第11讲：可测函数的定义与性质

第11讲 可测函数的定义与性质
对一切 d , c R 都可测的函数 f 之结构。 （1）关于∞的运算 由于我们允许函数值取 ，所以需作一 些规定，我们所讨论的函数都是指单值 实函数，并且规定 （i）() () , () () 。 （ii）对任意 a R , a ()
第11讲 可测函数的定义与性质
目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其 性质，掌握常见的一些可测函数。 重点与难点：可测函数的引入，性质的证 明。
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基本内容： 一．可测函数的定义 为了定义新的积分，我们已经对Rn中 的一般集合定义了测度概念，但同时也 看到了，Rn中的 确存在一些集合，它们 是不可测的，因此，有必要对定义于Rn 中某个可测子集E上的函数f，考察形如
问题4：可否用E{x|α≤f(x)<β}的可测性作 为可测函数的定义？ 问题5：若f是可测函数，则 E{f(x)=±∞}是 否可测？
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命题2 若 f ( x )是E上的可测函数，则
E{ x | f ( x ) } 及 E{ x | f ( x ) }
都是可测集。 证明 由 E{ x | f ( x ) } E{ x | f ( x ) n}
n
E{ x | g ( x ) a} [ E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) g ( x )}]
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[ E{ x | f ( x ) g ( x )} E{ x | g ( x ) a}]
E{ x | g ( x ) a} [ E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) g ( x )}]
m 1
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任意实数a, E{ x | f ( x ) a} 是可测集,不难看 到 E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) a 1 / K }

故 E{ x | f ( x ) a} 是可测集，于是对任意常 数a，b，集合
1 E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) a } k k 1 E{ x | f ( x ) a} E E{ x | f ( x ) a} 1 E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) a } k k 1
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E{ x E | d f ( x ) c}
述集合都是可测的，则下面的和式
ci mE{ x E | ci f ( x ) ci 1}
i
的集合这可测性,假如对一切的d , c R 上
1
就有意义了（见本书的引言），从而可 以讨论其极限的存在性，本章的目的， 就是研究使得集合E{ x E | d f ( x ) c}
（4）非负函数可测性的等价定义 如果可测函数f ( x ) 0，则称其为非负 可测函数。 定理1 如果f ( x )是可测集上的非负函数， 则下列各陈述相互等价：
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（i） f ( x ) 在E上非负可测； （ii）存在E上的非负简单函数列{m ( x )}m 1， 使得 0 1 ( x ) 2 ( x ) m ( x )
f ( x ) 在E上可测当且仅当下列条
件之一成立。
(i)对任意常数a, E{ x | f ( x ) a} 可测；
(ii)对任意常数a, E{ x | f ( x ) a} 可测；
第11讲 可测函数的定பைடு நூலகம்与性质
(iii)对任意常数a,E{ x | f ( x ) a}可测； 证明：因为
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性质1 如果两个函数 f ( x )与 g ( x ) 在E R 上几乎处处相等，则当其中一个在E上可 测时，另一个也可测。 证明：假设 f ( x ) 可测，则对任意实数 a, E{ x | f ( x ) a} 是可测集，由于 E{ x | f ( x ) g ( x )} 是零测集，且
m ( x ) m 1 ( x ), m 1,2, 则对任意实数a及任意m, E{ x | m ( x ) a} 是
可测集，但
E{ x | f ( x ) a} E{ x | m ( x ) a}

