第二类换元积分法分部积分法

t 上式中，均假设 a 0, 为各对应反三角函数的主值区间。
例1 求不定积分 4 x2 dx
解 令 x 2sin u, 则 dx 2cosudu
原式 2cosu 2cosudu 4cos2 udu
2
x
u
2 1 cos 2udu
2u sin 2u C
4 x2
辅助三角形
2 arcsin x x 4 x2 C
5
例2
dx
dx
d (x 1)
x2 2x 3
(x 1)2 2
(x 1)2 2
ln x 1 (x 1)2 2 C
例3
dx x2 2x 4
dx (x 1)2 3
d (x 1) (x 1)2 3
1 arctan x 1 C
3
3
例1 求不定积分
x 1dx x
解 令 u x 1, 则 x u2 1, dx 2udu
2x
4x2 3
u 3
1 ln 2x 4x2 3 C
23
3
辅助三角形
1 ln 2x 2
4x2 3 C1
C1
C
1 2
ln
3
dx
例4 求不定积分 (x2 1)2
解 令 x tan u, 则 dx sec2 udu
偶次方化倍角
原式
sec2 sec4
u u
du
1 sec2
原式
◆ 分部积分法
由 uv uv uv
得 uv uvdx uvdx uvdx 即 uvdx uv uvdx 或 udv uv vdu
分部积分公式 udv uv vdu
例1 求不定积分 x cos xdx
解 令 u x, dv cos xdx 则 du dx, v sin x
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形
ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
3u2 du 3 u 1
u
1
u
1
1
du
3 (3 u2 u ln u 1) C 2
3 ( 3 3 x2 ln 3 x 1) C 2
例3 求不定积分
dx 1 ex
直接令根式为u， 化根式为有理式
解
令
1 ex u,
则
x ln
u2 1
,
dx
2u u2 1
du
原式 2du u2 1
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
u
du
cos2 udu
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 2
1
cos
2u
du
x2 1
x
1 (u 1 sin 2u) C 22
u
1
1 (arctan x x 1 ) C 辅助三角形
2
x2 1 x2 1
1 2
(arctan
x
x
x2
) 1
C
◆基本积分公式P106-P107
tan xdx ln | cos x | C cot xdx ln | sin x | C
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
2
2
公式
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
例2 求不定积分
dx x2 2
解 令 x 2 tan u, 则 dx 2 sec2 udu
原式 2 sec2 u du secudu 2 secu ln secu tanu C
2 x2
x
u
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
失败！
则 du sin xdx, v 1 x2
原式 1 x2 cos x 1
2
x2 sin xdx
2
2
比 x cos xdx 更难求
(
u
1 1
u
1 )du 1
ln u 1 C u 1
P107公式（20）
1 ex 1
1 ex 1
ln
C ln
C
1 ex 1
1 ex 1
dx
例4 求不定积分
1 3 x 4 解 令 u 3 x4 , 则
原式
直接令根式为u， 化根式为有理式
dx
例5 求不定积分 (1 3 x ) x
解 令 u6x , 则
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
第二类换元积分法 分部积分法
◆第一换元法
f xdx gxxdx
令u
x
g
u
du
u ( x)
◆第二换元法
凑微分
d(x)
f xdx令x u f u u du u1(x)
注：x u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin2 x cos2 x 1, 1 tan2 x sec2 x
sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx a2 x2
1 ln | a x | C 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
dx a2 x2
1 arctan x C
化根式 a2 x2 ,
再积分。
x2 a2 ,
x2 a2 为三角函数的有理式，
对于 a2 x2 , 令 x a sin t, 则 a2 x2 a cost
对于 a2 x2 , 令 x a tan t,则 a2 x2 a sect
对于 x2 a2 , 令 x asect, 则 x2 a2 a tan t