第三章 量子力学中的力学量(复习)
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
第3章 量子力学中的力学量
第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx p i x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xp x i x ψψ∂=-∂ i x xψ∂=-∂(2) ˆ()x p x i x x ψψ∂=-∂ i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第三章 量子力学中的力学量
λ ∫ψ ψ d τ = λ ∫ψ ψ d τ
λ = λ（实数）
*
6.力学量算性质 6.力学量算性质 力学量算符为线性的厄米算符。 力学量算符为线性的厄米算符。 1.证明动量算符的一个分量 ˆ 例1.证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符。
∂ ˆ 证明: ϕdx 证明: ∫ ψ pxϕdx = −ih∫ ψ −∞ −∞ ∂x * ∞ ∂ψ ∞ * ∞ ˆ = −ihψ ϕ + ih∫ ϕdx = ∫ ( pxψ )*ϕdx −∞ −∞ ∂x −∞
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
引 言
只有粒子性
状态： 状态：
用坐标和动量来描述。 用坐标和动量来描述。
经典粒子 力学量： 力学量： 在任何状态下都有确 定值。 定值。
波粒二象性
状态： 状态：
用波函数来描述。 用波函数来描述。
v v v ψ (r ) P (r )dτ = A2 ∫ e ψ ∫
* v P′
i v v v ( P − P′)⋅r h
dτ
A = ( 2π h )
−3 / 2
归一化本征函数为： 归一化本征函数为：
v v (r ) = ψP 1 e 3/ 2 (2π h)
i vv P⋅ r h i ( px x + p y y + pz z ) 1 h = e 3/ 2 (2π h)
这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数， 间部分波函数，对应的本征值 v 取连续值。 P 取连续值。
的立方体内运动， ⅱ)若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用所谓 箱归一化方法确定常数 A 。 的立方体内时， 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 v v (r ) 满足周期性边界条件。 ψP 满足周期性边界条件。
3第三章量子力学中的力学量总结
3第三章量子力学中的力学量总结1第三章量子力学中的力学量1．算符（ 1）定义： ?Fu v? 。
（ 2）线性算符： ? ?n n n nnnF c c F。
2．共轭算符（ 1）定义 + 1 2 2 1? ?()A d A d? ? ? ? ? ? （ 2）性质 ? ?? ?()AB B A? ? ??3．厄米算符（自共轭算符）（ 1）定义+? ?AA? 或 1 2 2 1? ?()A d A d? ? ? ? ? ??????（ 2）性质：两个厄米算符之和仍为厄米算符。
因为()A B A B A B? ? ?? ? ? ? ?两个厄米算符之积一般不是厄米算符，除非它们相互对易。
因为[ , ] 0? ? ? ?? ? ? ?() ABA B B A B A A B?? ? ?? ? ?（ 3）构造厄米算符的方法方法一： ? ?AA?? 必为厄米算符。
因为 ? ? ? ? ? ?()A A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?。
方法二： ? ?()i A A?? 必为厄米算符。
因为 ? ? ? ? ? ?[ ( ) ] ( ) ( )i A A i A A i A A? ? ? ?? ? ? ? ? ?。
方法三： ??AA? 必为厄米算符。
因为 ? ? ? ?()A A A A? ? ?? 。
（ 4）引入厄米算符的意义：力学量算符都是厄米算符。
4．对易关系（对易子）（ 1）定义 ? ? ?? ? ?,A B AB BA（ 2）基本对易关系 ?, pi? ????????? （ , , ,x y z ）（ 3）对易法则,,A B B A? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?,,A B A B??? ? ? ??? ? ? ?, , ,A B C A B A C? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, , ,A B C A B C B A C? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?（ 4）重要对易关系2,p L i p? ? ??? ??????? ?,Li? ???? ? ??????,L L i L? ? ??? ??????? 2? ? 0LL??????,5．厄米算符的本征问题（ 1）厄米算符的本征值必为实数。
第三章量子力学中的力学量
v v v 电子相对于核的坐标： r = r − r 1 2
x = x1 − x2 , y = y1 − y2 , z = z1 − z 2
球坐标：
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ ˆ = ih (sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ), Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih (cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ), Ly ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ ; Lz ∂ϕ
用分离变量法求解：
设ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) zes2 2µ λ 2 ∇ r R(r ) + [ 2 ( E + ) − 2 ]R ( r ) = 0 h r r L2Y (θ , ϕ ) = λh 2Y (θ , ϕ )
（1） （2）
