一种判别平面上两二次曲线位置关系的简洁方法
数学毕业论文-判别二次曲面是直纹面的方法毕业论文
判别二次曲面是直纹面的方法数学与信息学院数学与应用数学专业摘要：本文就有关二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以了总结和推广，并对单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面加以了证明，而且还对所运用的判定方法分别进行了举例说明.从而更有利于理论与实践相结合，进一步提高了对各种知识的分析理解能力.关键词：二次曲面；直纹面；单叶双曲面；双曲抛物面；方程；因式分解Quadric discriminant methods are ruled surfaceZhou MinMath Institute with the information and applied mathematics major Grade 2005 Instructor :Zhang San HuaAbstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the summary and the promotion on the related quadratic surface，and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid，moreover also to the decision method which utilized separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies，further enhanced to each kind of knowledge analysis understanding ability.Keywords:quadric surface; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization1 引言通过我们已对二次曲面的学习后，不难看出二次曲面的有关知识的讨论是空间解析几何中非常重要的内容之一，而在二次曲面中的直纹面又是非常重要的一类.直纹面的相关知识在我们实际生活生产中如在建筑行业，机械加工以及医疗，光学等方面的应用都是非常广泛的.总之在我们的日常生活，现代化生产，科学研究等方面对二次曲面中的直纹面知识的运用都是非常广泛的.为此，我们非常有必要对直纹面的相关知识加以了解.所谓直纹面是指如果曲面S上有一族单参数（随着一个参数变化的一族直线）而S的每一点都在这族直线上，S就是我们所说的直纹面，这族直线中的每一条直线都称为直母线[]1.在我们已学过的曲面中的柱面，锥面，特别二次曲面中的椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面都是直纹面.在我们所学过的二次曲面的类型是非常多的，其中有些二次曲面是直纹面而有些又不是直纹面，那么在如此众多的二次曲面中我们如何对其直纹性进行快速而又准确的判定呢？下面我就有关二次曲面是否是直纹面的判定方法加以总结和简单的推广，并结合相关实例进行说明.2 判别曲面是直纹面的方法2.1根据直纹面的定义进行直接的判别直纹面是由一族直线所构成的曲面[]2.简单地说也就是将某一条直线进行一定方向的移动后所形成的一个轨迹，将这个轨迹看成是一个曲面，那么这个曲面也就是我们常提到的直纹面了.像我们平常看到的平面，柱面，锥面等都可以直接看作是其中某一条直线经过移动后所形成的轨迹，将这个轨迹看成一个曲面，从而很自然由直纹面的定义就可以知道，这样的曲面就是直纹面[]3.在中学时代就学过的平面我们可以将其看成是一条直线沿某一个固定方向进行平行移动后所形成的轨迹；由平行于某一个方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲面，叫做柱面.定曲线叫做柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫做柱面的直母线.定方向是直母线的方向，也叫柱面方向.很显然，柱面由它的准线和母线方向所确定，它是直母线沿着准线平行移动所形成的轨迹，也可以看作准线沿着柱面方向平行移动所形成的轨迹；对于锥面，它是指过定点且与一条（不过定方向的）定曲线相交的一族直线组成的曲面[]4.从以上的平面，柱面，锥面的定义可以看出它们都可以看成是一条直线经过移动后所形成的轨迹，是完全符合直纹面的定义的.因此，要是我们遇到可以直接判断出所给的二次曲面是平面，柱面，锥面等，我们就可以直接根据直纹面的定义判断出所给二次曲面是直纹面.2.2 根据二次曲面的方程的特点直接判别 在直角坐标系{}321,,,0e e e 内，我们把由三元二次方程022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面称为二次曲面.这里442434142313221211,,,,,,,,a a a a a a a a a 和33a 是不全为零的实数[]5，根据二次曲面的特点我们可以得到关于二次曲面是直纹面[]6的两个结论.定理1 若方程中0),,(=z y x F 缺少一个变量，则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面．在空间坐标系中，曲面的方程如不含某个坐标表示母线平行于这个坐标轴的柱面.如：(,)=0F x y ， (,)=0G y z ， (,)=0H z x .分别表示母线平行于OZ 轴，OX 轴，OY 轴的柱面.因此是直纹面.定理2 在取定的空间坐标系下，x ，y ，z 的n 次齐次方程的图象是顶点在原点的锥面.证明 设(,,)=0F x y z .是一个n 次齐次方程，则由齐次方程的定义有：(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 将t=0代入上式得(0,0,0)=0F 说明原点在在方程的图象上设非原点1111(,,)P x y z 满足111(,,)=0F x y z 则直线1OP 的方程为：1=x x t ，1=y y t ，1=z z t . 代入 (,,)=0F x y z .得： 111111(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 说明直线1OP 上的每一点均落在方程(,,)=0F x y z 的图象上，从而方程(,,)=0F x y z .的图象是由经过原点的一族直线组成的.即它是以原点为顶点的锥面.推论 1 若方程是关于-a x ，-b y ，-c z 的齐次方程则此方程所表示的曲面是以（a ，b ，c ）为顶点的锥面，因而是直纹面.例1 判定下列曲面[]7是直纹面．(1)2x +xy-2y +x+1=0. (2) 2x +xy+2y -yz-y=0. 解 （1）因为（1）中缺少变量z ，因而我们可以由定理1知道：它表示一个平行 z 轴的柱面，而柱面可以看成是由直线移动所形成的曲面，也就是由直纹面的定义就可以看出（1）是直纹面.（2）将上面可以看成x ，y ，z+1的齐二次方程： 0)1(22=+-++z y y xy x .由定理2和推论1可以知道它表示一个以（0，0，-1）为顶点的锥面，所以它是直纹面.2.3 利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面对于非退化的二次曲面，只有柱面，锥面，单叶双曲面，抛物双曲面是直纹面因此我们对二次曲面是否是直纹面的判定时，我们可以通过二次曲面的化简.首先将一般方程化为标准方程，然后判定它是否是直纹面.下面就空间解析几何二次曲面方程的化简，运用正交变换法和单叶双曲面以及双曲抛物面是否是直纹面等相关知识进行说明.在空间中由三元二次方程：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面叫二次曲面.