一种判别平面上两二次曲线位置关系的简洁方法
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（２ ＋ｄ 《） ａＹ ２２ ￣ ＋ ｌ
（） ３
收 稿 日期 ：２ １－１－ ０ ０１ ０ ２ 基金 项 目：广 西科 技开 发计 划项 目（ 桂科攻 １ １ ７ ０ —６ １ ０ ０ ２４ ，桂科 攻０ ３ １ ４ 和桂 科￣０ ９ ０ ８ １ ） ９２０２ ９ ２ ２ —４ ；国家８ ３ 划项 目 ６计
１（Ｙ）０ ＩＸ ＝ ０ ＝ ，
，
设 Ｆ ） ， ｌ ＝０
可 以把 Ｆ ） ， ＝０
） ＝Ｏ为 两 个 实 系数 的 一般
） ＝０看 成 是 关于 坐 标 参 数
二 次 曲线 方 程 ，要 求 式 （） 实 数 域 中的 全部 解 ， ２在 的 多 项 式 ，然 后 按 照 文 献 ［］ 立 结 式 而 解 得 。 ６建 为 建立 结式 可将 两二 次 曲线方程 写 为 ：
当 ＜０ ，二 次 曲线时 双 曲型的 。 时
计 算 机 图 形 学 、计 算 机 仿 真 、 可 视 化 、机 器 人 、
Ｃ ＡＤ／ Ａ 等领域 有 着广泛 的应 用 ，故而 研究 二次 Ｃ Ｍ 曲线 和 二 次 曲面 的 位 置 关 系有 着 重 要 的 意 义 。文
献 ［］ １ 中对于 椭球 间的位 置 关 系进 行 了研 究 ，运 用 １ 两 椭 球 的 特 征 方 程 在 不 需 要 解 出其 准确 的根 的情
两 二 次 曲线 相 交 ，其 交 点 可 以 由两 二 次 曲 线 的方程 联立 为方 程组 而求得 ：
该 方 法 牵 涉 到 了复 杂 的仿 射 变 换 和 数 学 证 明 ，且 具 有 一 定 的局 限性 。文 献 ［］ 使用 仿 射无 限变 换 ４则 来 求 解 两 二 次 曲线 的 位 置 关 系 。本 文 则 使 用 了一
（ ）（ｚ ＋ａ ＋ ０ ｌ ２ ＋ ｎ ２， ） ２ １
… ＝wenku.baidu.com
ｌ
由文 献 ［］ ５ ，有 ：当 ＝０ 二 次 曲 线 是 退 化 的 的二 次 曲线 ，否则 二 次 曲 线 是 非 退 化 的 ， 由于 退
ｌ ：
ｌ ０ ２￣ ＋ （２ ａ） ａＹ
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考 虑到二 次 曲线 中同一变 量的二 次项 和一次 项 系数 不可 能 同时为 ０ ，故 而可 以人如 下建立 结式 ：
（） １
令：
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一
訇 似
种 判别平面上两二次 曲线位置关系的简洁方法
Ａ ｍ ｐｌ ｅｔ ｓｉ ｅ ｍ ｈｏｄ ｏｆ ｃｌ ｓｓｉｙｉ ｈｅ ｐｏ ｔ ｏｎ ｅｌ ｔ ｏｎ ａ ｆ ｎｇ ｔ ｓｉ ｉ ａｌｒ ａ ｉ ｓｈｉ ｐ ｏ ｗ ｏ ａｎ ｆｔ ｐｌ ａｒｃｏｎｉ ｃ ｃｕｒ ｖｅｓ
中图分类号 ：Ｔ ９ Ｐ３ １ 文献标识码 ：Ｂ 文章编号 ：１ ０ － １４ ２１ ） ７上 ） ０ ８ － ３ ９ ０ （ ０ ０ （ － ０ １ ０ ０ ３ ２
Ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉｓ ．０ ９ ０ ．０ ．（ ） ２ ｏ： ３ ６Ｉ ． ｎ １ ０ － １４ ２ １ ７ 上 ．５ ０ ／ ｓ ３ ２
二次 曲线 的一 般方 程 为 ：
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（０ ９ Ａ０ Ｚ ４ ） ２ ０ Ａ ４ １６
作者简介：谌炎辉 （９ ３ １７ 一），男，湖南安化人 ，副教授 ，主要 从事数字化设计研 究。 第３ 卷 ４ 第７ 期 ２１－ （ ） ０２ ７上 （ １ ８１
０ 引言