λ = l (l + 1)
两算符相乘其次序不能随便调换。 线性算符（态叠加原理 态叠加原理） 态叠加原理
ˆ ˆ ˆ 定义：若 F (C1Ψ1 + C2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C2 FΨ2
ˆ 则 F 是线性的。 Ψ1 , Ψ2 是任意函数，C1、C2是常数
∂ x, 是线性的， ∂x
若
是非线性的。
厄米算符：ψ ( x), φ ( x) 是任意函数。
n, l,
l = 0,1,2, L n − 1 m = 0,±1,±2, L ± l (2l + 1) = n 2 ∑
l =0 n −1
§3.4
氢原子
∂ h2 2 h2 2 v v v v ih Ψ (r1 , r2 , t ) = [− ∇1 − ∇ 2 + U ]Ψ (r1 , r2 , t ) ∂t 2 µ1 2µ2 电子 ( x1 , y1 , z1 , µ1 ) 核 ( x2 , y 2 , z 2 , µ 2 )
chapter03 (上) 量子力学中的力学量
第三章量子力学中的力学量引言本章将讨论力学量怎样用算符来表示，以及引进算符后，量子力学中的一般规律所取的形式。
3.1、表示力学量的算符3.1.1、算符的定义算符的定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符的表示：为强调算符的特点，通常在算符上方加“”号，但在不引起误会的地方，也常把“”省略。
例如：ˆF,ˆP,d,,x等，它们都是算符。
dx对任意函数u和v，ˆFu v=，d dx 是微商算符，du vdx=是开方算符，u=vx表示相乘，xu=v 3.1.2、算符的基本性质（1）单位算符如果算符ˆI作用到任意函数u 上，u 不变，即ˆIu u =，则称ˆI为单位算符。
（2）零算符如果算符ˆ0作用到任意函数u 上，有ˆ00u =，则称ˆ0为零算符。
（3）算符相等如果算符ˆF和ˆG 作用到任意函数u ，且ˆˆFu Gu =，则称算符ˆF和ˆG 相等，ˆˆF G =。
（4）算符之和对于任意函数u ，(ˆF+ˆG )u =ˆFu +ˆGu ， 交换律，ˆˆˆˆFG G F +=+。
结合律，ˆˆˆˆˆˆ()()FG M F G M ++=++。
（5）算符乘积ˆˆˆˆ()FGuF Gu = 交换律（不满足）对任意函数u ，若ˆˆˆˆ()()FGu GF u ≠，称ˆF 和ˆG 不对易； 对任意函数u ，若ˆˆˆˆ()()FGu GF u =，称ˆF 和ˆG 对易。
结合律ˆˆˆˆˆˆ()()FG M F GM =（6）算符的对易关系（6.1）对易子（式）：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =-。
如果ˆA和ˆB 对易，则ˆˆ[,]0A B =，(这里的0实际指ˆ0)。
如果ˆA和ˆB 不对易，则ˆˆ[,]0A B ≠。
（6.2）反对易子（式）：ˆˆˆˆˆˆ+=+。
A B AB BA[,]如果ˆA和ˆB反对易，则ˆˆA B+=。
[,]0（6.3）对易子（式）满足的代数关系ˆˆˆˆ=-，A B B A[,][,]ˆˆˆˆˆˆˆ+=+，[,()][,][,]A B C A B A Cˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=+，[,][,][,]A BCB AC A B Cˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=+，AB C A B C A C B[,][,][,]ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ++=，Jacobi恒等式[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B（6.4）对易式和反对易式的关系ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC A B C A C B ++=- ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC A B C B A C ++=- （7）逆运算如果，ˆ,Fu v =可以唯一的解出u ，则ˆF 之逆1ˆF -为， 1ˆF v u -=如果算符ˆF的逆存在，则： 11ˆˆˆˆ=,FF F F I --=1]ˆˆ[,0F F -=不难证明，111ˆˆˆˆ()FGG F ---=。
第三章 量子力学中的力学量
第三章量子力学中的力学量[教学目的]：力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。
由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。
五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。
量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系
定 已归一）
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明： F dx
C d
ˆ [( C ' ' d' )F （ C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中： n n dx ； C dx ；
C
n
2
2
2 n
C d 1 ；
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率；
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率；
平均值公式： F
代表的力学量的 F 关系如何？这需引进新的假设，适 合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符， ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即：C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见： 力学量在一般的状态中没有确定值， 而有许多可能值， 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合， 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中，F 在 ( x )态的统计平均 值（由几率求平均值）为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明： ( x )F