利用坐标变换通过选取适当的坐标系，我们就可以将二次曲面方程写成以下十七种标准方程的形式之一：（1）22x a +22y b +22z c =1（椭球面）; （2）22x a +22y b +22z c=-1（虚椭球面）; （3）22x a +22y b +22z c =0 （虚二次锥面）; （4）22x a +22y b -22z c=1 （单叶双曲面）; （5）22x a +22y b -22z c =-1 （双曲双曲面）; （6）22x a +22y b -22z c=0（二次锥面）; （7）22x a +22y b =2z （椭圆抛物面）; （8）22x a- 22y b =2z （双曲抛物面）; （9）22x a +22y b =1（椭圆柱面）; （10）22x a +22y b=-1（虚椭圆柱面）; （11）22x a +22y b =0（一对共轭平面）; （12）22x a -22y b =1（双曲柱面）; （13）22x a -22y b =0（一对相交平面）; （14）2x =2py （抛物柱面）; （15）22a x =（一对平行平面）; （16）22a x -=（一对共轭虚平面）;（17）2x =0 （一对重合平面）.这就说明：二次曲面的各种可能的情况共有以上的十七种标准形式.因此，我们可以说三元二次所可能确定的本质上不同的十七种.曲面中除了虚的轨迹与分解为平面（方程（2），（3），（10），（11），（13），（15），（16），（17））以外，对于下面的六种曲面：单叶双曲面（方程（4）），二次锥面（方程（6）），双曲抛物面（方程（8）），椭圆柱面（方程（9）），双曲柱面（方程（12）），抛物柱面（方程（14））.可以看出，这六种曲面中的每一个曲面都可以由一族直线构成[]8.因此，这些二次曲面都是直纹面.接着我们来讨论下如何运用正交变换法对二次曲面进行化简.设一般二次曲面的方程为：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .（其中二次系数不全为零，全部系数均为实数ji ij a a = i ，j=1，2，3，4）.方程的左端显然不是二次型，只有二次部分才是.这样直接寻找一个正交变换，既可以消去交叉项又能消去一次项或常数项是比较困难的.只有作旨在消去交叉项的，正交变换后使新方程左端仅含平方项，一次项和常数项，再利用配方，又作一次正交变换来化简二次曲面的方程是可行的，与坐标变换比较起来更简捷得多.其具体的化简方法，我们可以通过如下的一个非中心型二次曲面的例子来说明.例2 化简二次曲面方程并对其是否是直纹面作出判断.06121248444222=+---+-++z y x yz xz xy z y x . (1)解 将（1）中的x ，y ，z 分别换成1x ，2x ，3x 得:06121248444321323121232221=+---+-++x x x x x x x x x x x x . (2)其中二次型为，()323123222132131313214844,,x x x x x x x x x x A x x x x x a i j j i ij --++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== . (3)由二次曲面的方程可以得到A 的系数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----424212424 ，其中A 的特征方程为：0424212424=-------=-λλλλI A ， 特征根为： 021==λλ，93=λ.对于 021==λλ，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424212424321x x x .它的系数矩阵的秩为1，故只需解一个方程：022321=+-x x x .容易得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂10114121，.单位化后分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012114118121ρρ，.对于93=λ.解齐次方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000524282425321x x x .它的系数矩阵的秩为2，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂2123.单位化后为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21231，显然： :32,1彼此是正交的所以ρρρ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==32211813101843221181321ρρρρ，(4)不难验证：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='90000ρρA ， 通过正交变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132211813201843221181y y y x x x（5）即 ： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-=+-=321331232113221181311813221181y y y x y y x y y y x .原二次型（3）变为923y . (6)将（5）代入（6）得到0292992123=+-y y y ，即为022*******=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--y y y .再作变换：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-='3212122222222y z y y y y y x ，即正交变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''3211000222202222y y y z y x . 后得由曲面的规范方程为x z x z '='='-'2,0222标准方程为.则它所表示的是抛物柱面，即为直纹面.其次我们来讨论下单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性.我们知道一个二次曲面是柱面或锥面，它一定是直纹二次曲面.例如，当二次方程 (,,)=0F x y z .的左边只有二次项，没有常数项和一次项.则它是一个锥面（称为二次曲面）即是直纹面.又若(,,)F x y z 中有一个变量没有出现，则它是一个柱面（称为二次曲面），也是直纹面.如果有：0))((),,(22221111=++++++=D z C y B x A D z C y B x A z y x F .记 i ∑ 为平面i i i (+By+Cz+D )0i Ax =（i=1，2）则二次曲面 (,,)=0F x y z 是1∑和2∑ 的并集，它或是两张相交平面（当1∑ 和 2∑相交时）或是两张平行平面（当 1∑ 和 2∑ 平行而不重合时）或是一张平面（当1∑ 和 2∑重合时）.无论何种情况，它都是直纹面.对于单叶双曲面.在二次曲面中的单叶双曲面方程为在二次曲面中的单叶双曲面方程为： 1222222=-+cz b y a x . （1）这里c b a ,,是3个正常数． 定理3 单叶双曲面为直纹面.证明 1222=++Cz By Ax . (1)其中C B A 、、均为非零实数，设曲面（1）上存在的直线的方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y lt x x 000 ，R t ∈. (2)由（2）式代入（1）可得到1)()()(202020=+++++tn z C tm y B tl x A .即01)(2)(2020200002222=-++++++++Cz By Ax t n Cz m By l Ax t Cn Bm Al .因为对于任意的R t ∈上式均成立，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=++0100202020000222Cz By Ax n Cz m By l Ax Cn Bm Al . (3)由（3）中最后一个等式可以知道000,,z y x 不能同时为0不妨设00≠x .由（3）式中第二个等式可以得到：0)()(2))((2022000220220=++++z C ACx nm z BCy n m y B ABx . 