《自动控制原理》第三章 3-5 稳态误差计算

C(s)
H(s)
G(s)H (s)
输入端定义的稳态误差 e(t) 输出端定义的稳态误差 e’(t)=希望输出-c(t)
两种定义的联系： E'(s) E(s) H (s)
H (s) 1时，E(s) E'(s)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t) L1[E(s)] L1[e (s)R(s)]
16
5. 减小或消除稳态误差的措施
（1）增大开环增益或扰动作用点前的前向通道的增益（例2） （2）在前向通道或主反馈通道设置串联积分环节（增大v); （3）采用串级控制抑制内回路扰动；
R1 ( s ) -
R2 (s) Gc1(s)
-
Gc2 (s)
N 2 (s) G2 (s)
C2 (s) G1 ( s )
重要概念：系统动态性能指标(td,tr,tp,ts,%)的定义，主导极 点，稳定性，系统型别。
基本常识：欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统阻尼比的范围及响 应形式。稳定的充分必要条件，稳定的必要条件。
基本技能： 1. 一阶系统动态性能指标的计算 2. 根据二阶系统的标准形式计算其自然频率和阻尼比 3. 二阶欠阻尼系统动态性能指标的计算及反算 4. 应用劳思判据判别系统稳定性 5. 静态误差系数的计算 6. 输入和扰动信号作用下系统稳态误差的计算 7. 一、二阶系统的阶跃响应计算
td 0.69T tr 2.2T ts 3T
二阶系统的标准形式
(s)

C(s) R(s)

s2

Kn 2 2 ns n2
1 0.6 0.2 2 1 0.7
td
n

(t 0)
n
tr

d

n 1
2


tp

d

n
1 2
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
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第三章 线性系统的时域分析法
2
1. 误差与稳态误差的定义
R(s) E(s)
C(s)

G(s)
H s
R(s) 1
E'(s)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)

1 2
t2, ka

0, ess


位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4. 扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
G1(s)
N(s)
C(s)

Lim s R
s0
K Lim s
s0
s0
kp

LimG(s)H (s),
s0
ess
R 1 kp
系统 静态位置 位置误差
型别
误差系数
kp
R
ess
1 kp
R
0
K
1 K
I

0
II

0
III

0
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8
3. 输入作用下稳态误差计算…
（2）斜坡作用下的稳态误差
c (t )
0
t
加速度误差不是加速度上存在稳态误差
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12
3. 输入作用下稳态误差计算…
系统 型别
静态误差系数
阶跃输入 r(t)=R1(t)
位置误差
k p kv ka
ess

R 1 kp
0 k0 0
R
1 k
I k 0
0
II k
0
III
j 1
R(s) E(s)
C(s)

G(s)
H s
......
ess

sR(s) Lim s0 1 G(s)H (s)

Li m s 1R(s)
s0
K Lims
s0
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6
单位负反馈系统开环传递函数如下，试指出其型
别
G(s) 2(s 2)

sin 1
t
若用终值定理
ess

Lim sE(s)
s0

Lim
s0
s

1/
s
T (s
2
2)

0?
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5
2. 系统的类型
m
K (is 1)
开环传递函数：G(s)H (s)
i 1 n
s (Tjs 1)
0 0型系统 1 I型系统 2 II 型系统
22
m
K(is 1)
开环传递函数：G(s)H (s)
i 1
n
s (Tjs 1)
j 1
0 0型系统
1 I型系统
2 II 型系统
......
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23
欠阻尼 0<<1 响应振荡收敛，系统有两个负实部复根 临界阻尼 ＝1 响应直接收敛，系统有两个相等的负实根 过阻尼 >1 响应直接收敛，系统有两个不等的负实根 稳定的充分必要条件：
0
斜坡输入 r(t)=Rt
速度误差
R ess kv

R k
0
0
加速度输入
r(t)= 1 Rt 2 2
加速度误差
ess

R ka


R k
0
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3. 输入作用下稳态误差计算…
稳态误差的物理意义（单位反馈系统）
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
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21
渐进稳定：若线性控制系统在初始扰动的影响下， 其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡 工作点)。 不稳定：若在初始扰动影响下，系统的动态过程随 时间的推移而发散。
临界稳定：若系统的响应随时间的推移而趋于常值 或等幅正弦振荡
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系统型 别

静态速度 误差系数
kv
速度误差
ess

R kv
0
0

I
K
R
K
II

0
III

0
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3. 输入作用下稳态误差计算…
（2）斜坡作用下的稳态误差…
r(t) Rt
c(t)
ess

R K

R KV
t
0
t
速度误差不是速度上存在稳态误差
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3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能结原(附构理加稳性性态误误误差差差）死 摩 系输区 擦 统入等 ， 结类非 间 构型线 隙、性形式
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第三章 线性系统的时域分析法
r(t)

