微积分重要公式
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第一讲函数、极限与连续
重要公式与结论
一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系
1.设)(x f 是可导的偶函数，则)(x f '为奇函数，且0)0(='f ； 设)(x f 是可导的奇函数，则)(x f '为偶函数。
2.设)(x f 连续：如)(x f 为偶函数，则dt t f x
)(0⎰为奇函数；如)(x f 为奇函数，则对任意的a ，dt t f x
)(0⎰为偶函数。 3.设)(x f 在[]a a ,—上连续，则
⎰
⎰-⎪⎩
⎪⎨⎧=a
a
a x f x f dx x f dx x f ,
)(,0,)(,
)(2)(0
为奇函数为偶函数
4.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。
5.设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则
⎰
⎰⎰⎰
⎰
===-+nT
T
T
T
T T
a a
dx x f n dx x f dx x f dx x f dx x f 0
22
.
)()(,
)()()(
二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系
1..)(lim )(lim )(lim 0
A x f x f A x f x x x x x
x ==⇔=-+→→→ 2..)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→ 3..)(lim )(lim A x f A x f n x =⇔=∞
→∞→ 4.设.)(lim )(lim ,)(lim ,lim 0
0A x f x f A x f x x x
x n n x x n n ====→∞→→∞→则 [评注]由结论3，4知可利用函数极限求数列极限。 三、连续的隐含条件
如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：
1.设)(x f 在0x 处连续，则).(lim )(0
0x f x f x
x →= 2.设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积，且可构造)(x f 的原函数⎰≤≤x
a b x dt t f ))(，对)(x f 在],[b a 上可应用最值、介值、零点定理。 四、两个重要极限的一般形式 1.设0)(→x a ，则.1)
()
(sin lim =x a x a 2.设1)(→x f ，则
]1)()[(lim )(ln )(lim )()(lim -==x f x g x f x g x g e e x f
（因为1)(~]1)(1ln[)(ln --+=x f x f x f ）。 五、无穷小量与界变量之积为无穷小量 特例：设则,)(,0)(∞→→x g x f
.0)(cot )(lim )(arctan )(lim )(cos )(lim )(sin )(lim ====x g arc x f x g x f x g x f x g x f
六、极限存在准则及性质 1.单调有界数列必有极限。
2.夹逼准则：设在0x 的某空心邻域内（或当X x >||时），有
)()()(x h x f x g ≤≤，且
A
x h x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(lim )(lim )
()
(00
，则.)(lim
)
(0
A x f x x
x =∞→→ 3.极限的局部保号性与有界性：设.)(lim 0
A x f x
x =→， （1）则存在0x 的某空心邻域，使得在该邻域内)(x f 有界；
（2）如果0A >（或0A <），则存在0x 的某空心邻域，使得在此邻域内有0)(>x f （或0)( （3）如果在0x 的某空心邻域内有0)(≥x f 或（0)(≤x f ），则0A ≥（或 0A ≤）； （4）∃⇔=A x f )(lim 无穷小量)(x a ，使)()(x a A x f +=. 七、无穷小量的等价替换 1.若A a a a =' ' ''βββlim ,~,~且，则 .lim lim A =' ' =βαβα 2.常见的等价无穷小：设0)(→x a ，则 3.). 0)(~1)](1[,)]([2 1 ~)(cos 1);(~)](1[1~1~)(arcsin ~)(arctan ~)(tan ~)(sin 2)(≠-+-+-k x ka x a x a x a x a x a n e x a x a x a x a k x a （ 八、常见的极限不存在的函数 1.无穷大量是极限不存在的一种形式。 2.设∞→)(x a ，则下列函数的极限不存在： )(sin x a ，)(cos x a ，)(x a e ，)(arctan x a ，).(cot x a arc 此时应注意利用无穷小量乘有界变量仍为无穷小量以及左右极限等进行讨论。 九、几个常用极限 1.).0(1lim >=∞ →a a n n 2..1lim =∞ →n n n 3..1lim 0=+ →x x x 4..0lim 0=+ →x x x x 5..1lim 1=+∞ →x x x 6..0lim 10=+ →x x x 7..2 arctan lim π =+∞ →x x 8..2 arctan lim π -=-∞ →x x 9..0arctan lim =+∞ →x x 10..arctan lim π=-∞ →x x