案。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 背景介绍浙江省专升本高等数学考试是一项重要的考试，其中定积分是考试中的一个重要内容。
定积分作为微积分的重要概念之一，在数学学科中具有重要的地位和作用。
在浙江省专升本高等数学考试中，定积分部分的内容涉及到定积分的概念、性质、计算方法以及应用，考生需要对这些内容进行深入的理解和掌握。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积和”的概念，表示函数在这个区间上的总体积或总面积。
定积分具有线性性、区间可加性、保号性等性质，这些性质在计算和应用中起着重要的作用。
定积分的计算方法包括基本积分法、换元积分法、分部积分法等，考生需要熟练掌握这些方法来解决各种定积分计算问题。
在浙江省专升本高等数学考试中，定积分通常涉及到曲线下面积、物体体积、平均值等应用问题，考生需要将数学知识与实际问题相结合，灵活运用定积分概念和方法来解决这些应用问题。
定积分在浙江省专升本高等数学考试中是一个重要的内容，考生需要认真学习和掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用，以便在考试中取得好成绩。
【字数要求：200】1.2 问题提出在专升本高等数学考试中，定积分是一个重要的内容，涉及到很多基本概念和计算方法。
针对定积分这一内容，总结出相关的问题并进行分析，有助于更好地理解和掌握这部分知识。
在学习定积分时，很多同学会遇到一些共同的问题，比如不清楚定积分的概念是什么，定积分具体包括哪些性质，如何进行计算等等。
这些问题可能会导致学习进度缓慢，影响对定积分知识的掌握和应用。
在专升本高等数学考试中，定积分这一部分内容的问题非常关键。
通过对这些问题的深入剖析和解答，可以帮助考生更加全面地了解定积分的相关知识，提高解题能力和应试水平。
只有明确问题，才能有针对性地进行学习和复习，更好地备战考试。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积量”的度量。
(专升本内容)定积分及其应用
b
b
b
f ∈ R[a, b], g ∉ R[a, b] ⇒ f ± g ∉ R[a, b]
性质2 性质 性质3 性质 性质4 性质
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
b
b
(k 为常数 为常数)
b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
b
c
f ( x )dx
二、定积分的应用
理
名 称 释 译 微 元 法
论
依
据
的 特 点 所 求 量
1、理论依据
设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 则它的变上限积分 U ( x) =
x ∫a
f (t )dt
(1)
是 f ( x) 的一个原函数 即 dU ( x) = f ( x)dx, ,
b b 于是 ∫a f ( x)dx = ∫a dU = U (2) 这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的定积分 .
b c
b
b
b
b−ε
f ( x)dx
b
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx+ ∫c
= lim ∫a
ε →+0
c−ε b
f ( x)dx
f ( x)dx+ lim ∫c+ε′ f ( x)dx
ε ′→+0
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 收敛 称广义积分发散 发散. 时，称广义积分发散
b a b a
（2）分部积分法 ）
∫
b
a
udv = [uv ] − ∫ vdu
7、常用的积分等式： 、常用的积分等式：
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 考试背景浙江省专升本高等数学考试是为了选拔适合升入本科阶段学习的学生而设立的考试。
这项考试的背景是为了帮助那些想要进入大学深造但没有本科学历的学生实现自己的梦想，为他们提供一个接受高等教育的机会。
通过考试，学生可以证明自己在数学领域的能力，为自己的学业之路打下坚实的基础。
1.2 考试目的考试目的是通过对学生对定积分相关知识的掌握情况进行考核，评判学生在高等数学领域的学习成果和能力水平。
通过考试可以促使学生深入学习定积分的概念、性质和计算方法，提高他们的数学分析和解决问题的能力。
考试目的还包括检验学生在解题时的灵活运用能力，培养他们的数学思维和创新意识。
定积分部分的考试目的是为了帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是反常积分的基础，也是微积分的一个重要分支。
在数学上，定积分是对一个函数在一个区间上的积分，表示函数在该区间上的总体积或总面积。
定积分的概念最初由牛顿和莱布尼兹提出，是微积分的基础之一。
在几何学中，定积分可以用来求解曲线下面积、曲线长度、曲面面积及体积等问题。
在物理学中，定积分可以用来表示质点的位移、速度、加速度以及作用力等物理量。
在工程学中，定积分可以用来描述电磁场分布、液体流动、结构力学等问题。
数学家们通过严谨的数学推导和定义，将定积分的概念完善并系统化。
对于一般函数，可以用黎曼和来定义定积分，而对于特殊的函数，可以使用其他方法如变限积分、广义积分等来求解定积分。
定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用领域，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在专升本高等数学考试中，对定积分的掌握非常重要，考生需要深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能灵活运用定积分解决实际问题。
2.2 定积分的性质定积分是微积分中的重要概念，具有许多特殊的性质。
河南省高等数学专升本教材
河南省高等数学专升本教材高等数学专升本教材高等数学是大学数学基础课程之一，旨在为学生提供扎实的数学理论基础和解决实际问题的数学方法。
本教材将全面介绍河南省高等数学专升本教学内容，帮助学生系统学习和掌握高等数学知识。