又因为nm 为实数上式有实数解的条件为： 0))((2022020220202022≥++-z C ACx y B ABx z y C B ，经整理可以得到：0)(20202020≥++-Cz By Ax ABCx .由于A ，B ，C 为非零实数，所以有ABC <0.因为A ，B ，C 不能全为负，只能两正一负，所以在椭圆面和双曲面中只有单叶双曲面是直纹面．对于双曲抛物面：z By Ax 222=+. （4）其中A ，B 为非零实数，若其上存在直线，则由式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y tl x x 000 ， R t ∈.代入（4）式可以得到：02)(2)(020*******=-++-+++z By Ax t n m By l Ax t Bm Al .由于上式对于任意t 都成立，所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+0200020200022z By Ax n m By l Ax Bm Al . （5）由（5）式 中第二个式子可知l ，m 不能同时为0，否则n m l ,,会为0.又由（5）式中的第一个式子可知B A ,必须异号.由上可知，在抛物面中只有双曲抛物面是直纹曲面.2.4 因式分解二次曲面方程判定其直纹性在空间解析几何教材中，在标准方程形式下证明了单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面，并给出了直母线族的方程，那么这种方法可以推广到一般的二次曲面方程中去，从而去判别一个二次曲面是否为直纹面.若是直纹面还可以得到它的直母线方程.定理4 非退化的二次曲0,,=）（z y x F 若能分解成 ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x F z y x F z y x F =. （1）其中),,(1z y x F )4,3,2,1(=i 的次数小于等于1.则0),,(=z y x F 是直纹面，并且它的直母线可以表示为：⎩⎨⎧==),,(),,(),,(,,4231z y x wF z y x uF z y x uF z y x wF ）（ ，（w ，u 不全为零）. （2） 或 ⎩⎨⎧==),,(),,(),,(),,(3241z y x tF z y x vF z y x vF z y x tF ， （t ，v 不全为零）. （3） 其中v t u w ,,,是使上式有意义的参数.推论 2 若（1）（2）表示相同的直线族，则此曲面是柱面或锥面.当直母线族的方向向量与参数无关时，此时的曲面一定是柱面，当通过一定点时，它一定是锥面.例3．判断下列曲面的类型.2)()1(a z y y x =++）（. 222)()2(a a z y z x =-++-）（.解 （1）因为a a z y z x ⋅=++))((是（1）的形式，故是直纹面.又因为43F F ≡故式（ 2 ）与式（3 ）相同.所以可以逐步判断出它是柱面或是锥面.下面我们通过推论中所讲的方向向量确定其是柱面还是锥面.直线族：⎩⎨⎧=+=+aw z y u au z x w )()(. 的方向向量是 },1,1,1{-所以可以判断出它是锥面.（2）因为方程：222)()(a a z y z x =-++-.可以改为：)2)(())((z y a z y z x z x --+=--.故它表示为一个柱面或锥面，而直母线族：⎩⎨⎧--=-+=-)2()()()(z y a w z x u z y u z x w . 的方向向量：⎩⎨⎧w u - u w u w ---，u w u w --- u w ，u w w u -⎭⎬⎫}1,1,1){(22-+=u w . 所以它表示为一个柱面.对于直纹面中的柱面和锥面还可以讨论其特殊性.例4 证明：xy z 22=表示为一个圆锥面.证明 因为方程xy z 22=是关于z y x ,,的齐二次方程，所以它表示一个顶点在原点的锥面.要证明它表示为圆锥面.只须证明它的直母线与固定方向成定角，为此求出它的直母线族方程为:⎩⎨⎧==wyuz ux wz 2. 其中方向向量为：=⎩⎨⎧w 0 u w --，u w -- 02u ，02u w 0 ⎭⎬⎫ }{uw u w ,2,22=. 取三条直母线，方向向量}2,2,1{},0,0,1{和}2,2,1{-.（这里1:1,1:1,0:1:-=u w ） 令.)2(21},,{}2,2,1{,221},,{}2,2,1{,001},,{}0,0,1{222222222222222222z y x z y x z y x z y x zy x z y x ++⋅-++⋅-=++⋅++⋅=++⋅++⋅解得 0:1:1::=z y x . 令}0,1,1{0=v而2244224422u w u w u w +++=.θcos 22== （其中θ为直母线族与定方向0v 所成的角），从而：=∈=θπθθ）、有，（在022cos 45°知道直母线族于定方向0v 是成定角.故其方程表示为一个圆锥面.2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定设有二次曲面∑23323132221221122),,(z a yz a xz a y a xy a x a x y x F +++++=022443414=+++a z a y a . (1)记yz a z a xz a y a xy a x a z y x 232331322212211222),,(+++++=φ.⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=342313324221221412111),,(),,(),,(a y a x a z y x F a y a x a z y x F a y a x a z y x F .则有如下的二次曲面直纹性判定定理：定理5 给定二次曲面∑（方程为（1））对于∑上任意一点),,(z y x M '''如果方程⎩⎨⎧='''+'''+'''=0),,(),,(),,(0),,(321z y x pF z y x F z y x mFp n m φ. (2) 有非零实数解m:n:p 则∑是直纹面，并且{}p n m ,,为∑在过点M 处的直母线方向.证明 要证明∑是直纹面，只须证明对于∑上任意一点),,(z y x M '''过点M 总有直线落在∑上，为此，过点M 的直线为L ，其方程为：pz z n y y m x x '-='-='-. （3） 于是（1）的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000 ， （t 为参数）. （4）今假设整条直线L 落在∑，故对一切t 的取值（4）应满足（1），将（4）代入（1）整理即得关于t 的恒等式：. 而 M 点在∑上，所以有恒等式：()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ.(5)（5）恒成立的的充要条件是方程组（2）成立.因此，若（2）有非零实数解m:n:p ，则总有直线（3）落在∑上，即知∑是直纹面，并且（3）为∑的直母线.例5 判定曲面∑()()()1222=-+-+-ay bx cx az bz cy .是否是直纹面，其中a ，b ，c 为不全为零的常数.解 将∑的方程展开为()()()01222222222222=----+++++bcyz acxz abxy z b a y c a x c b ， z ac y ab x c b z y x F '-'-'+=''∴)(),,(221.z bc y c a x ab z y x F '-'++'-=''')(),,(221，z b a y bc x ac z y x F '++'-'-=''')(),,(223，从而 ),,(),,(),,(321z y x pF z y x nF z y x mF '''+'''+'''=))(())(())((y a x b an bm x c z a an ap z b y c bp cn '-'-+'-'-+'-'-. 又 222)()()(),,(an bm am ap bp cn p n m -+-+-=φ，利用定理5中的(2)得方程组：⎩⎨⎧='-'-+'-'-+'-'-=-+-+-0))(())(())((0)()()(222y a x b an bm x c z a cm ap z b y c bp cn an bm am ap bp cn . 