人教新课标版数学高二-数学选修2-1基础巩固 2-1-1 曲线与方程

基础巩固强化

一、选择题

1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )

A ．方程f(x ，y)＝0的曲线是C

B ．方程f(x ，y)＝0是曲线

C 的方程 C ．方程f(x ，y)＝0的曲线不一定是C

D ．以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C

[解析] 不论方程f(x ，y)＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f(x ，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．

2．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．不存在 [答案] C [解析] 由方程组⎩⎨

⎧

xy ＝2

y ＝x

，解得⎩⎨

⎧

x ＝

2y ＝

2

或⎩⎨⎧

x ＝－2y ＝－

2

，故

选C .

3．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的

交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于()

A．±3B．0

C．±2 D. 一切实数

[答案]A

[解析]两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.

4．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()

[答案]C

[解析]由|x|·y＝1知y>0，曲线位于x轴上方，故选C.

5．已知曲线C：y2＝－2x＋1，则曲线C()

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．不是轴对称图形

[答案]A

[解析]以－y代y得(－y)2＝－2x＋1＝y2，故曲线C关于x轴对称．

6．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()

A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1

C ．(2x －3)2＋4y 2

＝1 D ．(x ＋32

)2

＋y 2＝1

[答案] C

[解析] 设P 点为(x ，y)，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋3

2＝

x ，y 1＋02

＝y.

∴x 1＝2x －3，y 1＝2y.

∵(x 1，y 1)在x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 2

1＝1，

∴(2x －3)2＋(2y)2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题 7．给出下列结论：

①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；

②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；

③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________．

[答案] ③

[解析] 方程y

x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直

线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．

8．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是________．

[答案] 两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1) [解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)．

三、解答题

9．画出方程(x ＋y －1)x －y －2＝0所表示的曲线． [解析] 方程(x ＋y －1)

x －y －2＝0可等价变形为

⎩⎨

⎧

x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.

或x －y －2＝0.

由⎩⎨

⎧

x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y －1＝0，x ≥3

2.

∴⎩⎨

⎧

x ＋y －1＝0，

x －y －2≥0.

表示射线x ＋y －1＝0(x ≥3

2

)．

∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥3

2)和直线x －y －2＝0，如下

图所示．