第一章函数与极限1.1 函数概念1.2 函数的表示与性质1.3 极限的定义与性质第二章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与应用2.3 微分学基本定理第三章微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理3.2 高阶导数与泰勒展开式3.3 函数的单调性与曲线图像第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与计算4.2 定积分的概念与性质4.3 微积分基本定理与定积分的应用第五章多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的导数第六章重积分与曲线曲面积分6.1 二重积分的概念与计算6.2 三重积分的概念与计算6.3 曲线曲面积分的基本概念与计算第七章微分方程7.1 常微分方程的基本概念7.2 一阶常微分方程的解法7.3 高阶常微分方程的解法第八章线性代数8.1 行列式与矩阵8.2 线性方程组与矩阵的运算8.3 特征值与特征向量第九章概率与数理统计9.1 概率基本概念与计算9.2 随机变量与概率分布9.3 统计基本概念与参数估计第十章傅里叶级数与变换10.1 傅里叶级数的基本概念10.2 傅里叶变换的基本概念与性质10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换以上是河南省高等数学专升本教材的内容大纲，通过系统的学习和掌握，学生将能够在高等数学领域应用数学理论解决问题。
本教材旨在帮助学生全面理解和掌握高等数学的基本概念、定理和方法，为进一步学习更高层次的数学和应用数学打下坚实的基础。
5专升本定积分的应用
(1)若固定成本 C0 1（万元），求总成本函数、 总收益函数和总利润函数 (2)当产量由1百台增加到5百台时，求总成本与 总收益的增量
(3)产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？
2010-3-15 23
解 (1)总成本函数
1 C ( x) C ( x)dx C0 (3 x)dx 1 0 0 3 1 2 1 3x x 6 总收益函数 x x 1 R( x) R( x)dx (7 x)dx 7 x x 2 0 0 2 当产量为0，总收益为0时
而成的旋转体 (旋转椭球体) 的体积. 解 由对称性知，所求体积为：
b2 2 2 ( a x ) dx 2 a
3
V x 2 y dx 2
2 0
a
a
0
b 2 2 a
b
2
2 x a 4 2 ab a x 3 0 3
2
O
y
b
4 3 a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积: V a 3 2010-3-15
(8 , 4 )
解 所求面积为:
4
8
S x 2
2
2
0
2 xdx [ 2 x ( x 4)]dx -2 2
1 2
o
2
( 2, 2 )
8
x
y2 2x
1 8 1 8 2 (2 x ) d (2x ) (2 x ) d (2x ) ( x 4)dx 0 2 2 2 3 3 2 8 8 2 1 1 28 2 2 (2 x ) (2 x ) x 4x 0 2 2 2 3 3 2
a
2010-3-15
专升本《高等数学(一)》课程考试大纲
专升本《高等数学（一）》课程考试大纲一、考试对象参加专升本考试的各工科专业专科学生。
二、考试目的《高等数学（一）》课程考试旨在考核学生对本课程知识的掌握和运用能力，包括必要的高等数学基础知识和基本技能，一定的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力，比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力等。
三、考试的内容要求第一章 函数、极限与连续1. 函数（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2．数列与函数的极限（1）理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，了解极限的性质与极限存在的两个准则。
（2）掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
３．无穷小与无穷大（1）理解无穷小的概念，掌握无穷小的基本性质和比较方法。
（2）了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
４．函数的连续性（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（2）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。
第二章 导数与微分1．导数概念理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。
2．函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法，了解对数求导法。
3．高阶导数理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．函数的微分理解微分的概念，掌握导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章 微分中值定理与导数的应用1．微分中值定理理解罗尔定理和拉格朗日中值定理及其简单应用。
2．洛必达法则掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
专升本高等数学课程考试大纲-湖南工程学院教务处
专升本《高等数学（一）》课程考试大纲一、考试对象参加专升本考试的各工科专业专科学生。
二、考试目的《高等数学（一）》课程考试旨在考核学生对本课程知识的掌握和运用能力，包括必要的高等数学基础知识和基本技能，一定的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力，比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力等。
三、考试的内容要求第一章 函数、极限与连续1. 函数（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2．数列与函数的极限（1）理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，了解极限的性质与极限存在的两个准则。