解之得：cn-bp=ap-am=bm-an=0即m:n:p=a:b:c 因此由定理知∑是直纹面，并且由于过∑上任意一点()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ),,(z y x M '''处的直母线方向为常向量{}c b a ,,，还可以进一步知道∑是柱面.结束语本文在空间解析几何中的二次曲面的相关知识基础上，就直纹面的定义，常见的直纹面，利用二次曲面方程的特点，二次曲面方程的化简，将二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段来对二次曲面的直纹性做出了判别.对于相应的判别方法都加以举出实例进行说明.致谢在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，张三华副教授给予了我耐心，细致和全面的帮助.在此我特向张老师表示感谢！参考文献[1]蒋大为 .空间解析几何及其应用 [M] . 科学出版社 . 2004.7.[2]梅向明 ，黄敬之.微分几何 [M] . 高等教育出版社. 2003.12..[3]黄宣国 .空间解析几何 [M] .复旦大学出版社 . 2004.8.[4]龙承生.解析几何 [M] .北京大学出版社. 2004.1.[5]李养成. 空间解析几何[M].科学出版社 .2007.8.[6]谭水木.二次曲面直纹性的判定[J]. 许昌师专学报. 1996--6 .[7]陈绍菱.空间解析几何习题试析[M].北京师范大学出版社. 2004.11.[8]黄艳红.二次曲面的讨论[J].刑台职业技术学院学报 . 2004.2.[9]方荣凡. 二次曲面方程的化简[J]. 菏泽师专学报 .1995年第4期.目录摘要 (1)1.引言 (1)2．判别曲面是直纹面的几种方法 (2)2.1根据直纹面的定义进行直接的判别 (2)2.2根据二次曲面的方程的特点直接判别 (2)2.3利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面 (3)2.4因式分解二次曲面方程判定其直纹性 (9)2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定 (12)结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (14)。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
重难点02直线与双曲线的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
综上所述，实数 k 的值为 5
2
消 去 y， 得 5 x 2 6 x 27 0
设
A、
B
两
点
的
坐
标
分
别
为
(
x
，
1
y1
)、(
x
，
2
y2
)
6
27
x1 x2 5 , x1 x2 5
弦 长 | A B | | x1 x 2 | 1 k 2
( x1 x2 )2 4 x1x2 1 k 2
3
x
2
kx y2
1
可 1
得 (3
k
2
)x
2
2kx
2
0
直线与双曲线有两个交点需满足
3 - k 2 0
4k 2
8(3
k
2
)
<
0
解 解得 得 k6 k 6 或6 且k k 6 3
当当k 6 k6或k6且 k 6时 ，3时直，线直y 线 kyxk1x与 1 与双双曲曲线线33xx22-- yy22 11有没两有个交交点点
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2 ＞0 异侧: x1 x2 ＜0
一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
特别注意直线与双曲线的 位置关系中：
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
8(3
k
2
)
0
解 得 6 k 6且 k 3
当 6 k 6且 k 3时 ， 直 线 y kx 1 与 双 曲 线 3 x 2 - y 2 1有 两 个 交 点
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
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直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
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[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
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2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
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求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定直线与双曲线是在平面几何中经常遇到的图形，它们的位置关系和判定在数学学科中是一个重要的概念。
在本文中，我们将详细讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的定义。
直线是平面上的一条无限延伸的线段，其特点是任意两点可以确定一条直线。
双曲线是平面上的一种二次曲线，其数学表示为一个方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1的曲线。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
现在我们开始讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
一、直线与双曲线的位置关系在平面几何中，直线与双曲线可以有以下几种位置关系：1.直线与双曲线相交：当直线与双曲线有交点时，它们的位置关系为相交。
这时可以有以下几种情况：直线与双曲线相交于两个点，此时直线穿过双曲线的两个分支；直线与双曲线相交于一个点，此时直线穿过双曲线的一个分支；直线与双曲线相切，此时直线与双曲线相切于某一点；2.直线与双曲线相离：当直线与双曲线没有交点时，它们的位置关系为相离。
在这种情况下，直线与双曲线之间没有交集，它们分别存在于平面上的不同位置；3.直线包含在双曲线内部：当直线包含在双曲线的两个分支之间时，它们的位置关系为包含。
此时可以看作直线被双曲线所包围，直线完全位于双曲线的内部；4.直线与双曲线重合：当直线和双曲线完全重合时，它们的位置关系为重合。
此时直线与双曲线完全相同，即它们的方程相同，所以是同一条曲线。
二、直线与双曲线的判定在平面几何中，我们常常需要判定给定的直线和双曲线的位置关系，这是一个重要的数学问题。
下面讨论一下如何判定给定直线和双曲线的位置关系：1.直线与双曲线相交的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相交，可以通过解直线方程和双曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上即可。
如果交点在双曲线上，那么说明直线与双曲线相交；如果交点不在双曲线上，那么说明直线与双曲线相离。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
二次曲线的定义
二次曲线的射影定义
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A(M ) B(M ).
设
AM OP BM OP
K K
则有 A(M ) OP(K )
B(M ) OP(K )
所以只要证 OP(K ) OP(K ).
设 OA BM A,OB AM B.
O(P) O(P), O(A, B, P, M ) O(A, B, P, M ).
