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权证定价理论模型及实证分析谌世光北京色诺芬信息服务有限公司摘要本文从理论上介绍了考虑摊薄效应、交易费用的权证定价模型，并分析了除权除息对权证定价的影响。

进一步，我们结合中国市场的实际情况，将定价模型应用于宝钢权证（580000）和长电权证的定价分析中，并对模型定价结果做了敏感性分析。

关键词：权证定价、摊薄效应、交易费用、除权除息、敏感性分析一、引言20XX年8月22日，宝钢权证（580000）正式发行上市，这标志着时隔11年之后，权证产品终于重返中国证券市场了！与此同时，权证定价问题也自然成为了关注的焦点。

虽然国外对于权证定价有了相当成熟的研究，但如何结合中国市场实际情况将其合理应用仍是一个只得探索的问题，这也是本工作的研究目的。

权证作为一种衍生金融证券产品，主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种避险工具，但同时也是一种投机工具。

权证的定价涉及因素很多，主要有：标的资产价格及其波动水平、无风险利率（可用一年期定期存款利率来近似）、权证存续期、权证行权价及行权比例、标的资产的分红信息、以及其他一些发行、交易的约束条款（如涨跌幅限制、交易费用等）。

权证本质意义上就是一个期权，因此它的定价可以借用期权定价的方法来完成。

针对期权定价方法的研究有很多，其中最有影响的还是Black-Scholes（1973）期权定价模型（以下简称B-S模型），它是过去的二、三十年里投资者在期权定价中最常用的定价模型，它也是本文对权证定价的理论基础。

B-S模型的思想精髓是无套利均衡定价理论，即假设标的资产价格未来分布已知的情况下，期权可以通过标的资产和无风险债券的组合动态复制，因此期权价格就等于动态复制所需的成本。

这里需要注意的三点，一是“复制”，即复制期权的投资组合在复制的有效期内应该与期权具有相同的现金流，否则就不能称为“复制”；二是“动态”，意思是由于标的资产价格是不断变化的，且期权价格是随着标的资产价格变化而变化的，因此需要不断地根据标的资产价格的变化来动态的调整投资组合的头寸，以达到“复制”的目的；三是“无套利”，它的含义是复制期权的投资组合的成本（即投资组合的价格）应该与期权价格相等，否则就可以通过“卖高买低”来进行无风险套利了。

虽然B-S模型因为其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单，使得它在实践应用方面被广泛采用，但由于模型本身提出了一些与实际交易环境不符的假设（其中重要一条是假设无交易费用），导致通过B-S模型计算出来的价格与实际市场价格存在不可忽视的差距。

另外，对于到期日通过发行新股来满足行权需求的权证（如长电权证），其定价过程中需要考虑行权时的摊薄效应，采用传统的B-S模型定价会高估权证的价值。

以上这些都需要对传统的B-S模型进行改进，使其更加贴切市场，满足权证定价的需求。

为此，我们首先介绍了考虑摊薄效应的权证定价理论模型，并借鉴了Leland（1985）的研究成果，在权证的定价中考虑了交易费用的影响。

然后，我们根据证交所的《权证管理暂行办法》中的规定，分析了现金分红、送股、配股对权证定价的影响。

实证分析中，我们将定价模型应用于宝钢权证（580000）和长电权证的定价分析中，并对模型定价结果做了敏感性分析。

最后，我们对定价模型的应用和分析给出了自己的理解和建议。

二、理论定价模型我们首先设定权证的初始定价参数为：初始总股本为N ，权证份数为aN （其中a 为权证配送比例），行权比例为k ，行权价格为X ，无风险利率为r ，股价回报波动率为S σ，t 时刻股价为t S ，保底价格为B ，期限为T 。

1、传统定价模型到期日投资者行权的条件为行权获得的收益要大于权证的保底价值，那么在不考虑摊薄效应、交易费用、分红除权等因素的情况下，行权条件可以表示为：()()0T T Bk S X B k S X k->⇒-->那么到期日权证的价值为：*max(,0)T T W k S X B =-+，*B X X k=+实际上，在到期日权证的价值就等于k 份行权价格为*X 的期权的价值再加上保底价值。

于是，根据B-S 定价公式，权证的理论价值公式为：*()()12()()r T t r T t t tW k S N d X e N d Be ----⎡⎤=-+⎣⎦ （1）其中，t W 为t 时刻权证理论价值，*X 为调整后的行权价格，1d 和2d 的计算公式如下：()2*1ln 2t S S r T t X d σ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪=21d d σ=-2．考虑摊薄效应对于到期日通过发行新股来满足行权需求的权证，传统的定价模型（见（1）式）就不适用了。

因为发行新股会产生摊薄效应，导致每股的真实价值下降，从而影响行权后实际获得收益。

假设到期日全部行权，则在行权后的上市公司权益总价值为：T V akNX +其中，T V 为行权前一刻的权益总价值（股票市值和权证市值之和）；akNX 为行权时投资者应付给上市公司的现金；以上两者之和构成了行权后上市公司的权益价值。

全部行权后，公司的总股本为：N aN +，则全部行权后公司的每股股价为：T V akNXN akN++则可得投资者全部行权的条件为：T V akNX k X B N akN +⎛⎫-> ⎪+⎝⎭因此，到期日权证的价值为：max ,01max ,01T T T V akNX B W k X BN akN k V k ak X B B ak N k +⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦+⎡⎤=--+⎢⎥+⎣⎦令*1akX X B k+=+，则有*max ,01T T V k W X B ak N ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭上式中，TT T T T T V V NS aNW S aW N=+⇒=+ 定义*T T T S S aW =+则有()**max ,01T T k W S X B ak=-++ 则()t T <时刻，权证的价值为上式在风险中性测度下的折现，即：()()**()max ,01r T t Q r T t t t k W e E S X Be ak----⎡⎤=-+⎣⎦+ 可见，权证的价值为1k ak+份标的为*t t t S S aW =+，执行价为*1ak X X B k +=+的欧式期权价值，再加上保底价格折现价值得到。