（2）掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
３．无穷小与无穷大（1）理解无穷小的概念，掌握无穷小的基本性质和比较方法。
（2）了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
４．函数的连续性（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（2）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。
第二章 导数与微分1．导数概念理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。
2．函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法，了解对数求导法。
3．高阶导数理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．函数的微分理解微分的概念，掌握导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章 微分中值定理与导数的应用1．微分中值定理理解罗尔定理和拉格朗日中值定理及其简单应用。
2．洛必达法则掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
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第五章 定积分【知识点1定积分的相关概念】1.定义1()lim ()nbi iai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰，其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．说明：定积分的值是常数，只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰．2．定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．（2）设()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．注意：函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．3．定积分的几何意义由曲线()yf x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积记做A ．在区间[,]a b 上()0f x ≥时，()baf x dx A =⎰ 在区间[,]a b 上()0f x ≤时，()ba f x dx A =-⎰在区间[,]a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，()baf x dx =⎰上-下1.（2010）0=⎰（ ）2.（2019）0=⎰（ ）【知识点2定积分的性质】性质1．当ab =时，()0baf x dx =⎰．性质2．当ab >时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰．性质3[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．． 说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 是常数）． 性质5．()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则 1b baadx dx b a ==-⎰⎰．性质7．如果在区间[,]a b 上()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰（a b <）． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则()()bba af x dxg x dx ≥⎰⎰ （a b <）． 推论（2）：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ （a b <）．性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （a b <）． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）．说明：该公式称为积分中值公式，1()()ba f f x dxb aξ=-⎰称为函数()f x 在区间[,]a b 上的平均值．1.（2016）设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1122()(0)f x dx f =⎰，证明：存在(0,1),()0f ξξ'∈=使得。
2.（2019）定积分021x dx -+⎰的值为（ ）3.（2019）设()f x 连续，且1100()2(),()=f x x f x dx f x dx =+⎰⎰则（ ）【知识点3积分上限函数及其导数】1．积分上限函数的定义()()xax f t dt Φ=⎰ （a x b ≤≤）2．积分上限函数的导数定理2：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则函数()()xax f t dt Φ=⎰就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数．积分上限函数的导数：()()()xa d x f t dt f x dx 'Φ==⎰()()()axd x f t dt f x dx 'Φ==-⎰()()()[()]()x ad x f t dt f x x dx ϕϕϕ''Φ==⎰()()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ'''Φ==-⎰1.（2005）已知0sin ,0(),0x tdtx f x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ （1）()f x 在0x =处连续，求a ； （2）求()f x ' 2.（2005）已知2arctan 0()xt y f x y e dt -==⎰与在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求出2lim n nf n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭。