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
由本定理的证明可知，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
特殊 ( l 属于 Γ′ )：
Tl 0
(6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。
二次曲面和平面位置关系的判式
和平 面
Ａｘ＋ Ｂｙ＋ Ｃｚ Ｄ 一 ０ ＋ （） ２
的 相对 位 置 的判 别 式
ｎｌ Ａ ４
ａ２ ４
△
３４
Ｂ Ｃ Ｄ
Ｏ
（ ３）
１４
Ｄ
并证明了 ： Ａ 若 ＞０ 则 二 次 曲 面 （ ） 平 面 （） 交 ； △一０ 则 （ ） （ ） 切 ； ／ ０ 则 （ ） （） ， １与 ２相 若 ， １和 ２相 若 Ｘ ， １和 ２ 相离 （
：
ｎ ｂ ｆ
— ｄ Ｄ Ｄ ０
Ａ Ｂ Ｃ
广 ＜
ｉ
第 ５行及 第 ５列各乘 以 Ｋ， 则 化 为 ， Ｋ 一 即 一 ． 以， ＞０时 ， 面与 平 面相 交 ； 故 ， 所 当 球 当
一０时 ， 面与平 面相切 ； ＜Ｏ时 ， 面与平 面相离 ． 球 当 球
一
（） ６
于 是
［ 稿 日期 ］ ２ ０—７１ 收 ０ ６０—０ ［ 金 项 目］ 菏 泽 学 院 ２ ０ 年 度 科 学 研 究 基 金 项 目（ Ｙ ６ Ｘ １ 基 ０６ Ｘ ０Ｓ ０ ）
１４ ７
１ ０ ０
大 学 数 学
０ ０
第２ ４卷
Ｏ
一
ｌ Ｏ
２ 二 次 曲面 与 平面 位 置 关 系判 定
按 照射 影几何 的观点 ， 次 曲面 是 由球 面经 射影 变换 而得 到 的 ， 面 经过 射 影变 换 后仍 是 平 面 ， 二 平 且
在射影 变换 下 ， 面结合 性不 变 ， 线结合性 不 变 ， 经射影 变换 ， 点 点 故 截线 圆变成二 次 曲线 ． 射影变 换 ， 经 曲
［ 关键 词 ］ 二 次 曲面 ； 面 ； 影 变 换 ； 对 位 置 平 射 相 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１２ ２ 中 ８ ． ［ 献标识码］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２０ ）６０ ７—４ 文 ６ ２１５ （０ ８ ０ —１３０
平面曲线的判定与初中几何应用
平面曲线的判定与初中几何应用在初中数学中，学生们学习了许多基础的几何知识，其中包括平面曲线的判定和应用。
平面曲线是几何学中的重要概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将探讨平面曲线的判定方法以及它们在初中几何中的应用。
一、平面曲线的判定方法平面曲线的判定方法有很多种，下面介绍几种常见的方法。
1. 直线判定：直线是最简单的平面曲线，它由无数个点组成，且任意两点可以确定一条直线。
在初中几何中，学生们学习了直线的判定方法，如两点确定一条直线、斜率相等的两条直线平行等。
2. 圆判定：圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的所有点组成的。
在初中几何中，学生们学习了圆的判定方法，如给定圆心和半径、给定直径等。
3. 抛物线判定：抛物线是一种特殊的曲线，它的形状像一个弯曲的碗。
在初中几何中，学生们学习了抛物线的判定方法，如给定焦点和准线、给定顶点和焦距等。
4. 椭圆判定：椭圆是一种特殊的曲线，它的形状像一个拉长的圆。
在初中几何中，学生们学习了椭圆的判定方法，如给定焦点和准线、给定焦点和两个顶点等。
5. 双曲线判定：双曲线是一种特殊的曲线，它的形状像两个分离的开口。
在初中几何中，学生们学习了双曲线的判定方法，如给定焦点和准线、给定焦点和两个顶点等。
二、平面曲线在初中几何中的应用平面曲线在初中几何中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用。
1. 圆的应用：圆是几何学中最常见的曲线之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
例如，我们常常使用圆来描述轮胎的形状，圆形的轮胎能够更好地与地面接触，提供更好的摩擦力。
此外，圆还被广泛应用于建筑、机械制造等领域。
2. 抛物线的应用：抛物线是一种特殊的曲线，它在现实生活中也有着许多应用。
例如，抛物线的形状可以用来设计喷泉的喷水路径，使得喷水能够更好地展示出美丽的水花。
此外，抛物线还被应用于抛物线天线、抛物线反射器等领域。
3. 椭圆的应用：椭圆是一种特殊的曲线，它在现实生活中也有着许多应用。
二次曲线的一种简便化简方法
二次曲线的一种简便化简方法
简化二次曲线，即称为几何简化，也叫做几何对数线，是一种重要的数学图形几何处理技术。
它旨在简化复杂的曲线，从研究和计算的角度减小误差，使曲线具有更加简洁、有用的特性，以便有效地进行计算。
当两条曲线存在较大的动态误差时，简化二次曲线的作用才能有效发挥。
简化二次曲线的主要目的是要使曲线不断变化的各段段点，使之均匀满足曲线的精度和要求，减少曲线噪点。
另外简化二次曲线还可以用来处理曲线上的贴近点，使贴近点更加规则，从而提高曲线的鲁棒性。
与传统的曲线处理技术相比，简化二次曲线具有简洁、易推理、高效率等优点，对于界面图形、机械加工曲线、医学图像识别等应用领域尤其重要。
简化二次曲线的基本方法是：根据曲线的实际特性，使曲线不断变化的各段段点有一致的步长，并且步长和弹跳次数等参数必须满足指定的精度要求。
几何简化可以分为两个步骤：首先，确定简化二次曲线的参数精度，然后以此精度对曲线上的点进行简化处理。
最后，根据节点的几何关系来确定拐点的外推关系，形成合理的几何曲线。
简化二次曲线是当今计算机图形学中重要的高级处理技术，可为计算机图形图像的形状分析和计算处理提供严密的数学标准支持，从而使更加精确、更加复杂的图形图像变得更为可能。
高中数学选择性必修一双曲线的简单几何性质(第2课时)
(2)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2，0)作斜率为
15 5
的直线，交双
曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线方程．
(1)|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝ （1＋a2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ （1＋a2）[3－2aa22＋3－8 a2]
＝2
（1＋a2）（6－a2）
|3－a2|
.
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则 O→A · O→B ＝0，即x1x2＋y1y2＝ 0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0. 即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0， ∴(1＋a2)·3－－2a2＋a·3－2aa2＋1＝0， 解得a＝±1. 经检验，当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
所以双曲线的标准方程是x42－y52＝1.故选B.
