【课件-高等数学】_第五章 微分方程-1_

t ln 24
T 20 480e 2 19
令 t 10, 代入即得10分钟后的温度
T (10)
5ln 24
20 480e 19
20 480 (19 )5
169.3C
24
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生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，
其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人
在死亡，每分钟都有一个人在诞生……”
两次积分，即得
y(t)
1 2
gt 2
v0t
y0
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例5.牛顿冷却定律
一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温 度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？
解.本问题为物体冷却过程，该过程的状态参数为温 度，根据牛顿冷却定律，即物体温度下降速率和物体 与环境温差成正比，将定律表示成数学形式即得
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
数
有个数学家读后去信质疑，信上说： “尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有
海
几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，
拾
每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒
贝
不变的。但您也知道，事实上地球上的人口 是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地
有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数
字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，
dT k(T 20) dt
其中k为比例常数，由此即得时间t与温度T的
微元关系
kdt dT T 20
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积分后即解得 T 20 Cekt
将初始状态数据 t 0,T 500 以及 t 2,T 400
代入，即可确定 C 480, k 1 ln 24
2 19
于是即得物体降温过程的定量描述
第五章 微分方程
第一节 一些物理规律的数学描 述－微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中 的应用实例
f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
2020年8月11日星期二
第一节 一些物理规律的数学描述－微分方程
2
3
点离开平衡位置的距离，于是质点
运动的瞬时速度 振动，瞬时加速
度
a(t)
dv dt
d2x dt 2
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已知质点在介质中运动所受阻力与
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质点速度成正比，f1
rv
r
dv dt
(r
为阻力系数)
根据胡克定律，质点受到的弹性恢复力
与位移成正比， f2 kx(k 为弹性系数)
再设质点受到外力 f3 F (t) 根据牛顿第二定律，
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例2. 一质点在重力作用下自由下落(不计空气
阻力)，求质点在任意时刻t所在的位置.
解. 把质点初始位置取为坐标原点，并沿质点运
动方向取为轴正方向(如图5-1).设质点在时刻所
在t位置为，则质点的加速度为
O
d2x dt 2
g.
还应满足条件 x t0 0
dx dt
t0
0.
X
地面
将上式两端对t积分，得
我建议您使用7/6这个分数，即将诗句改为：
“每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又
六分之一人在诞生......”
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20 t
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三、物理实例
例3. 质点的弹性振动
介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下
作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述 质点状态的运动)，我们常以弹簧作为这类一维 弹性振动的代表模型(图5-3)
解：令质点的运动参数为 x x(t) 质图5-3 弹簧振子的振动
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
通解:
dy dx
2x
y x1 2 y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
图5-1 物体自由下落
x'(t) gt C1
5
再积分，即得
x(t)
1 2
gt 2
C1t
C2.
由前面条件可定出 C1 C2 0. 因此，所求质点在时刻
t的位置为
x(t) 1 gt 2 2
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二、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
fi ma 将上述各力的数学式代入，可得
m
d2x dt 2
r
dx dt
ky
F (t)
上式即为有阻尼的质点弹性振动的微分方程.
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例4. 落体运动
解：由牛顿第二定律 F mg ，则微分方程为
d2y dt 2
g
t 0 若当
时， 又由 v(0) v0, y(0) y0 得
再应用如上初始数据对方程式在区间上作
一、引例
例1. 一曲线过点(1, 2)，且曲线上任意点M(x,y)处
线的斜率为2x，求曲线方程.
解. 设所求曲线方程为根据导数的几何意
义，由题设可得
dy 2x, dx
对方程两端积分，得 y x2 C
其中C为任意常数.因为曲线过点(1,2)，所以
曲线方程应当满足条件 y x1 2
得C=1.于是所求曲线方程为 y x2 1.