利用多项式拟合获得汽车发动机外特性曲线的几种方法

利用多项式拟合获得汽车发动机外特性曲线的几种方法

发动机外特性是汽车动力性计算的主要依据，基本车型的发动机外特性应由制造厂提供。发动机外特性为非线形曲线，通过多项式拟合的方法可以获得描述发动机外特性的数学方程。已有研究结果证明标明再工程应用上采用二次方程来描述汽车发动机外特性已具足够精度，即

2

e e e T an +bn c =+ (1-1)

式中：e T

——发动机输出扭矩，N m ；

e n ——发动机输出转速，r min 。

式(1-1)中系数a ，b ，c 可以由外特性确定，获得途径有多少种： 1.多点拟合法

如果已知发动机外特性确定曲线N 个点（ei ei n ,T ），i=1，2，3，……,N,则利用最小二乘法可以获得系数a,b,c 的估计值，令：

()()

2

2

N

N

2

ei ei ei ei i 1

i 1

e

E T T an

+bn c T ===

-=

+-∑∑

由

()()(

)

N

22

ei ei ei ei i 1

N 2

ei ei ei ei i 1N 2

ei ei ei i 1E

2an +bn c T n 0a

E 2an +bn c T n 0a E 2an +bn c T 0a ===⎫∂=+-=⎪∂⎪

⎪∂=+-=⎬∂⎪

⎪∂=+-=⎪∂⎭∑∑∑ (1-2) 得

N N N N

4322

ei ei ei ei ei i 1i 1i 1i 1N N N N

32ei ei ei ei ei i 1i 1i 1i 1N N N

2ei ei ei

i 1i 1i 1n a n b n c T n n a n b n c T n n a n b N c T ===========⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎪

⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪

++=⎬

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪

⎪⎛⎫⎛⎫

⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (1-3) 解此线性方程组，即可以求出系数a,b 和c 。 2.三点插值法

如果已知发动机外特性曲线上的三个点（ei ei n ,T ），i=1，2，3，则利用拉格朗日插值法可以求出系数a,b 和c 。拉格朗日插值三项式可以写成

()()

()()

()()

()()

()()

()()

e

e2e e3e

e1e e3e

e1e e2e1

e2e1e3e2

e1e2e3e3

e1e3e2e e1

e2

e3

n n n n n n n n n n n n T T T T n

n n n n

n n n n

n n n ------=++------ (1-4)

由式（1-1）和（1-4）可以得

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e3e2e2e3e1e3e1e2e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e3e2e2e3e1e3e1e2e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e e1

e2

e3

e1e2e3e1e2e3

T T T a n n n n n n n n n n n n n n T n n T n n T b n n n n n n n n n n n n n n T n n T n n T c n n n n n n n n n n n =

+

+

------+++=---------=+-

-----()3e2n ⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪

⎪

⎪⎪-⎭

(1-5)

3.经验公式

如果仅仅知道发动机的最大输出功率，最大输出转矩及其相应的转速，常用下列经验公式描述发动机的外特性：

()

()2

T e 2

T

P em p

e em T T T T n n n

n -=-

-- (1-6)

式中：em T —发动机最大输出转矩N m ；

T n ——发动机最大输出转矩时的曲轴转速，r min ； P

n ——发动机最大输出功率时的曲轴转速，r min ； p

T ——发动机最大输出功率时的输出转矩，N m ；

em P

p p T 9549

n =，

em

P 为发动机最大输出功率，kW 。

由式（1-1）和式（1-6）可得：

()()()

()2

T P T 2

T P 2T 2

T P em p

em p em p em T T a n n 2n T T b n n T T c T n n n ⎫

-+=⎪⎪-⎪⎪-⎪

=⎬-⎪⎪

-⎪

=-⎪-⎪⎭

(1-7) 在以上介绍的三种确定系数a,b,c 的方法中，三点插值法既有较高是精度，其计算也比较简单。

应该指出的是技术文件中给出的发动机外特性曲线是台架试验测量出来的，