人教版高数必修一第12讲：幂函数(教师版)

幂函数
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1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y = x ，y =
， y =
， y =
，的图像，了解它们的变化情况.
2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.
一、定义：
一般地，我们把形如()a
y x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。

特别提醒：
幂函数的基本形式是 y = ，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握 y =x ，y = ，y = ，y =
，
y = 这五个常用幂函数的图象.
二、幂函数性质：
1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；
2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数
是奇数
（1）当a > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+∞) 上是增函数.（2）当a < 0 时，图象过定点(1,1)；在(0,+∞)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
三、如图,,,,,
a b c d e f的大小关系为：
a b c d e f
<<<<<
类型一幂函数的定义
例1：在函数y＝
1
x2
，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：显然，根据幂函数定义可知，只有y＝
1
x2
＝x－2是幂函数．
答案：B
练习1：有下列函数：
①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－
1
x
；④y＝
1
x
；⑤y＝；⑥y＝2x.
其中，是幂函数的有________(只填序号)．
答案：④⑤
练习2：函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3
B ．k ＝－2
C ．k ＝3或k ＝－2
D ．k ≠3且k ≠－2
答案: C
类型二 幂函数的图象和性质
例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q
的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0， ∴n <0，
当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1， ∴p >1,0<m <1,0<q <1；
x >1时，指数越大，图象越高，∴m >q ，
综上所述n <q <m <p . 答案：n <q <m <p .
练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点
⎝⎛⎭
⎫12，2，则k －α＝( ) A ．1
2
B ．1
C ．32
D ．2
答案：C
练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m
＋1
在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．6
D ．－1或
6
答案：B
类型三 函数值大小的比较
例3：比较下列各组数的大小
解析：(1)考察幂函数y ＝x 1.5
，在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)1.5
>a 1.5
.
(2)考察幂函数y ＝
，在区间[0，＋∞)上是单调减函数． ∵2＋a 2
≥2，∴
≤
.
答案:(1) (a ＋1)1.5
>a 1.5
.（2） ≤
.
练习1：下列关系中正确的是( )
A ．(12)23 <(15)2
3 <(12
)13
B ．(12)23 <(12)13 <(15
)2
3 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23
D ．(15)23 <(12)23 <(12
)13 答案: D
练习2：比较下列三个值的大小
，
，
； 答案：
> >
1、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±1
2四个值，相应于曲线C 1、C 2、
C 3、C 4的n 依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
答案：B
2、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)
C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数
D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D
3、函数y ＝1
2
x |的图象大致为( )
答案：C
4、设函数y ＝a x －
2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该
幂函数的单调递减区间是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)，(0，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
答案：C
5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． 答案: -1
6、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________.
答案: x 3
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基础巩固
1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )
A ．－1＜n ＜0＜m ＜1
B ．n ＜0＜m ＜1
C ．－1＜n ＜0，m ＜1
D ．n ＜－1，m ＞1
答案：B
2．函数y ＝x 3
与函数y ＝x 1
3
的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
答案：D
3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )
A ．x >22%
B ．x <22%
C ．x ＝22%
D ．x 的大小由第一年产量确定
答案：B
4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A ．12h
B ．4h
C ．3h
D ．2h 答案：C
5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )
答案: D
能力提升
6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2
的图象不过原点，则m 是__________．
答案：1或2
7．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________． 答案：a <1
8. 已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．
答案：(1)m ＝1.(2)m ＝－1.(3)m ＝－1±132
.(4)m ＝－1±2.
9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
答案：1.
10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。

答案：－1,3或1.
课程顾问签字： 教学主管签字：。