第三章 量子力学中的力学量(复习)

x
x
的性质可得 x ( x) ( x x)
• 讨论： （1）在以 为变量的坐标系中，力学量 x 的算符就 是自身，而本征函数为 函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函 数的归一化写成
x
* x ( x) x ( x)dx ( x x) ( x x)dx ( x x)
F
但在特殊情况下，得到


（1）
(本征方程) （2）
F
•
1.3 厄米算符： （1）算符 F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符 F * * 例如 p i ，则 p i ，一般来说，p p * ~ （2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即

即当体系处于力学量算符 F 的本征态时，力学量 F 具有 确定值。这种确定的关系可以表示为
力学量F F ( F 的本征态） F
确定值




• 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符 F 的 本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符 的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符、
角动量平方算符
1 1 2 L sin sin sin 2 2
2 2
L Y ( , ) l (l 1) 2Y ( , ) • 本征方程 L2 l (l 1) 2 对应的本征值 本征态 (2l 1)(l m)! m Ylm ( , ) Pl (cos )e im 4 (l m)!
能量本征值 本征态

En
z 2 es4
2 n
2 2
, n 1,2,3,
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
• 注意分析结果后要能回答几个问题： （a）能级简并度？ （b） Ylm ( , )是 L2 , L z 的本征态吗？假若是的话， 对应的本征值各是多少？ （c） H 能确定唯一的本征态吗？ H 和 L2 能共同 确定本征态吗？ H , L2 , L z 三者呢？
4 任意状态下力学量的可能值 • 4.1 厄米算符的三个基本性质： 实数性、正交性、完备性。
量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以 明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。 （1）厄米算符的本征值都是实数，表示为 * 。 （2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交， 分立谱为
2
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点： （1）m 取负值时 Ylm ( , ) (1) m Yl*m ( , ) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm 即可； 2 2 （2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有 Ylm ,Yl 0 ,Yl m 共 (2l 1)个，即角动量平方算符的本征
s
s
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量 z 分量 L z i 的本征函数 首先看角动量的 设其本征函数为 ( )
本征方程为 将其变为
i
对应的本征值为 L z
Lz
Lz ln i im
( Lz m)
可解出
m ( ) Ce im
即归一化为 函数
• 3.3 动量算符
能归一化为 函数 对于三维情况 归一化为
i p x ( x) p x p x ( x) x 对应本征值 p x 的本征函数 1 ipx x / p x ( x) e 2 具有确定动量 p x 的平面波函数，本征值组成连续谱，只
• 2 力学量用厄米算符表示 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量 的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用， 并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数 值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定 的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本 征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 F 可 以用一个线性厄米算符 F 来表示，简称为力学量算符 F ，所 F 谓“线性”，无非是要求 满足运算 （8） F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2


x

（4）厄米算符 满足 F F 的算符称为厄米算符，又 称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标 记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
F dx F dx ( F ) * dx
* * *

（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
(r ) p
1 ipr / e 3/ 2 (2)
p x i 的本征方程 x

0, p p * * ( r ) ( r ) d ( p p ) p p , p p
* m ( x) n ( x) 0
连续谱为
* ( x) ( x) 0
一般与归一化结合在一起，表示为
* m ( x) n ( x) mn
* ( x) ( x) ( )
（12）
# 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值 m , n 的。若属于同一本征值的本征态有 个，即 度简并，则这 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力 学量 F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量 Q 的 态函数，如果是，那么对F, Q 的本征值是否还简并？如球谐 2 函数 Ylm ( , ) ，它是角动量平方算符 L 的本征函数，对应 l (l 1) 2有 (2l 1)度简并，但 Ylm ( , ) 也是角动量的 的本征值
• 由波函数单值性要求 e im( 2 ) e im 故 m 必须是整数 m 0,1,2, 可见本征值 Lz m 是量子化的分立谱。 利用归一化条件 2 * 2 d C 2 1
0
得归一化的波函数为
m ( ) 1 2 e im
(m 0,1,2,)
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是采Hale Waihona Puke Baidu坐标、动
量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量
以决定论的方式描述。量子力学的一个惊人之举就 是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特 征全面地描述了微观粒子的运动状态。但 并不能 作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重 要的基本概念—算符，用它来表示量子力学中的力 学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅 相承、贯穿始终。
L 及 L z 、能量（哈密顿量 H ）。
2


本部分的难点是任意态 ( x, t )与力学量算符本征态 n 及力 学量概率态 C n 的区别。
• 1 厄米算符 • 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号， d 是一种数学语言工具。例如 dx 、、 等。量子力学中的力学 量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动 2 2 量 p 与 i 相当，自由粒子体系的能量 E 与 2 相当。 于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数 上，总会得到另一个构造不同的函数
值是 (2l 1) 度简并的； ) （3）L z Ylm ( , ) mYlm ( , ，说明 Ylm ( , )也是 L z 的本征 态。由此可见，当 l 给定后，本征值m 只与一个确定的本 征态 Ylm ( , ) 相对应，说明 L2 , L z 共同消除了简并，确定了 一个共同的本征函数Ylm ( , ) 。例如，给定 l 3 ，则 L2 12 2 对应7个简并态 Y3m ；进一步给定 m 2 ，则 Lz 2 ，二者 共同确定一个本征态 Y32 ( , ) 。 3.2 坐标算符 的本征态 设坐标算符 的本征函数为 x (x) ，本征值为 x ，则 本征方程为 x x ( x) x x ( x) 即 ( x x) x ( x) 0 利用 函数
以 r r , p i 为基础，原则上可以得出所有力学量算符
F F (r , p) F (r ,i)


（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状 态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 假定体系处于力学量算符 F 的本征态 ，本征方程为 （10） F 说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的 力学量没有别的选择，只能是 （11） F
2 d 2 的本征态（能量本征态） ( x) H n 2 2 dx

2 n sin x a a
2 2 2 势阱宽 (0 ~ a) ，本征值 E E n n , n 1,2,3 2 2a
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的 坐标和动量的本征值谱； （2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x2 , x3 F x4 , 例如固体中的能带； （3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分 立谱记为 n (n 1,2,) 。对应的本征函数分别记为 , 及 n 。 二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情 况为 度简并。
• 3.4 关于 H 的本征态（能量本征态） （1）定态 Schrodinger 方程 H E n ，本征值 E n 是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子 等。 （2）电子在库仑场中运动的氢原子问题

H nlm (r , , ) E n nlm (r , , )
, 一般为任意函数， F ，例如算符 的转置算符为 F x
*
F dx F *dx
*
~

（3）
~

~ x x
（4）
这是因为
~ ＋ * dx * dx － x － x
＋
|
* ＋ －
＋ * dx ( )dx － － x x ＋
*
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
~

F dx F dx ( F ) * dx
* * *


一般来讲
（5） F F 但动量算符却例外 p x i x p x i p x （6）
本章内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；

、动量 p 或 p 、角动量 四个本征态及本征值：坐标 x或 r x