2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n

g x ax =是等价无穷

小，则常数,a n 的值为 ( )

A. 1,36a n ==

B. 1,33a n ==

C. 1

,412a n == D. 1,46

a n == 2.曲线22

3456

x x y x x -+=-+的渐近线共有

( )

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条 3.设函数2

2

()cos t x

x e tdt

Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于

( ) A.

2

2

2cos x xe x B.

2

2

2cos x xe x - C. 2cos x

xe

x

-

D. 2

2

cos x e

x -

4.下列级数收敛的是

8. 若(0)1f '=，则0

()()lim x f x f x x →--=

9. 定积分

31

2111x dx

x -++⎰的值为

10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==，若a 与b 垂直，则常数k = 11. 设函数24z x y

=+，则10

x y dz

===

12. 幂级数0

(1)n n

n x n ∞

=-∑的收敛域为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限2

11

lim()tan

x x x x

→- 14、设函数()y y x =由方程2x y

y e x

++=所确定，求

22

,dy d y

dx dx

15、求不定积分arctan x xdx ⎰ 16、计算定积分40

21

dx x +⎰

17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

垂直，又与

平面250x z --=平行的直线的方程。 18、设2

(,)

x z y f xy e =，其中函数f 具有二阶连续偏导

数，求

2z x y

∂∂∂

19、计算二重积分D

xdxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线2

1x y =

-，

直线y x =及x 轴所围成的闭区域。

20、已知函数x

y e =和2x

y e -=是二阶常系数齐次线性

微分方程"

'0

y

py qy ++=的两个解，试确定常数q p ,的

值，并求微分方程"

'

x

y py qy e ++=的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当1x >时，1

211

22

x e x ->

+

22、设

()

,0,()1,

0,x x f x x

x ϕ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩其中函数()x ϕ在0x =处具有二

阶连续导数，且

'(0)0,(0)1

ϕϕ==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分） 23、设由抛物线2

(0)y x x =≥，直线2

(01)y a a =<<与y 轴

所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1

()V a ，由抛物线2

(0)y x x =≥，直线

2(01)

y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋

转一周所形成的旋转体的体积记为2

()V a ，另

12()()()

V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。

24、设函数()f x 满足方程'

()()2x

f x f x e +=，且(0)2f =，记由曲线

'()()

f x y f x =

与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图

形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

1、A

2、C

3、B

4、D

5、D

6、C

7、2

e 8、2

9、2

π 10、4-

11、dy dx 2+ 12、]1,1(- 13、原式=313tan lim 3sec 1lim tan lim tan tan lim 2

202203020-=-=-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x .

14、

3

22)1(9;122)1(y x y x y x y x y

x e e dx y d e e dx dy dx dy e dx dy ++++++-=+-==++，

15、原式.arctan 2

1

21arctan 2

12

C x x x x

++-

=

16、变量替换：令

t

x =+12，

2

12-=

t x ，tdt dx =，

原式3

2813)2561()252(321

3312

312=+=+=⋅+-=⎰⎰t t dt t dt t t t

17、)

3,2,1(1

=→n

，)

1,0,2(2

-=→n

，)

4,7,2(1

0232

12

1

--=-=⨯=→→→

k

j i n

n n ，

所求直线方程为4

1

7121--=-=--z y x 18、

)('2'12x e f y f y x

z

+=∂∂；

'

'12

2''113'2'12223f e xy f xy yf e f y y

x z x x ++=∂∂∂＋

19、6

2020

12=

=⎰

⎰

⎰⎰-y y

D

xdx dy dxdy x

20、特征方程的两个根为2

,121

-==r r

，特征方程为

22=-+r r ，从而2,1-==q p ；

1=ω是特征方程的单根，1)(=x p ，可设Ax x Q =)(，