塑性力学05-球对称与轴对称问题

塑性力学05
第五章 球对称和轴对称的弹塑性问题 z
5-1 理想弹塑性材料的厚壁球壳
• 问题的描述与分析
问题: 内径为 a ,外径为 b 球,受 内压力 q ,求弹塑性极限荷载.
r
分析:很显然它的应力和位移
场是球对称的, 采用球坐标.
d
y
应力场:
1 2 0, 3 r 0
d
应变为
4)求解出口截面的拉拔应力为
r
|r r2
2
s
ln
r1 r2
s ln
A1 A2
那么拉拔力为
P
A2
A2
s
ln
A1 A2
5)定义截面减缩率为 R A1 A2 1 A2
A1
A1
可以求得拉拔时最 大减缩率.
因为材料是理想弹塑性, 出口截面处的拉拔应力不能超过屈
服应力,
所以有
s
ln
A1 A2
s
这样得到 A1 e A2
qa3 b3 a3
r3 b3
2r3
qa3 b3 a3
2r3 b3
• 求弹性极限压力. 根据球壳的屈服条件(例2-3)即 r s
将上面的应力分量代入屈服条件得
r r3
a3q b3 a3
3b3 2
从上式可以看出在球壳内壁最先屈服, 令 r a 得到弹性
极限压力:
a2 b2
s
3
2)弹塑性状态 令 rs是弹塑性交界面的半径. 首先我们分析一
下在塑性区的应力分量的关系. 因为材料的不可压缩, m 0 ,又 因为的平面应变 z 0,这样根据简单加载的全量理论有
z
m
2 i 3i
z
m
0
因此得到
z
1 2
r
另外根据筒的受力性质知道 是拉应力, r 是压应力,所以应
x
1 2 0,3 r 0
显然 1
这就是说,在加载过程中 应力和应变主方向是重合的, 并保持 不变, 那么加载是简单加载, 适用全量理论.
• 球对称问题的平衡方程, 应变连续方程和边界条件
平衡方程为(不考虑体力): d r 2 r 0
dr
r
应变分量为
r
du , dr
qp
2 s
ln
b a
此时塑性区的应力为
r
2 s
ln
r b
s
1
2
ln
r b
5-2 棒材的拉拔加工
1)问题说明见图
2)假定条件
• 理想弹塑性
•无摩擦,接触面 是主平面
A1
r1
2
A2 o
dr r
r2
• 塑性变形向o点径 向流动,并且稳定.
3)可以看成球壳的一部分,全部进入塑性状态,可以利用上面解 球壳的思路. 平衡方程不变.屈服条件的形式不同, 因为在拉拔
u r
这里 u 是径向位移.
它们应满足应变连续性方程 d r 0
dr r
边界条件为 r |ra q, r |rb 0
1. 弹性状态
• 首先建立位移表示的平衡方程.
球体处于弹性状态, 根据广义Hooke定律
r
r
2
E
,
r
E
wk.baidu.com然后用应变表示应力得到:
r
1
E
1 2
1
r
2
1
E
1
2
r
把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:
力强度
i
3 2
r 2
3 2
r
根据塑性区是理想弹塑性所以Mises屈服条件有 r
2 3
s
平面轴对称问题的平衡方程为
d r r 0
dr
r
这样由屈服条件和平衡方程得到 d r
2 3
s
dr r
积分得到
r
2 3
s
ln
r
C
再由边界条件 r |ra q 得积分常数C
• 这样得到塑性区的应力:
r
a2 p1 b2 a2
1
b2 r2
,
a2 p1 b2 a2
1
b2 r2
,
z
1 2
r
应力强度为
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 那么根据Mises屈
服条件得到弹性极
即
i
3 2
r
3b2 q
b2 a2
1 r2
因此可见最大应力强度发生在内壁处.
限压力为:
qe
1
qe
2 s
b3 a3 3b3
从上式可以看出,当 b 时, qe 2 s / 3, 这说明如果使
球壳处于弹性工作状态, 那么无论壁厚增加多少也不能提
高它的承载能力.
2. 弹塑性状态
当压力 q qe 时,球壳内壁开始屈
服并向外扩展到半径 rs 处,如果材
料是理想弹塑性, 在塑性区应力仍
要满足平衡条件,此时考虑到屈服
情况, r 0, 0 , 屈服条件为 r s 代入平
衡方程得到
d r 2 s 0
dr r
解这个方程得到:
r 2 s ln r C
由进口截面处的边界条件 r |rr1 0 得积分常数为 C 2 s ln r1
解得应力分量为
r
2 s
ln
r1 r
,
s
2
ln
r1 r
1
那么最大减缩率为
Rmax
1
1 e
0.63
5-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒
问题的描述: 分析内径为 a ,外径为 b 的厚壁圆筒,在其内表面受 内压为 q .假定是不可压缩的理想弹塑性材料, 并限定为平面应
变问题.取柱坐标,使 z 轴与筒轴线重合.
1)弹性状态
• 弹性应力解为(由于材料不可压缩 1/ 2 ):
解中的 a rs , q qe 即可
r
2 srs3
3b3r 3
r3 b3
srs3
3b3r 3
2r3 b3
考虑到在交界面处 r 要连续, 所以得到 q 和 rs 的关系式.
q
2
3
s
3ln
rs a
1
rs3 b3
3. 塑性极限状态. 极限压力为
上式令 rs b , 球壳全部进入塑性得到塑性
d 2u dr 2
2 r
du dr
2u r2
0
• 解这个方程得 u Ar Br2 利用边界条件得到
1 2 qa3
21 qa3b3
A
, B
E b3 a3
E b3 a3
最后得到位移解为:
u
q1 1 2 a3
E b3 a3
r3
1
2b3
1 2
可以得到应力分量
r r3
条件 r s ,因此有
d r 2 s 0
dr r
积分得到 r 2 s ln r C
根据边界条件 r |ra q
得到积分常数 C q 2 s ln a
得到塑性区的应力为
r
2 s
ln
r a
q
s 1 2ln
r a
q
弹塑性交界面
q a rs b
塑性区
弹性区
弹性区的应力把前面的弹性
r q
2 3
s
ln
r a
q
2 3
s
1
ln
r a
z q
2 3
s
1 2
ln
r a
• 弹性区的应力,可以利用 弹性状态的解令 q qe, a rs
r
srs2
3b2
b2
r
2
1
r
srs2
3b2
b2 r2
1
z
srs2
3b2
• 交界面应力连续得到
q
2 s
3
ln