(2)已知双曲线x2－
y2 2
＝1，问过点A(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，
Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明
理由．
【解析】 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 xx1222－ －yy221222＝ ＝11， ，作差可得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)．
思考题2
已知双曲线方程为x2－
y2 4
＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有
一个公共点，则l的条数为( B )
例谈运用代数法判断直线与双曲线位置关系的思路
探索探索与与研研究究判断直线与双曲线位置关系的方法主要有代数法和几何法.运用几何法来判断直线与双曲线的位置关系较为便捷，且运算量较小，因而很多同学习惯于运用几何法，而忽略了代数法.下面着重研究一下如何用代数法判断直线与双曲线的位置关系.一、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系有三种：相交（如图1、2）、相切（如图3）、相离（如图4）.当直线与双曲线相交于一点时，直线与双曲线的渐近线是平行的.当直线与双曲线相切时，切点是唯一的公共点.图1图2图3图4二、用代数法判断直线与双曲线位置关系的思路设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直线与双曲线的位置关系有如下几种情形：1.当直线的斜率存在时，设直线l:y=kx+m,将直线的方程代入双曲线的方程中得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0（1）.方程（1）是关于x的方程，且二次项的系数中含有参数，所以此方程可能是一元二次方程，也可能不是.若b2-a2k2=0,即k=±b a，则方程（1）不是一元二次方程.若m≠0,则方程为一次方程，有1个解，此时直线l与双曲线C相交于一点，直线l与渐近线平行.若b2-a2k2≠0，方程（1）是一元二次方程，它的解有三种情况.当△>0时，方程有2个解，直线l与双曲线C相交于两点；当△=0时，方程有1个解，直线l与双曲线C相切于一点；当△<0时，方程无解，直线l与双曲线C相离.2.当直线的斜率不存在时，设直线l:x=n,将直线的方程代入双曲线的方程中得b2n2-a2y2=a2b2（2），方程（2）是关于y的方程，且y2的系数不等于零，所以方程（2）是关于y的一元二次方程，它的解有三种情况.当△>0时，方程有2个解，直线l与双曲线C相交于两点；当△=0时，方程有1个解，直线l与双曲线C相切于一点；当△<0时，方程无解，直线l与双曲线C相离.总之，不管直线的斜率存不存在，只要将直线的方程代入到双曲线的方程中，消去一个未知数，就可以得到一个关于x或y的方程，若该方程是一元一次方程，则直线与双曲线相交于一点；若该方程是一元二次方程，则需判断其判别式△与0之间的关系.若△>0，则直线与双曲线相交于两点；若△=0,则直线与双曲线相切于一点，若△<0,则直线与双曲线相离.例题:已知直线l:kx-y+2=0,双曲线C：x2-4y2=4,当k为何值时，（1）l与C无公共点？（2）l与C有唯一的公共点？分析：（1）l与C无公共点，即l与C相离，需将直线的方程代入到双曲线的方程中，得到一元二次方程，使其△<0,且保证二次项系数不等于0.（2）l与C有唯一的公共点可能是交点，也可能是切点，需分两种情况讨论.解：（1）将y=kx+2代入x2-4y2=4中得(1-4k2)x2-16kx-20=0,要使l与C无公共点，需使ìíî1-4k2≠0,2-4(12(-20)<0,解得k>或k<故当k>或k<时，l与C无公共点.（2）若公共点是交点，则方程(1-4k2)x2-16kx-20=0是一元一次方程，需满足{1-4k2=0,-16k≠0,解得k=±12;若公共点是切点，则方程(1-4k2)x2-16kx-20=0是一元二次方程，需满足ìíî1-4k2≠0,(-16k)2-4(1-4k2)∙(-20)=0,得k=综上可知，当k=±12,或时，l与C有唯一公共点.可见，用代数法判断直线与双曲线的位置关系，需注意三点：（1）熟悉直线与双曲线的三种位置关系，及其与一元二次方程根的对应关系；（2）构造一元二次方程，讨论其二次项的系数和△；（3）明确直线与双曲线只有1个交点包含了两种情况.（作者单位：陕西省神木市第七中学）50。
2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：9-5椭圆 Word版含答案
第5讲椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质．知识梳理1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形．(2)由于e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2021·广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．9解析依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.答案 B3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1解析由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝43，故a＝3，又由e＝ca＝33，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为x23＋y22＝1，故选A.答案 A4．(2022·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34解析 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12，故选B.答案 B5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又由于点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，依据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．故选A. (2)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)A (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等． (2)椭圆的定义式必需满足2a ＞|F 1F 2|.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D. 3(2)(2021·南昌调研)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1 考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后依据条件建立关于a ，b 的方程组，假如焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可．【训练2】 (1)(2021·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案 (1)A (2)x 24＋y 23＝1 考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2022·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)(2021·福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝ma ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 (1)A (2)A规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (1)(2022·合肥模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)由于|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b ＞c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2022·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． (1)证明 由于|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题经常用“点差法”解决，往往会更简洁．