Rt,
R(s)

R s2
ess

Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)

Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0

R Lim sG(s)H (s)

Lim s1R
s0
K Lim s
s0
s0
kv

LimsG(s)H (s),
s0
ess

R kv
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3. 输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess

Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)

Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0

1
R LimG(s)H (s)
1. 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部或闭环极点 均位于左半S平面
2. 系统单位脉冲零状态响应随时间t->无穷，而->0，则 系统稳定
3. 稳定 劳思表中第一列各值>0
稳定的必要条件:闭环特征方程的系数同号并不缺项
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24
一阶系统
K
G(s) Ts 1
% e / 1 2 100%
3.5 3.5
ts

n


( 5%);
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第三章 线性系统的时域分析法
25
一、系统结构如图
（1）当kt 0，k 9 且r(t) 1(t) ，求系统的调节时 t s
间 和超调量% (;n 3, 1/ 3,ts 3.5, % 32.932 %)
10
3. 输入作用下稳态误差计算…
（3）加速度作用下的稳态误差
r(t)

1 2
Rt2,
R(s)

R s3
ess

sR(s) Lim s0 1 G(s)H (s)

Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0

R Lims2G(s)H (s)

Lim s2R
s0
K Lim s
R(s)
-
E(s)
K1
N(s)
K2 C(s) s(T2s 1)
R(s)

R0 s
,
1, ess

0
N (s)

n0 s
,
En (s)

Cn (s)


K2 N (s) s(T2s 1) K1K2
essn

Lim
s0
sE
n
(
s)

n0 K1
物理意义
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能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
19
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20
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚 轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他 闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的 极点在系统响应过程中起主导作用，这样 的闭环极点称为主导极点
非主导极点：除主导极点外的其他闭环极 点
C1 ( s)
H 2 (s)
H1(s)
主回路/副回路；主调节器/副调节器 串级控制；一次扰动/二次扰动；
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5. 减小或消除稳态误差的措施…
N(s)
例3
R(s)
E(s) k(1
1)
-
Ti s
k2
C(s)
s(T2s 1)
求n(t) n01(t)和n(t) n1t的稳态误差
L1[ R(s) ] 1 G(s)H (s)
ets (t) ess (t) 稳态误差
ess
()

Lim
s0
sE
(s)

Lim
s0
1
sR(s) G(s)H
(s)
ess () : 终值误差 条件：sE(s)在右半平面及虚轴上解析（原点除外）
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解：En

T1T2s3
k2Ti s Ti s2 k1k2Ti s

k1k2
N s
n(t) n01(t),ess 0;
n(t )

n1t, ess

n1Ti k1
扰动作用下稳态误差的物理意义。
习题： 3-18
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18
第三章：重点回顾
26
二、系统的闭环特征方程为， s3 3s 2 2s k 0
试确定使系统稳定的k值范围以及系统产生等幅振荡的 频率。
(0 K 6,当k 6时系统产生等幅振荡， 频率 2)
三、系统的闭环特征方程为：
s5 3s4 12s3 20s2 35s 25 0
(s 0.5)(s 1)
(1)
G(s)

2(s 2) s2 (s 0.5)(s 1)
(2)
0 2
(3)
G(s)

2(s 8)( s s 4 (s 1)
2)
4
2(s 3) (4) G(s) s3 5s2 6s
1
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)

1 Ts
C(s)
r(t) sin t 求ess
E(s) R(s)

1 1 1
Ts Ts 1
Ts
Ts
E(s)

Ts 1 s2 2
e(t)


T
T 2 2

1
et
/
T

T
T 2 2
பைடு நூலகம்

1
cost

T
T 2 2
G2 ( s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)

Cn ( s )


G2 (s)
1 G1(s)G2 (s)H (s)
N (s)
输入端误差定义
En
(s)

Cn
(
s)
H
(s)


1

G2 (s)H (S) G1(s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
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15
4. 扰动作用下稳态误差…
（2）若要求阶跃响应的峰值时t间p 0.5 秒，单位斜
坡响应的稳态误差ess 0.1 ，求k，kt 。
R(s) E(s)
k
C(s)
--
s(s 2)
（参考答案：
kt s
k 355.6, kt 0.094; k 44.4, kt 0.055;）
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s0
s0
ka

Lims2G(s)H (s),
s0
ess

R ka
系统 静态加速度 加速度误差
型别 误差系数

ka
ess

R ka
0
0

I
0

II
K
R
K
III

0
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11
3. 输入作用下稳态误差计算…
（3）加速度作用下的稳态误差…
r (t )
R ess Ka