第三章量子力学中的力学量3
下面为正交性给一个标准的数学定义 正交性 满足如下关系式： 如果两个函数 ψ , φ 满足如下关系式：
∫
∞
−∞
ψ * ( x ) φ ( x ) dx = 0
则我们称两个函数相互正交。 则我们称两个函数相互正交。 相互正交 注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。 注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。这里为 了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（ 了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（积分区域是 x,y,z变化的所有区域 如果是球坐标， 变化的所有区域。 x,y,z变化的所有区域。如果是球坐标，则为 r , θ , ϕ 变化的所 有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量，不只局限与坐标 有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量， ）。此外这里的自变量泛指任意变量 变量。 变量。 ∞ ∞ ∞ *
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
ˆ 的本征函数， 这些新函数仍然是 F 的本征函数，本征值仍然是 λn ，并且彼此 满足正交归一关系： 满足正交归一关系：
* * ψ njψ nj′dτ = ∑∑ A* Aj′i′ ∫φniφni′dτ = δ jj′ ji ∫ i =1 i′=1 f f
r r
δ 函数有一个重要的性质： 函数有一个重要的性质：
* r r'
r r r r r r ∫ δ ( r − r ') δ ( r − r '')dτ = δ ( r '− r '')
则
r r r r ∫ψ ( r )ψ rr '' ( r ) dτ = δ ( r '− r '')
第三章 量子力学中的力学量
1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ
第三章：量子力学中的力学量_6讲
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px
px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
量子力学-第三章量子力学中的力学量
dpe
*
x
-i
d
dx
x dx
dx
1
dx
2π
e
i
p( xx)
dp
*
x
-i
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
P
* x pˆ xd * xi
1
d2 d 2
(常数）
由
d 2 d 2
0
33
Cei
由周期性条件 2 得 ei2π 1
2π 2mπ m 0, 1, 2,
Ceim
由归一化条：
* d 1 得 C
1 2π
所以
1 eim
2π
m*md δmm
34
sin d (sin d ) sin2 m2
17
[例题] 求动量的转置算符。
[解]
d* pˆx
dx pˆ x*
dx
i
x
*
i *
dx
*
i
x
*
i
x
dx
所以
pˆ x i
x
pˆ x
②算符的复共轭算符
把算符中的所有复量换成共轭复量。
如：动量的复共轭算符
pˆ *x i
x
pˆ x
18
③厄米共轭算符
, Fˆ † Fˆ, 或 d*Fˆ d*Fˆ * d Fˆ ** d Fˆ *
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
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（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
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式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
第三章 量子力学中的力学量
r ∂x 1 ∂θ = cosθ si ϕ n ∂y r ∂θ 1 = − si θ n r ∂z
r2 = x2 + y2 + z2
（3）
r r r ψ (r , t) =ψ p (r )e
i − Et h
=( ) e
1 3/ 2 L
rr i ( p⋅r −Et ) h
就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子 动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中 的本征值 （4）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求
（2）角动量 ） 按照经典力学； 电子轨道运动的
周期性边界条件
r L rA′ ≡ − , y, z 2
ce
A
i L [ px + py y+ pz z ] h 2
= ce
e
i −L [ px + py y+ pz z] h 2
y
r L rA ≡ , y, z 2
由 得1
于 有 是 ：
ˆ Hu = Eu
能量算符的本征函数
本征值方程
能量算符的本征值
r r ˆψ = pψ p p p
有确定值
ˆ Fφ = λφ
本征值实数 ˆ ˆ 如果算符 F表示力学量 F ，体系处于 F 的本征态 时， 力学量 F 有确定值，这个值是 在 F 态中的本征值 ˆ
φ
φ
五、厄密算符
力学量的本征值都是实数
因此量子力学中表示力学量的算符是厄密算符
r = x + y + z cosθ = z / r tan ϕ = y / x
第三章 量子力学中的力学量
以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数：
再乘上时间因子：
参见：
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数，其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得：