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 提示 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下进行的，不要忽视判别式． 【训练4】 (2021·沈阳质量监测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)． 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意． 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0， 解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、把握定义是关键，应留意定义中的常数大于|F 1F 2|，避开了动点轨迹是线段或不存在的状况．2．求椭圆的标准方程，常接受“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是依据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．推断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要留意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题经常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要留意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A ．5 B ．3 C ．5或3 D ．8解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 C2．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．则有⎩⎨⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案 D4．(2021·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案 B5．(2022·江西师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.2327解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B. 答案 B 二、填空题6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎨⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x29＝1. 答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝17．(2021·南昌质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2021·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)依据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝2 7.10．(2021·宝鸡月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .由于AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92. 力量提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2022·高安模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B.3－12 C.32 D.3－1解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1，故选D.答案 D12．(2021·海沧试验中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，455 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又由于d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255.故选B. 答案 B13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2021·西安质监)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解 (1)由题意得c ＝3，依据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y216＝1.(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2相互平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，由于F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，∴e ＝32.法二 设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2相互平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝32.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14. 即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 故直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
直线与二次曲线位置关系的判定
直线与二次曲线位置关系的判定
两条直线的位置关系：平行、相交。
两种。
分析过程如下：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行、相交。
在空间中两条直线的位置关系有三种：平行、相交、异面。
假定两直线不平行，那么就必定相交。
这样，这两条不平行的直线就与第三条相截的直线构成一个三角形。
其中的一个同位角就成了三角形的外角。
因为三角形的外角等同于与它不相连的两个内角的和，即为：其中的一个同位角等同于另一个同位角和不相连的内角的和。
所以，其中的一个同位角不等同于另一个同位角。
也就是两直线不平行同位角不成正比，反之必定设立。
平行线的性质：
1、平行于同一直线的直线互相平行；
2、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
3、两平行直线被第三条直线所封盖，内错角成正比；
4、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
平面二次曲线的一种分类法
平面二次曲线的一种分类法
方丽菁
【期刊名称】《广西民族大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(000)001
【摘要】本文利用中心点和奇点对图形的全局影响来对平面二次曲线进行分类，这种分类法不同于通常使用的不变量法；另外本文还通过两种分类法的联系来展示它们之间的关系．
【总页数】7页(P30-36)
【作者】方丽菁
【作者单位】广西民族学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O182
【相关文献】
1.非退化二次曲线的另一分类法及其性质 [J], 吴健文
2.一种判别平面上两二次曲线位置关系的简洁方法 [J], 谌炎辉;胡义华;李冰
3.关于机构定义及平面多杆多环连杆机构一种分类法的商榷 [J], 刘深厚;马晓玲
4.一种求二次曲面切平面及二次曲线切线方程的方法 [J], 马亚利
5.一种用二次曲线偶逼近三次平面Bezier曲线的算法 [J], 杜玉越;郭翠香
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二次曲线中,慎用“Δ”
二次曲线中，慎用“Δ”山东邹城二中 蒋雪芹关于直线与二次曲线的位置关系的判断，我们可以把直线方程和二次曲线方程联立方程组消去一个变量，得到一个一元二次方程或一元一次方程，对于第二种情况，显然。
第一种情况，我们可利用一元二次方程的判别式即“Δ”来判断：10 Δ＞0时，方程有两根，则直线与二次曲线有两个交点，即相交； 20 Δ＝0时，方程有一根，则直线与二次曲线有一个交点，即相切； 30 Δ＜0时，方程无实数根，则直线与二次曲线无交点，即相离。
有的同学把此判断方法推广到了两二次曲线位置关系判断中，请看下题：已知定点A （a ，0），其中0＜a ＜3，它到椭圆14922=+y x 上点的距离的最小值为1，求a 的值。
