高中数学学修2-2 推理与证明导学案加课后作业及答案

2．1.1合情推理(一)

【学习要求】

1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．

2．了解归纳推理在数学发展中的作用．

【学法指导】

归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.

【知识要点】

1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________．

2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．

3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：

（1）归纳推理是从到的推理；

（2）由归纳推理得到的结论正确；

（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.

【问题探究】

探究点一归纳推理的定义

问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？

问题2在等差数列{a n}中：

a1＝a1＋0d，

a2＝a1＋d＝a1＋1d，

a3＝a2＋d＝a1＋2d，

a4＝a3＋d＝a1＋3d，

……

观察可得什么结论？

问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．

探究点二归纳推理的应用

例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n

1＋a n

(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．

（1）求a2，a3，a4，a5；

（2）归纳猜想通项公式a n.

例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．

跟踪训练2在平面内观察：

凸四边形有2条对角线，

凸五边形有5条对角线，

凸六边形有9条对角线，

…

由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？

例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则．

（1）1＝12，

1＋3＝22，

1＋3＋5＝32，

1＋3＋5＋7＝42，

1＋3＋5＋7＋9＝52，

……

（2）1＝12，

2＋3＋4＝32，

3＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，

……

跟踪训练3在△ABC中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C

≥

9

成立；在四边形ABCD中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D

≥

16

成立；在五边形ABCDE中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D＋

1

E

≥

25

3π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】

1．已知2＋

2

3＝2

2

3，3＋

3

8＝3

3

8，4＋

4

15＝4

4

15，…，若6＋

a

b＝6

a

b(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.

2．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

45 6

78910

1112131415

……………………

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1

a n

)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .

【课堂小结】

归纳推理的一般步骤

（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；

（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.

【课后作业】

一、基础过关

1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于

( )

A ．47

B ．65

C ．63

D ．128

2．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为

( )

A ．3

B ．－3

C ．6

D ．－6 3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于

( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111

A ．1 111 110

B ．1 111 111

C ．1 111 112

D ．1 111 113

4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．

试求第n 个正方形数是

( )

A ．n (n －1)

B ．n (n ＋1)

C ．n 2

D ．(n ＋1)2

5．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7

2，推测当n ≥2时，有________．

二、能力提升

6．设x ∈R ，且x ≠0，若x ＋x －

1＝3，猜想x 2n ＋x －2n (n ∈R *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．

8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．

9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题．

（1）按照要求填表：

（2）S 10＝________.(3)S n ＝10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，

可以推测：

（1）b 2 012是数列{a n }中的第______项； （2）b 2k －1＝________.(用k 表示)

11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1

S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达

式．