同理可得：
同理可得：
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 （1）角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，
分立谱记为
。对应的本征函数分别记
为
及。
（2）、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应，而出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值， 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入 了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线 性厄米算符的本征态表示；
•三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。
三章量子力学中的力学量
例如，角动量算符：
Lrp
Lˆ i
i
x
j y
k
z
量子力学中的角动量算符：
x
y
z
Lˆ rˆ pˆ i r (7)
二、力学量用厄米算符表示(Hermit operator)
１、当体系处于定态，即哈密顿算符Hˆ 的本征态
时，能量有确定值 E ，E 即本征值。当体系处于 动量算符的本征态 p时，动量有确定值，这个值 即 pˆ 在 p 态中的本征值。
定义：若
Fˆ
dx
(Fˆ
)
dx (8)
则 Fˆ 称为厄米算符。式中 x 代表所有变量，积分范围
为所有变量变化的整个区域。
４、证明厄米算符的本征值是实数。
证： Fˆ ,
Fˆ
dx
(
Fˆ
)
dx,
和为任意函数，
取 ，则 dx dx
, 为实数
验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。
2
pˆ 2 22 代入 Hˆ 中：
2
Hˆ 2 U (r )
2
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则：
如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相 应的力学量的算符 Fˆ 由经典表示式 Fˆ (r , p) 中将 p 换为 算符 pˆ 而得出：
Fˆ Fˆ (rˆ, pˆ ) Fˆ (r , i ) (6)
２、算符的本征值方程
如果一个算符Fˆ作用于一个函数，结果等于 乘
上一个常数，
Fˆ （2） 则称为Fˆ的本征值， 为属于的本征函数。上式(2)称
为算符Fˆ的本征值方程。
如定态薛定谔方程Hˆ E，是哈密顿算符Hˆ的本征
值方程，E为本征值。 举例：无限深势阱，一维线形谐振子。
【课后习题】量子力学期末复习专题(仅供参考)
量子力学期末复习专题（仅供参考）第一章 量子理论基础1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么epE μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmmm E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第二章 波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与 无关。
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：222122)(x xex ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(xxex ex x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231xex x dxx d ααπαω--=令0 )(1=dxx d ω，得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
第三章 量子力学中的力学量
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义： 定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质： 性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x
3量子力学中的力学量
i
动量与动量算符的对应关系：动量算符表示
动量这个力学量。
（2）坐标算符： rˆ r
坐标的算符就是坐标自身。
（3）如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有
相应的力学量，则表示这个力学量的算符 Fˆ 由经典
表示式 F (r , p) 中将 p 换为算符 pˆ 而得出，即
^
F
Fˆ (r^, p^) Fˆ (r, i
)
(u, v为任意函数)
性质：（i） ~ x x
(ii) p^~x pˆ x
~~~
(iii) 对任意算符Ô，Û， 有 ÔÛ ＝ÛÔ
证明： (i) 对于任意函数u, v,
dx
u*
~ x
定义
v
dx
v
x
u*
分部积分
* d * * d
( *) * d 0
若 0 则有 * ，说明本征值λ是实数。
例：坐标算符 xˆ x和动量算符 pˆ x i
d 都是厄米算符。 dx
证明：设两个任意波函数 和
1因为 * xd (x )*d
|a|
f (x) (x x0 ) f (x0 ) (x x0 )
3. 函数可写成 Fourier 积分形式
x eik (x)dx 1
(x) 1 1 eikxdk 1 eikxdk 函数
2
2
的积分
表示式
例如:
Hˆ Tˆ Uˆ
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。
3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
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角动量平方算符
1 1 2 L sin sin sin 2 2
2 2
L Y ( , ) l (l 1) 2Y ( , ) • 本征方程 L2 l (l 1) 2 对应的本征值 本征态 (2l 1)(l m)! m Ylm ( , ) Pl (cos )e im 4 (l m)!
