复数概念及其几何意义

2x 1 y 1 (3 y)
得
x 5,y 4 2
1、（2009年广东卷）下列n的取值中，使 in =1 (i是虚数单位） 的是（ C ）
A、n=2 B、n=3 C、n=4 D、n=5
2、（2005年湖南卷）复数Z=i+i2+i3+i4的值是（ B ）
A、-１ B、0 C、1
Ｄ、i
3、（2009年福建卷）复数i2(1+i)的实部是__-_1_____。
复数系够用了吗？
实数的几何意义
在几何上，我们用 什么来表示实数?
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
类比实数的表示，可以
想
用什么来表示复数？
一
想
？
回百度文库忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什么唯一确定？
思考1 ： 复数与点的对应
Y
（１） ２+５i ；
（２） －３+２i；
小结
满足|z|=5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎
样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆
满足3<|z|<5(z∈C)
y
的复数z对应的点在复
5
平面上将构成怎样的图
3
形？
–5 –3
5
O
35
x
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
的？ 3. 数集扩充之后，有没有影响到原有的运算
及性质？
思考：数集扩充到实数集后，是 不是对所有的方程都有解呢？
(1)x2 1 0
(2)x2 2x 2 0
(3)x2 4x 5 0
思考？
x2 1
如果要使方程有解，你打算怎么办？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
(1)x2 1 0 (2)x2 2x 2 0 (3)x2 4x 5 0
（３） ２－４i；
(2,5)
（４） －３－５i；
(-3,2)
（５） ５；
（６） －３i；
O
(5,0)
X
(0,-3) (-3,-5)
(2,-4)
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C
F
O
E
X
D
B
H
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
例4 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离 (2)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
0,1,2,3,4,……
因计数的需要
自然数
x65
数
满足刻画相反意义的量的需要引入负数
系 整数
5x 6
的
因测量、分配中的等分问题引入分数
扩 有理数
x2 2
充
因度量的需要
实数
这里四个数集之间的关系：
RQ Z N
反思数的发展历程
1. 为什么要对数集进行一次又一次地扩充？ 2. 每一次对数集进行扩充，是如何解决矛盾
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
复数的代数形式： 通常用小写字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
试一试
写出一些复数！
并思考实数与复数 的关系是什么？
1.说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
2 7 , 0.618, 2 i, 0
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
7
i i 2 , 1 3 i, 3 9 2i, 5 +8，
例1: 实数m取什么值时，复数 Z m2 m 2 (m2 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
(1)m= 1 (2)m 1 (3)m=-2
例2: 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯
虚数”的A（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的C（ ）。
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
复数的模
向量OZ的模r叫做复数z a bi的模，记作
| z | 或 | a bi |
思考？
两个复数相等应满足什么条件呢？
如果两个复数的实部和虚部分别相 等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
例2: 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z4=1+mi(m∈R)
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点 在复平面上构成怎样的图形？
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 m 2或
2 m
1
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满