故E{ x | f ( x ) a}是可测集。 (i)(ii) 假设f 是E上的非负可测函数，即
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（5）一般可测函数的等价定义 而对一般的实值函数，可以作的正负部 分解：
f ( x) f ( x) 0 f ( x) f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0
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m
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| f ( x0 ) m ( x0 ) | f ( x0 ) m ( x0 ) 1 (m ) 2
m
因此 lim m ( x 0 ) f(x 0 ) 。证毕。 m 由于定理1中（i）与(ii)的等价性，所 以，也可将（ii）作为非负可测函数的定义。
m
则 E m ,k 是互不相交的可测集，且 E E m ,k
k 定义简单函数 m ( x ) m E ( x ) k 0 2
m 2m
mk
m 2m k 0
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) 可以证明m ( x ) m 1 ( x )(m 1（请读者自行 lim m ( x ) f ( x ), x E。 验证）。下面证明 m 若 x0 E ,使 f ( x0 ) , 则对任意m, xo E ,2 m m ，所以 m ( xo ) m 若 f ( x0 ) , 则可取正整数 m0 f ( x0 )， 则当 m m0 时，
从性质1可以看到，函数的可测性与其在 零测集上的取值无关，因此，讨论的函 数的可测性允许在任何零测集上改变其 值，比如，我们来看看Dirichlet函数。
1 D( x ) 1 x Q [0,1] xQ [0,1]
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由于m (Q [0,1]) 0，故可以在Q [0,1]上重 ~ 新定义D的值，从而得新的函数 D ( x) 1 这是常值函数，它与D( x )几乎处处相等， ~ 与 所以D ( x ) D( x ) 的可测性相同。尽管D( x ) 处处不连续，但和一个常值函数却是几 乎处处相等的。在第四章中将会看到， 这样的函数虽然不是 Riemann可积的， 却是最简单的Lebesgue可积函数。事实
E{ x | f ( x ) } E{ x | f ( x ) n}
n1

n1
立得证明。
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二．可测函数的性质 （1）几乎处处相等的函数 下面讨论可测函数的基本性质。 S ( x )( x E )是 一般地，如果E是可测集， 与x 有关的命题，且存在E的零测子集E0， 使得对任意 x E E0 ，命题成立，则说 S ( x ) 在E上几乎处处成立。
[ E{ x | f ( x ) g ( x )} E{ x | g ( x ) a}] 故E{ x | g ( x ) a} 是可测集 E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) g ( x )}与一个零
测集的并，它当然可测。证毕。
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E{ x | f ( x ) a} E E{ x | f ( x ) a}
故 f ( x ) 可测(i)(ii)(iii) f ( x )可测。 证毕。 问题3：可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)的可测 性作为可测函数的定义？为什么？
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（3）简单函数的可测性 定义 设E R 是可测集,E1，E2，…，En 是E 的互不相交的可测子集，且 E E , C1,C2，…,Cn是常数，则称E上的函数 ( x ) C i (任意x E i ) 为简单函数。
n
n i 1 i
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记 E 为 E i 的特征函数，则显然有
当a Gn E{ x | ( x ) a} E 当a G1 n E j当C i a C i 1 (i 1,, n 1), j i 1
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所以 E{ x | ( x ) a}是可测集。证毕。
1
1
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a ()
（iii）对任意 b 0, C 0，
b , b () , c ()
（iv） () () () ()
() () () ()
n
E{ f ( x ) a}{ x | x E , f ( x ) a}
都是可测集，则称f是E上的可测函数。
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问题 1 ：为了定义函数的 Lebesgue 积分， 须要求这些函数满足什么条件？ 问题2：列举几类可测函数的例子？
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则 f ( x ) f ( x ) f ( x ),于是又可利用 f , f 的可测性来定义的f 的可测性。即称 f ( x ) 可测当且仅当 f , f 都是可测函数。可以 证明该定义与定义1是等价的。
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定理2 设是Rn中可测集E个的函数，则
i
( x ) C i E i ( x ).
i 1
n
命题1 对任意可测集E，E上的简单函数 是可测的。 n 证明：设 ( x ) C i E ( x ) 是E上的简单函 i 1 数，不失一般性，假设C1 C 2 C n
i
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（若 C i C j ，则将 E i E j 看作某个Ek ）， 往证对任意 a R1 , E{ x | ( x ) a} 是可测 集。显然，
f ( x ) lim m ( x ) ( x E )
m
km
证明 (ii ) (i ), 设 f ( x ) lim m ( x ) ，其中
m
m ( x ) C i( m ) E ( x )
i 1
(m) i
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是E上的非负简单函数，满足
E{ x | a f ( x ) b} E{ x | f ( x ) a} E{ x | f ( x ) b}
k 1
也是可测的。
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对任意正整数m及 k 0,1, m 2 m 1,令
k k 1 E m , k E{ x | m f ( x ) m } 2 2 E m ,m 2 E{ x | f ( x ) m}
但是 () (), () (), () (), () ()
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及 0 () 是没有意义的，因此，不允许 作这种运算。 （2）定义 f ( x ) 是E上 定义1 假设 E R 是可测集， 的函数，如果对任意常数a，集合