二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 位 置 关 系 的 判 别 在
化 的 二 次 曲 线 的位 置 关 系很 容 易 判 定 ，本 文 将 只 考 虑 非 退 化 的 二 次 曲线 。 由 不 变 量 我 们 可 以 判 别 出 二 次 曲 线 的 类 型 ： 当 ＞０ ，二 次 曲 线 时 时椭 圆 型 的 ； 当 ＝０ ，二 次 曲 线 时 抛 物 型 的 ； 时
谌 炎 辉 ，胡 义华 ，李
冰’
ＣＨＥＮ Ｙ ｎ ｈ ｌ ＨＵ Ｙｉ ｕ Ｌ ｎ ａ ．ｕ 。 ． ． ａ． ｌ ｈ Ｂｉｇ。
（ ． 工学 院 机械工程系 。柳州 ５ ５ ０ ；２广西工学院 鹿 山学 院 ，柳州 ５ ５ １ ） １广西 ４０ ６ ． ４ ６ ６ 摘 要 ： 本文用 结式法求 出了两二次曲线 的交点 ，并给出了 一种判 别交点是否为 切点的方法 。使 用本 文所提 出的方法 能快速准 确的判别 出两二 次曲线的关系 ，求出所有的交点 并判断其是否为 切 点 ，该方法简单并便于计算机 编程实现。 关键词 ： 二次曲线 ；退化 ；结式 ；相交 ；切点 ；位置
（， ＝ｑ１ ＋ （ ） １ ２ Ｘ ＋ ｌ ＋ 口２ ２ １ １ １ ３ （ ＋ ａ ＋ ３ ） Ｙ ２ ３ ）
种 简 单 的 数 学 方 法 来 判 别两 二 次 曲线 间 的位 置 关
系 ，该方 法 简单且 能 求解 出其 交点 （ 或切 点 ） 。
１ 二次 曲线 的一般形式及相关知识
况下 判 别两 椭 球 的位 置 关 系 。文 献 ［， 则 使用 在 ２３ ］ 经 过 仿 射 变 换 后 再 利 用 广义 特征 方程 的方 法 对 含 有 椭 圆 的 两 二 次 曲线 的位 置 关 系 进 行 了判 别 ；但
２ 建立结式并 求解两二次 曲线 的交点
２１ 建 立结 式 ．
（） ３
收 稿 日期 ：２ １－１－ ０ ０１ ０ ２ 基金 项 目：广 西科 技开 发计 划项 目（ 桂科攻 １ １ ７ ０ —６ １ ０ ０ ２４ ，桂科 攻０ ３ １ ４ 和桂 科￣０ ９ ０ ８ １ ） ９２０２ ９ ２ ２ —４ ；国家８ ３ 划项 目 ６计
１（Ｙ）０ ＩＸ ＝ ０ ＝ ，
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可 以把 Ｆ ） ， ＝０
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二 次 曲线 方 程 ，要 求 式 （） 实 数 域 中的 全部 解 ， ２在 的 多 项 式 ，然 后 按 照 文 献 ［］ 立 结 式 而 解 得 。 ６建 为 建立 结式 可将 两二 次 曲线方程 写 为 ：
当 ＜０ ，二 次 曲线时 双 曲型的 。 时
计 算 机 图 形 学 、计 算 机 仿 真 、 可 视 化 、机 器 人 、
Ｃ ＡＤ／ Ａ 等领域 有 着广泛 的应 用 ，故而 研究 二次 Ｃ Ｍ 曲线 和 二 次 曲面 的 位 置 关 系有 着 重 要 的 意 义 。文
献 ［］ １ 中对于 椭球 间的位 置 关 系进 行 了研 究 ，运 用 １ 两 椭 球 的 特 征 方 程 在 不 需 要 解 出其 准确 的根 的情
两 二 次 曲线 相 交 ，其 交 点 可 以 由两 二 次 曲 线 的方程 联立 为方 程组 而求得 ：
该 方 法 牵 涉 到 了复 杂 的仿 射 变 换 和 数 学 证 明 ，且 具 有 一 定 的局 限性 。文 献 ［］ 使用 仿 射无 限变 换 ４则 来 求 解 两 二 次 曲线 的 位 置 关 系 。本 文 则 使 用 了一
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由文 献 ［］ ５ ，有 ：当 ＝０ 二 次 曲 线 是 退 化 的 的二 次 曲线 ，否则 二 次 曲 线 是 非 退 化 的 ， 由于 退