4 任意状态下力学量的可能值 • 4.1 厄米算符的三个基本性质： 实数性、正交性、完备性。
量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以 明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。 （1）厄米算符的本征值都是实数，表示为 * 。 （2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交， 分立谱为
s
s
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量 z 分量 L z i 的本征函数 首先看角动量的 设其本征函数为 ( )
本征方程为 将其变为
i
对应的本征值为 L z
Lz
Lz ln i im
( Lz m)
可解出
m ( ) Ce im
x
（4）厄米算符 满足 F F 的算符称为厄米算符，又 称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标 记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
F dx F dx ( F ) * dx
* * *
（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
2
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点： （1）m 取负值时 Ylm ( , ) (1) m Yl*m ( , ) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm 即可； 2 2 （2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有 Ylm ,Yl 0 ,Yl m 共 (2l 1)个，即角动量平方算符的本征
, 一般为任意函数， F ，例如算符 的转置算符为 F x
*
F dx F *dx
*
~
（3）
~
~ x x
（4）
这是因为
~ ＋ * dx * dx － x － x
＋
|
* ＋ －
(r ) p
1 ipr / e 3/ 2 (2)
p x i 的本征方程 x
0, p p * * ( r ) ( r ) d ( p p ) p p , p p
即当体系处于力学量算符 F 的本征态时，力学量 F 具有 确定值。这种确定的关系可以表示为
力学量F F ( F 的本征态） F
确定值
• 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符 F 的 本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符 的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符、
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是采用坐标、动
量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量
以决定论的方式描述。量子力学的一个惊人之举就 是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特 征全面地描述了微观粒子的运动状态。但 并不能 作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重 要的基本概念—算符，用它来表示量子力学中的力 学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅 相承、贯穿始终。
• 2 力学量用厄米算符表示 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量 的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用， 并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数 值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定 的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本 征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 F 可 以用一个线性厄米算符 F 来表示，简称为力学量算符 F ，所 F 谓“线性”，无非是要求 满足运算 （8） F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2
＋ * dx ( )dx － － x x ＋
*
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
~
F dx F dx ( F ) * dx
* * *
一般来讲
（5） F F 但动量算符却例外 p x i x p x i p x （6）
• 由波函数单值性要求 e im( 2 ) e im 故 m 必须是整数 m 0,1,2, 可见本征值 Lz m 是量子化的分立谱。 利用归一化条件 2 * 2 d C 2 1
0
得归一化的波函数为
m ( ) 1 2 e im
(m 0,1,2,)
* m ( x) n ( x) 0
连续谱为
* ( x) ( x) 0
一般与归一化结合在一起，表示为
* m ( x) n ( x) mn
* ( x) ( x) ( )
（12）
# 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值 m , n 的。若属于同一本征值的本征态有 个，即 度简并，则这 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力 学量 F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量 Q 的 态函数，如果是，那么对F, Q 的本征值是否还简并？如球谐 2 函数 Ylm ( , ) ，它是角动量平方算符 L 的本征函数，对应 l (l 1) 2有 (2l 1)度简并，但 Ylm ( , ) 也是角动量的 的本征值
F
但在特殊情况下，得到
（1）
(本征方 （1）算符 F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符 F * * 例如 p i ，则 p i ，一般来说，p p * ~ （2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即
• 3.4 关于 H 的本征态（能量本征态） （1）定态 Schrodinger 方程 H E n ，本征值 E n 是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子 等。 （2）电子在库仑场中运动的氢原子问题
H nlm (r , , ) E n nlm (r , , )
以 r r , p i 为基础，原则上可以得出所有力学量算符
F F (r , p) F (r ,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状 态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 假定体系处于力学量算符 F 的本征态 ，本征方程为 （10） F 说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的 力学量没有别的选择，只能是 （11） F
2 d 2 的本征态（能量本征态） ( x) H n 2 2 dx
2 n sin x a a
2 2 2 势阱宽 (0 ~ a) ，本征值 E E n n , n 1,2,3 2 2a
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的 坐标和动量的本征值谱； （2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x2 , x3 F x4 , 例如固体中的能带； （3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分 立谱记为 n (n 1,2,) 。对应的本征函数分别记为 , 及 n 。 二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情 况为 度简并。
x
x
的性质可得 x ( x) ( x x)
• 讨论： （1）在以 为变量的坐标系中，力学量 x 的算符就 是自身，而本征函数为 函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函 数的归一化写成
x
* x ( x) x ( x)dx ( x x) ( x x)dx ( x x)
能量本征值 本征态
En
z 2 es4
2 n
2 2
, n 1,2,3,
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
• 注意分析结果后要能回答几个问题： （a）能级简并度？ （b） Ylm ( , )是 L2 , L z 的本征态吗？假若是的话， 对应的本征值各是多少？ （c） H 能确定唯一的本征态吗？ H 和 L2 能共同 确定本征态吗？ H , L2 , L z 三者呢？
本章内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
、动量 p 或 p 、角动量 四个本征态及本征值：坐标 x或 r x
值是 (2l 1) 度简并的； ) （3）L z Ylm ( , ) mYlm ( , ，说明 Ylm ( , )也是 L z 的本征 态。由此可见，当 l 给定后，本征值m 只与一个确定的本 征态 Ylm ( , ) 相对应，说明 L2 , L z 共同消除了简并，确定了 一个共同的本征函数Ylm ( , ) 。例如，给定 l 3 ，则 L2 12 2 对应7个简并态 Y3m ；进一步给定 m 2 ，则 Lz 2 ，二者 共同确定一个本征态 Y32 ( , ) 。 3.2 坐标算符 的本征态 设坐标算符 的本征函数为 x (x) ，本征值为 x ，则 本征方程为 x x ( x) x x ( x) 即 ( x x) x ( x) 0 利用 函数