3.（2006）设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰，求0()lim ()x f x g x →。
4.（2009）设20()ln 1,()xf t dt x x f x =+-=⎰则（ ）5.（2010）设2(),()x t x e dt x ϕϕ-'=⎰则等于（ ）6.（2011）已知()f x 为连续的奇函数，证明()xf t dt ⎰为偶函数。
7.（2013）设()f x 为连续函数，则21()x d f t dt dx -=⎰（ ） A 2()f x B 22()xf x C 2()f x - D 22()xf x - 8.（2013）设111()(0),()().1xf x dt x f x f t x=>-+⎰求 9.（2013）证明2220()(,)xx t f x xee dt =-∞+∞⎰在上为偶函数。
10.（2014）若()f x 连续，且20()2(),().xf x f t dt x f x +=⎰求11.（2015）设30(),()xx f t dt a f x ==⎰则（ ）12.（2016）设()f x 是连续函数，则12()x d f t dt dx-=⎰（ ） A (2)f x B 2(2)f x C (2)f x - D 2(2)f x - 13.（2017）若连续函数()f x 满足21(),(7)x f t dt x f -==⎰则（ ）14.（2019）设ln 20(),()xx t dt x ϕϕ'==⎰则（ ）15.（2019）设函数01sin 2,0(),0xtdt x f x xt a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =（ ）； 【知识点4牛顿——莱布尼茨公式】定理3：如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．【知识点5定积分的换元法和分部积分法】1．定积分的换元法注意：换元必换限2．定积分的分部积分法[]bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰ ．3．定积分的两个简便公式（1）若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰．（2）设220sin cos n n n I xdx xdx ππ==⎰⎰，则当n 为正偶数时，13312422n n n I n n π--=⋅⋅⋅⋅⋅- ； 当n 为大于1的正奇数时，1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- ． 1.（2005）31231(sin )x x x e dx -+=⎰（ ）2.（2005）求定积分222sin 4cos d ππθθθ--⎰。
3.（2006）积分211xxe dx e --=-⎰（ ） 4.（2006）求定积分1xx e e dx +⎰。
5.（2007）积分1e=⎰（ ）6.（2007）求定积分0xdx 。
7.（2008）求定积分20sin x xdx π⎰。
8.（2009）求定积分101x x dx e e -+⎰。
9（2010）定积分22cos x xdx -⎰等于（ ）10.（2010）求定积分1ln ex xdx ⎰。
11.（2011）求定积分12arcsin xdx ⎰。
12.（2019）求定积分cos xdx π=⎰（ ）【知识点6无穷限的广义积分】1．函数在无穷区间上的反常积分（1）()lim ()t aat f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰ 极限存在，称反常积分()af x dx +∞⎰收敛；极限不存在，称为反常积分()af x dx +∞⎰发散，（2）()lim ()bbt t f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰ （3）()()()f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰等式右端两个反常积分都收敛，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则发散。
2.[]()())()a a f x dx F x F a +∞+∞=-⎰；[]()()()bbf x dx F x F x -∞-∞→-∞=⎰；[]()()()lim ()x f x dx F x x F x +∞+∞-∞-∞→-∞=-⎰．说明：当()F -∞与()F +∞有一个不存在时，反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散．1.（2008）求广义积分2x xedx +∞-⎰2.（2015）广义积分20x e dx +∞-=⎰（ ）A 不存在B 12-C 12D 2 3.（2015）广义积分10100(0)p dx p x >⎰ 当（ ）是收敛，当（ ）时发散。
4.（2018）如果1lim ,()axa t x x te dt a x -∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰则。
5.（2019）无穷限积分x xe dx -∞=⎰（ ）【知识点7求平面图形的面积】1．X-型区域X -型区域是指：平面图形是由上下两条曲线()y f x =、()y g x =（()()f x g x ≥）及直线x a =、x b =所围成，面积计算公式为[()()]baA f x g x dx =-⎰．2．Y -型区域Y -型区域是指：平面图形是由左右两条曲线()x y φ=、()x y ϕ=（()()y y φϕ≥）及直线y c =、y d =所围成，面积计算公式为[()()]dcA y y dy φϕ=-⎰．1.（2005） 求由曲线1ln 0,y x y x x e e====与直线,所围平面图形的面积。