空间内插方法分析

摘要

本文首先对空间插值的的理论基础包括空间插值的必要性以及目标等几个方面进行了介绍；在此基础上，对空间插值的几种方法包括反距离加权法、克里格法、泰森多边形法、样条函数法等进行了探讨和研究，对方法的适用范围、优缺点、插值精度等方面进行了总结；对反距离加权法和克里格法等的实现方法进行了研究；论文最后对空间内插的方法选择进行了归纳总结,并对空间内插今后有待进一步研究的方面以及发展应用方向进行了展望。

关键词：空间内插克里格反距离加权

Abstract

Firstly,theoretical basis,including the necessity of spatial interpolation, aim etc., is specifically introduced in this paper. Beside this, we have done studies and researches on several methods of spatial interpolation, e.g.Inverse Distance Weighted、Kriging、Thiesen、Spline, concluded on the range、merit and shortcoming,interpolation accuracy and so on. The thesis it makes research on the programming process of Inverse Distance Weighted and Kriging etc, The end of the paper gives a summary to the methods selection of spatial interpolation, and outlooks the further research and probable application to be developed in spatial interpolation.

Keywords:Spatial Interpolation Kriging Inverse Distance Weighted

0 前言：在地理信息系统(GlS)中，我们获得的空间数据往往是离散点的形式，或者是分区数据的形式。由于观测到的数据往往不能满足要求，最理想的方法就是调查地理空间所有样本的信息，以穷尽样本属性值的方式来获得详尽的地理信息。但这种方法从时间、经济角度上来说是行不通的，也是不现实的。我们可以从离散分布的数据开始来构造一个连续的表面，但是问题在于如何构建一个连续的数据表面。GIS空间内插方法为实现这个目的提供了有效的手段，它利用有限的观测数据，估计合理的空间分布、提高数据密度，获得完整空间信息分布，以填补缺失的数据，得到密集的数据分布。此外，由于数据集的来源、采样点的数据类型不同，如何选择适当的内插方法成为迫切需要解决的问题，如若选择了不适当的内插方法将会直接导致对数据的错误内插，从而造成了对实际情况错误的认识。每种内插方法都有各自的应用范围和优缺点，它们很大程度上依赖于采样数据原始的数学特征，不同的研究目的对内插都有特殊的要求。针对某一特定的数据集，如何来选择最有效的内插方法，是一个重要的、极富挑战性的任务。

本文试图从GIS空间内插方法的理论基础、实际效果两个方面比较几种常用的内插方法的实现原理及其基本的适用条件，并对空间内插今后有待进一步研究的方面进行了展望。

1空间内插方法的划分和分析

空间插值方法可以分为全局方法和局部方法两类。全局方法用研究区每个可利用的控制点来构建一个方程或一个模型，而后该模型可用于估算未知点的数值；局部方法是用控制点的样本来估计未知点的值。

全局方法通常不直接用于空间插值，而是用来检测不同于总趋势的最大偏离部分，在去除了宏观地物特征后，可用剩余残差来进行局部插值。由于全局方法将短尺度的、局部的变化看作随机的和非结构的噪声，从而丢失了这一部分信息。局部插值方法恰好能弥补整体插值方法的缺陷，可用于局部异常值，而且不受插值表面上其它点的内插值影响。

全局方法

全局方法利用每个可利用的控制点来构建一个方程或一个模型，而后该模型可用于估算未知值。

（一） 趋势面分析

趋势面根据有限的观测数据拟合曲面，进行内插，具体做法是用多项式方程近似拟合已知数值的点，该方程又称趋势面模型，能用于估算其他点的数值。线性或一阶趋势面用如下方程：

y b x b b z y x 210,++=

这里的特征值z 是x 和y 的函数。系数由控制点估算。因为趋势面模型至少需要二阶方程，其拟合程度可用相关系数确定(2R )。而且，每个已知点观测值和估算值之间的偏差或残差可以计算出来。多数自然现象的分布通常比由一次趋势面生成的倾斜面更复杂。因此，拟合更复杂的面要求更高次的趋势面模型，例如，三次或三阶趋势面基于如下方程：

3928273625423210,y b xy b y x b x b y b xy b x b y b x b b z y x +++++++++=

趋势面是个平滑函数，很难正好通过原始数据点，除非是数据点少且趋势面次数高才能是曲面正好通过原始数据点，所以趋势面分析是一个近似插值方法。实际上趋势面最有成效的应用是揭示区域中不同于总趋势的最大偏离部分，所以趋势面分析的主要用途是，在使用某种局部插值方法之前，可用趋势面分析从数据中去掉一些宏观特征，不直接用它进行空间插值。

(二) 边界内插方法

边界内插方法假设任何重要的变化发生在边界上，边界内的变化是均匀的，同质的，即在各方向都是相同的。边界内插方法最简单的统计模型是标准方差分析（ANOVAR ）模型如下：

()εαμ++=k x z 0

式中，z 是在x0位置的属性值，μ是总体平均值，αk 是k 类平均值与μ的差，ε为类间平均误差（噪声）。模型假设每一类别k 的属性值是正态分布；每类k 的平均值（μ+αk ）由一个独立样品集估计，并假设它们是与空间无关的；类间平均误差ε假设所有类间都是相同的。评价分类效果的指标是 ， 为类间方差， 为总体方差，比值越小分类效果越好。

（三）回归模型

回归模型把方程中的一个因变量和多个自变量联系起来，而后可用于预测或估算。多元回归在数学上与趋势面很相似，但是，它们又有明显的不同。首先，在趋势面分析中，x 和y 是与z 相关的特定坐标，而在回归模型中，它可以是任意变量，其次，在趋势面方法中，模型的拟合严格地遵从自常数、一次、二次、立方等的顺序，主要问题是确定模型的次数，因此，趋势面分析有内在的多重共线性问题；而在多元