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考 虑到二 次 曲线 中同一变 量的二 次项 和一次 项 系数 不可 能 同时为 ０ ，故 而可 以人如 下建立 结式 ：
（） １
令：
ｌＩ 口 ， ｌ Ｉ２ ＝ Ｉ ＝ ｌ ， Ｉｌ 口
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１ ， 不为 ０ ） 口均 ，结 式为 ：
０３ ａ３ ａ３ １ ２ ３
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种 判别平面上两二次 曲线位置关系的简洁方法
Ａ ｍ ｐｌ ｅｔ ｓｉ ｅ ｍ ｈｏｄ ｏｆ ｃｌ ｓｓｉｙｉ ｈｅ ｐｏ ｔ ｏｎ ｅｌ ｔ ｏｎ ａ ｆ ｎｇ ｔ ｓｉ ｉ ａｌｒ ａ ｉ ｓｈｉ ｐ ｏ ｗ ｏ ａｎ ｆｔ ｐｌ ａｒｃｏｎｉ ｃ ｃｕｒ ｖｅｓ
中图分类号 ：Ｔ ９ Ｐ３ １ 文献标识码 ：Ｂ 文章编号 ：１ ０ － １４ ２１ ） ７上 ） ０ ８ － ３ ９ ０ （ ０ ０ （ － ０ １ ０ ０ ３ ２
Ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉｓ ．０ ９ ０ ．０ ．（ ） ２ ｏ： ３ ６Ｉ ． ｎ １ ０ － １４ ２ １ ７ 上 ．５ ０ ／ ｓ ３ ２
二次 曲线 的一 般方 程 为 ：
三 ａｘ＋ ａ ｘ＋ ２ ２ １ ＋ ａｆ ］２ ２ １ｙ ａ Ｙ＋ ａ３ ２２ ｌ ２ ２ ｆ ３
＋３ 口３ ＝０
０１ ａ１ １ ２ ３
Ｆ（ ＝ ＋ （２＋ ）＋ａ ｙ ＋ ａＹ 日 ） ２ ，） 口 ｘ ２ ２ ｘ （２。 ２￣ ＋ ａｙ ２ ３
（０ ９ Ａ０ Ｚ ４ ） ２ ０ Ａ ４ １６
作者简介：谌炎辉 （９ ３ １７ 一），男，湖南安化人 ，副教授 ，主要 从事数字化设计研 究。 第３ 卷 ４ 第７ 期 ２１－ （ ） ０２ ７上 （ １ ８１
０ 引言
二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 位 置 关 系 的 判 别 在
化 的 二 次 曲 线 的位 置 关 系很 容 易 判 定 ，本 文 将 只 考 虑 非 退 化 的 二 次 曲线 。 由 不 变 量 我 们 可 以 判 别 出 二 次 曲 线 的 类 型 ： 当 ＞０ ，二 次 曲 线 时 时椭 圆 型 的 ； 当 ＝０ ，二 次 曲 线 时 抛 物 型 的 ； 时
谌 炎 辉 ，胡 义华 ，李
冰’
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（ ． 工学 院 机械工程系 。柳州 ５ ５ ０ ；２广西工学院 鹿 山学 院 ，柳州 ５ ５ １ ） １广西 ４０ ６ ． ４ ６ ６ 摘 要 ： 本文用 结式法求 出了两二次曲线 的交点 ，并给出了 一种判 别交点是否为 切点的方法 。使 用本 文所提 出的方法 能快速准 确的判别 出两二 次曲线的关系 ，求出所有的交点 并判断其是否为 切 点 ，该方法简单并便于计算机 编程实现。 关键词 ： 二次曲线 ；退化 ；结式 ；相交 ；切点 ；位置
（， ＝ｑ１ ＋ （ ） １ ２ Ｘ ＋ ｌ ＋ 口２ ２ １ １ １ ３ （ ＋ ａ ＋ ３ ） Ｙ ２ ３ ）
种 简 单 的 数 学 方 法 来 判 别两 二 次 曲线 间 的位 置 关
系 ，该方 法 简单且 能 求解 出其 交点 （ 或切 点 ） 。
１ 二次 曲线 的一般形式及相关知识
况下 判 别两 椭 球 的位 置 关 系 。文 献 ［， 则 使用 在 ２３ ］ 经 过 仿 射 变 换 后 再 利 用 广义 特征 方程 的方 法 对 含 有 椭 圆 的 两 二 次 曲线 的位 置 关 系 进 行 了判 别 ；但
２ 建立结式并 求解两二次 曲线 的交点
２１ 建 立结 式 ．