假设公司的权益价值服从几何布朗运动，其回报波动率为常数V σ，则其随机过程在风险中性概率测度下可表示为：***t t V t t t V t dV rV dt V dw dS rS dt S dw σσ=+⇒=+根据B S -公式，权证价值中的期权部分价值为：()()****()12max ,0()()11r T t Q r T t t t k k e E S X S N d X e N d ak ak----⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦++ 其中，()*2*1ln t V S r T t d σ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪=21V d d σ=-因此，权证的价值可以进一步表示为：**()()12()()1r T t r T t t t kW S N d X e N d Be ak----⎡⎤=-+⎣⎦+ （2）需要注意的是，1d 和2d 两计算表达式中的V σ为公司权益价值回报的波动率，它大于公司股价回报波动率S σ，但不能被直接观察到。

可以直接采用股价回报波动率S σ代替V σ，但这样将低估权证价值。

可以肯定V σ为S σ的函数，下面就试图找出V σ与S σ之间的函数关系。

首先定义股价股价S 对*S 的弹性系数为：**,**//S S S S S SS S S⨯∆∆Ω==∆ 其中，***,S S S S S S∆∂∆=→∆∂，反应了当*S 变动1元钱时，股价S 的变化。

根据弹性系数S Ω可以得到如下关系式：***,*,S S S S S V V V S S S SSS σσσσσ⨯∆=Ω⨯=⨯⇒=∆下面确定**,S S S S∂∆=∂。

根据*S S aW =+，可得：**,1S S Wa S ∂∆=-∂根据（2）式可以得到：1*()1W kN d S ak∂=∂+ 于是，***,11()1S S V S S SSS k S a N d ak σσσ==∆⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦这样就找到了V σ与S σ之间的函数关系，权证的价值可以通过求解下面这个非线性方程组来得到：**()()12*1()()11()1r T t r T t t tS t V t k W S N d X e N d Be ak S k S a N d ak σσ----⎧⎪⎪⎡⎤=-+⎣⎦⎪+⎪⎨⎪⎪=⎡⎤⎛⎫⎪- ⎪⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦⎩（3）其中，()*2*1ln t V S r T t d σ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪=21V d d σ=-Andrey D. Ukhov (20XX)证明了以上非线性方程组式有解的，并通过数值方法将其求解。

3．考虑交易费用影响 我们假设每1元成交金额的单向交易费用为c ，若α份资产以交易价格S 进行交易，那么资产的买方和卖方应支付的交易费用为：||2cS α。

根据Leland (1985)提出的比例交易费用期权定价模型，考虑交易费用的期权定价偏微分方程为：222202V V V S rS rV t S Sσ∂∂∂++-=∂∂∂ 其中，[]221()Le sign σσ=+⨯ΓLe =22VS∂Γ=∂由于对于普通欧式Call 期权，220VS ∂Γ=>∂，因此有：2221σσσ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦ 将Leland (1985)的考虑交易费用定价模型应用于前面的权证定价模型（3）求解中，可以得到改进后的权证定价非线性方程组为：**()()12*1()()11()1r T t r T t t tS t V t k W S N d X e N d Be ak S k S a N d ak σσ----⎧⎪⎪⎡⎤=-+⎣⎦⎪+⎪⎨⎪⎪=⎡⎤⎛⎫⎪- ⎪⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦⎩（4）其中，()*2*1ln 2t V V S r T t X d T tσσ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭=-21V d d T t σ=--221V V σσ⎡⎤⎫=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦同时可以计算出复制这个权证所需要总的交易费用为：21kak Λ≈+4．考虑除权除息影响下面接下来考虑离散现金分红、送股、配股分别对权证定价的影响，假设现金离散分红贴现为D ，送股比率为p ，配股比率为q ，配股价格为P S ，则除权除息后的参考价为：11P X S qS DS p q p q+=-++++则根据上证和深证的《权证管理暂行办法》（以后简称《办法》），除权除息后的行权价格为：1//11X P X S qS S D S X XX S p q p q ⎛⎫+==- ⎪++++⎝⎭由于《办法》中规定除息不改变行权比例，因此除权后的行权比例为：1/1X P kk qS S p q =⎛⎫+ ⎪++⎝⎭那么，基于权证定价模型（3），考虑了现金分红、送股、配股等因素后的权证定价模型为：**()(),,12,,*,1()()11()1r T t r T t X X t X tX X S X t X V X X t X k W S N d X e N d Be ak S k S a N d ak σσ----⎧⎪⎪⎡⎤=-+⎣⎦⎪+⎪⎪⎨⎪⎪=⎡⎤⎪⎛⎫-⎢⎥⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎣⎦⎩其中，()*2,,*1ln 2X t X V S r T t X d σ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪=21,X V d d σ=-*,,,X t X t X t S S aW =+*1XX X Xak X X B k +=+三、实证定价分析1、权证发行条款分析本文针对即将发行的长江电力权证和宝钢股份权证进行定价分析，首先需要了解它们的发行条款：1）长江电力权证：上市公司对全体股东每10股无偿派发1.5份欧式认购权证，除发起人股东以外的流通股股东获派的认股权证可以上市流通；权证的行权价格为5.50元／份，行权比例为1，存续期为自权证上市之日起18个月；在权证行权日，权证持有人有权以约定价格从上市公司购买股票，发行人通过增发新股来满足认购人的行权需求，若上市流通权证的持有人放弃行权，那么他们有权以每份1.8元的价格出售给三峡总公司。