解法一：以（a ，0）为圆心，以1为半径作圆（x-a ）2+y 2=1 ①,使得与椭圆14922=+y x ②相切，联立方程组①,② 消去y 2得：0329522=++-a ax x ③ 要圆与椭圆相切，只需③中Δ＝0，即Δ＝4a 2-4×95(a 2+3)=0 解得： a=215± ∵0＜a ＜3∴a=215 解法二：设A （a ，0）到椭圆上点的距离为d ，椭圆上任一点坐标设为（x ，y ），则y 2=4-94x 2，则 d 2=（x-a ）2+y 2=95(x-59a)2-54a 2+4 (-3≤x ≤3) ∵0＜a ＜3∴0＜59a ＜527 下面分情况讨论：10 当0＜59a ≤3即0＜a ≤35时，x=59a 时，d 取最小值 d min =1454454)5959(95222=+-=+--a a a a解得： a=215＞35（舍） 20 当3＜a 59＜527即35＜a ＜3时，x=3时，d 取最小值 d min =1454)593(9522=+--a a 解得： a=2或4（舍）综上可得： a=2点评：此解法是把距离d 表示为x 的二次函数，然后定区间上求最值。
判别平面上两个椭圆位置关系的代数条件_刘洋
关于两椭圆的广义特征多项式也不变 , 因此 , 可以将
椭圆的方程简化为
A
∶ax22
+
y b
2 2
=1 ;
B ∶(x - xc)2 +(y -yc)2 =1.
其中 , 0 <a ≤b , 1 ≤b 对应的二次型为
1 a2
0
0
A=
0
1 b2
0,
0 0 -1
10
-xc
B= 0 1
-yc .
- xc
-yc
x
=(x , y , 1).易验证 a2 X0 A X T =X 0 BXT , 故 X0 是 两圆的公切点.可证 yc ≤b , 因此 X 0 是内切点.
当 a2 >b 时 , 上述 方程组无解.再由 yc ≤b
知 A 内含于 B.
证毕.
引理 6.若 A 和 B 有公共的内点 , 则 f (λ)=0
f(-a 2)=
a2 b2
-1
x2c ,
f(-b2)=
b2 a2
-1
y2c , 由此易知结论成立.
证毕.
引理 2.若 0 <a ≤b , 则 f (λ)=0 在[ -b2 ,
-a2] 中必有一根.
证明.由引理 1 , 结论显然.
引理 3.如果 f (λ)=0 有一个二重根且其不为
-a2和 -b2 , 则 A 和 B 有一个实切点.
2 c
+y2c
-1
于是 , 关于两椭圆的广义特征多项式为
f (λ)=det(λA +B)=-1 +
a
2
y
2 c
+b
2
二次曲线的线性评价
二次曲线的线性评价
二次曲线的线性评价主要涉及到二次曲线的对称性、焦点和直线的位置关系等几个方面：
1. 对称性评价：二次曲线可以分为三种情况进行对称性评价，即关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称，通过观察二次曲线的方程可判断对称性。
2. 焦点评价：二次曲线有两种特殊情况，即椭圆和双曲线，它们都有焦点。
对于椭圆，焦点在椭圆内部，且离中心越近越偏离圆形；对于双曲线，焦点在两支曲线的外部，由曲线的离心率决定焦点的位置。
3. 直线位置评价：二次曲线与直线的位置关系可通过曲线与直线的交点数目和位置来判断。
二次曲线与直线可能有两个交点、一个交点或者没有交点，通过求解方程组来确定交点的坐标。
综上所述，二次曲线的线性评价主要包括对称性评价、焦点评价和直线位置评价。
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（ ）（ｚ ＋ａ ＋ ０ ｌ ２ ＋ ｎ ２， ） ２ １
… ＝
ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ
由文 献 ［］ ５ ，有 ：当 ＝０ 二 次 曲 线 是 退 化 的 的二 次 曲线 ，否则 二 次 曲 线 是 非 退 化 的 ， 由于 退
ｌ ：
ｌ ０ ２￣ ＋ （２ ａ） ａＹ
Ｉ
两 二 次 曲线 相 交 ，其 交 点 可 以 由两 二 次 曲 线 的方程 联立 为方 程组 而求得 ：
该 方 法 牵 涉 到 了复 杂 的仿 射 变 换 和 数 学 证 明 ，且 具 有 一 定 的局 限性 。文 献 ［］ 使用 仿 射无 限变 换 ４则 来 求 解 两 二 次 曲线 的 位 置 关 系 。本 文 则 使 用 了一
１（Ｙ）０ ＩＸ ＝ ０ ＝ ，
，
设 Ｆ ） ， ｌ ＝０
可 以把 Ｆ ） ， ＝０
） ＝Ｏ为 两 个 实 系数 的 一般
） ＝０看 成 是 关于 坐 标 参 数
二 次 曲线 方 程 ，要 求 式 （） 实 数 域 中的 全部 解 ， ２在 的 多 项 式 ，然 后 按 照 文 献 ［］ 立 结 式 而 解 得 。 ６建 为 建立 结式 可将 两二 次 曲线方程 写 为 ：
谌 炎 辉 ，胡 义华 ，李
冰’
ＣＨＥＮ Ｙ ｎ ｈ ｌ ＨＵ Ｙｉ ｕ Ｌ ｎ ａ ．ｕ 。 ． ． ａ． ｌ ｈ Ｂｉｇ。
（ ． 工学 院 机械工程系 。柳州 ５ ５ ０ ；２广西工学院 鹿 山学 院 ，柳州 ５ ５ １ ） １广西 ４０ ６ ． ４ ６ ６ 摘 要 ： 本文用 结式法求 出了两二次曲线 的交点 ，并给出了 一种判 别交点是否为 切点的方法 。使 用本 文所提 出的方法 能快速准 确的判别 出两二 次曲线的关系 ，求出所有的交点 并判断其是否为 切 点 ，该方法简单并便于计算机 编程实现。 关键词 ： 二次曲线 ；退化 ；结式 ；相交 ；切点 ；位置
（， ＝ｑ１ ＋ （ ） １ ２ Ｘ ＋ ｌ ＋ 口２ ２ １ １ １ ３ （ ＋ ａ ＋ ３ ） Ｙ ２ ３ ）
种 简 单 的 数 学 方 法 来 判 别两 二 次 曲线 间 的位 置 关
系 ，该方 法 简单且 能 求解 出其 交点 （ 或切 点 ） 。
１ 二次 曲线 的一般形式及相关知识
ｌ
一
訇 似
种 判别平面上两二次 曲线位置关系的简洁方法
Ａ ｍ ｐｌ ｅｔ ｓｉ ｅ ｍ ｈｏｄ ｏｆ ｃｌ ｓｓｉｙｉ ｈｅ ｐｏ ｔ ｏｎ ｅｌ ｔ ｏｎ ａ ｆ ｎｇ ｔ ｓｉ ｉ ａｌｒ ａ ｉ ｓｈｉ ｐ ｏ ｗ ｏ ａｎ ｆｔ ｐｌ ａｒｃｏｎｉ ｃ ｃｕｒ ｖｅｓ
中图分类号 ：Ｔ ９ Ｐ３ １ 文献标识码 ：Ｂ 文章编号 ：１ ０ － １４ ２１ ） ７上 ） ０ ８ － ３ ９ ０ （ ０ ０ （ － ０ １ ０ ０ ３ ２
Ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉｓ ．０ ９ ０ ．０ ．（ ） ２ ｏ： ３ ６Ｉ ． ｎ １ ０ － １４ ２ １ ７ 上 ．５ ０ ／ ｓ ３ ２
况下 判 别两 椭 球 的位 置 关 系 。文 献 ［， 则 使用 在 ２３ ］ 经 过 仿 射 变 换 后 再 利 用 广义 特征 方程 的方 法 对 含 有 椭 圆 的 两 二 次 曲线 的位 置 关 系 进 行 了判 别 ；但
２ 建立结式并 求解两二次 曲线 的交点
２１ 建 立结 式 ．
（２ ＋ｄ 《） ａＹ ２２ ￣ ＋ ｌ
（） ３
收 稿 日期 ：２ １－１－ ０ ０１ ０ ２ 基金 项 目：广 西科 技开 发计 划项 目（ 桂科攻 １ １ ７ ０ —６ １ ０ ０ ２４ ，桂科 攻０ ３ １ ４ 和桂 科￣０ ９ ０ ８ １ ） ９２０２ ９ ２ ２ —４ ；国家８ ３ 划项 目 ６计
当 ＜０ ，二 次 曲线时 双 曲型的 。 时
计 算 机 图 形 学 、计 算 机 仿 真 、 可 视 化 、机 器 人 、
Ｃ ＡＤ／ Ａ 等领域 有 着广泛 的应 用 ，故而 研究 二次 Ｃ Ｍ 曲线 和 二 次 曲面 的 位 置 关 系有 着 重 要 的 意 义 。文
献 ［］ １ 中对于 椭球 间的位 置 关 系进 行 了研 究 ，运 用 １ 两 椭 球 的 特 征 方 程 在 不 需 要 解 出其 准确 的根 的情
（０ ９ Ａ０ Ｚ ４ ） ２ ０ Ａ ４ １６
作者简介：谌炎辉 （９ ３ １７ 一），男，湖南安化人 ，副教授 ，主要 从事数字化设计研 究。 第３ 卷 ４ 第７ 期 ２１－ （ ） ０２ ７上 （ １ ８１
二次 曲线 的一 般方 程 为 ：
三 ａｘ＋ ａ ｘ＋ ２ ２ １ ＋ ａｆ ］２ ２ １ｙ ａ Ｙ＋ ａ３ ２２ ｌ ２ ２ ｆ ３
＋３ 口３ ＝０
０１ ａ１ １ ２ ３
Ｆ（ ＝ ＋ （２＋ ）＋ａ ｙ ＋ ａＹ 日 ） ２ ，） 口 ｘ ２ ２ ｘ （２。 ２￣ ＋ ａｙ ２ ３
０ 引言
二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 位 置 关 系 的 判 别 在
化 的 二 次 曲 线 的位 置 关 系很 容 易 判 定 ，本 文 将 只 考 虑 非 退 化 的 二 次 曲线 。 由 不 变 量 我 们 可 以 判 别 出 二 次 曲 线 的 类 型 ： 当 ＞０ ，二 次 曲 线 时 时椭 圆 型 的 ； 当 ＝０ ，二 次 曲 线 时 抛 物 型 的 ； 时
考 虑到二 次 曲线 中同一变 量的二 次项 和一次 项 系数 不可 能 同时为 ０ ，故 而可 以人如 下建立 结式 ：
（） １
令：
ｌＩ 口 ， ｌ Ｉ２ ＝ Ｉ ＝ ｌ ， Ｉｌ 口
ａ ２１ ２ ａ ２
１ ， 不为 ０ ） 口均 ，结 式为 ：
０３ ａ３ ａ３ １ ２ ３