《博弈羊皮卷》之智猪博弈与激励制度

智猪博弈与激励制度

文：赵宁

在博弈论经济学中，有一个博弈叫“智猪博弈”，其内容是这样的：假设猪圈里有一头大猪、一头小猪，猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本，大猪和小猪可选择的策略分别是行动和等待，你认为，大猪和小猪如何做，才能获得最大收益呢？

现在从博弈的角度来分析一下，先从大猪开始，若大猪选择行动，而小猪选择等待，那么大猪将获得6个单位的食物，同时要付出2个单位的成本，其收益为4个单位；若大猪选择行动，小猪也选择行动，那么大猪将获得7个单位的食物，同时要付出2个单位的成本，其收益为5个单位；若大猪选择等待，而小猪选择行动，那么大猪将获得9个单位的食物，其收益为9个单位；还有一种情况是大猪小猪都选择等待，那么，大猪的收益为0，也就是吃不到食物。

我准备用一个单元格来表示出大猪的收益状况，如下：

单元格一

下面再分析一下小猪的策略与收益情况，并用单元格表示。对于小猪而言，若小猪选择等待，而大猪选择行动，那么小猪将获得4个单位的食物，其收益为4个单位；若小猪选择行动，这时大猪也选择行动，那么小猪将获得3个单位的食物，同时，小猪要付出2个单位的成本，其收益为1个单位；若小猪选择行动，而大猪选择等待，那么小猪将获得1个单位的食物，同时，小猪减去2个单位的成本，小猪的最后收益为 -1个单位；若小猪选择等待，而大猪也选择等待，那么小猪的收益为0。

用单元格表示出小猪的收益的状况，如下：

单元格二

把单元格一和单元格二合并起来，可以得到一个矩阵，这个矩阵是关于大猪和小猪的收益矩阵，如下：

矩阵中的收益数据，可不是凭空捏造的数字，而是经过分析得出的科学的数据，需要提醒一下，单单矩阵本身并不代表博弈，博弈研究的是策略形势，而不是矩阵，它只是作为一种明晰的工具出现在博弈中。

从矩阵中可以清晰的看出，当大猪选择等待，而小猪选择行动的时候对于大猪来说，收益是最大的，可是博弈者的大猪和小猪的决策是相互影响的，小猪是否愿意选择行动这一策略呢？

我们来分析一下小猪，对于小猪而言，无论大猪选择行动，还是等待，小猪选择等待要比选择行动更具优势。因为当大猪选择行动时，小猪选择行动的收益为1，选择等待的收益为4，很明显4＞1，小猪选择等待更具优势；同理，当大猪选择等待，对小猪的选择等待与行动的收益进行比较，0＞－1。因此，小猪绝对不会选择行动这一策略。大猪知道小猪不会选择行动，自己该如何选择才对自己有益呢?

再回到矩阵收益图表上，我们可以看到小猪选择等待时，大猪选择行动这一策略，其收益为4，选择等待这一策略，其收益为0，很明显4＞0，因此，大猪会选择行动，而不选择等待，这样不至于被饿死。

小猪和大猪在博弈中达成了纳什均衡，也就是说小猪和大猪都找到了对于自己的最佳策略，即小猪选择等待，大猪选择行动。

我们来验证一下这个纳什均衡，对于小猪来说，当大猪选择行动时，小猪选择等待收益最大（4＞1）；当大猪选择等待，小猪还是选择等待收益最大（0＞－1）。对于大猪而言，当小猪选择行动，大猪选择等待收益最大（9＞5）；当小猪选择等待，大猪选择行动收益最大（4＞0），我们看到，对于大猪和小猪收益最大的策略，有一个交集（4,4），这个交集意味着大猪和小猪达成了纳什均衡。

小猪最终会选择等待，因为它明白选择行动对于自己一点好处都没有，小猪的这种聪明做法，在博弈中称为坐船或搭便车。在社会中，如果你是一个弱者，就必须学会善于利用各种有利的条件来为自己服务。打个比方说中小企业的经营者，他们没有太多的资本去研究和开发市场，他们的明智做法就是像小猪那样选择等待，让其他大企业首先开发市场，然后在此基础上有所作为，这样就可以省去市场调研和开发的一些不必要的费用，这对于任何一个中小企业来说，都是一个明智的选择。

然而，问题出现了，如果中小企业都想做不劳而获的小猪，势必会对社会带来一些不良的影响，这时，激励制度就派上用场了，就是设计一些激励方案，使小猪积极行动起来，从而促使社会稳健的发展。

激励制度，我想大家都能理解。公司为了提高员工上班的积极性，制定全勤奖励制度，这是每一个人都能接触到的事实，事实证明，它在公司中的确起到很大的作用。今天，只研究智猪博弈模型里的激励方案设计，看怎样才能调动小猪行动的积极性。

首先是减量投食方案，比如说按一次按钮只有6个单位的食物进入猪食槽中，大猪和小猪这时会采用什么策略呢？先做出大猪和小猪的收益矩阵如下：

从这个矩阵中，可以很清楚看出大猪和小猪的收益，如果大猪采用行动策略，小猪若选择行动则抢不到食物，若选择等待，那么小猪的收益为4，而大猪的收益为0，这时，大猪选择行动，而小猪选择等待对于大猪来说并没有产生收益，因此大猪会这样想，反正行动没有收益，不如不行动。

再看另一种情况，大猪选择等待是否是最优的策略。若大猪选择等待，对于小猪来说行动并没有收益，聪明的小猪是不会选择行动给大猪创造收益，因此，大猪选择等待也不是博弈中的最优策略。

这个博弈最后大猪和小猪会达成一个结果，就是大猪和小猪都不去按按钮，都不采取行动，以致最后被饿死，因此减量投食的方案是不可行的。

减量投食的方案无法激励小猪行动，最后大猪也不行动了，因此这种方案是不可取的。再来看看投食量增加的方案，现在，假设按一次按钮会有23个单位的食物进入猪食槽，那么，关于大猪和小猪的收益矩阵如下：

这个收益矩阵有点难懂，大家一看，大猪和小猪最多的情况下，一共才吃掉20个单位的食物，还有3个单位的食物到哪里去了呢？

这正是增量的设计方案，食物有剩余。这个矩阵是这样理解的，大猪一次吃饱需要10份食物。如果它行动，就要减去按按钮付出的2个单位的成本，最后收益为8个单位的食物，这时大猪还没有吃饱，需要再补充2个单位的食物，它一共吃了12个单位的食物，但收益只有10个单位的食物，因为它已经不能再吃了。小猪也是一样，假设小猪一次吃饱需要6份食物，同样无论它是选择行动，还是选择等待，都只有6个单位的收益。此时，大猪和小猪没有吃完的食物就是剩余。

在食物剩余的情况下，会出现这样一种情况，就是大猪和小猪谁饿，谁就去踩踏板。这一方案，大猪和小猪之间没有竞争的存在，各自没有必要为争夺食物而闹得热火朝天，如果你想让小猪积极行动，这可不是一个理想的方案。

经过证明，采取减量的投食方案与增量的投食方案，都不能调动小猪的积极性。我们再试一下第三种方案减量加位移的方案，看是否是可行的。

假定这时按按钮会有7份食物进入猪食槽，投食口设计在按钮附近，请记住这些信息，它很重要。还是同上面一样，先看一下大猪和小猪的收益矩阵：