哈密顿算符运算基本知识

在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁 场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场 A(x沿) 一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c LA dl
称为 A沿该曲线L的循环量或流量。
2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么
以渐减闭小合，曲线一L般为说界来的，面这积两者S逐的渐比缩值小有，一L极A 限dl值也，将记逐
若下列极限
( p2 ) ( p1 )
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作 沿 的方l 向导数。
(x，) 称之为标量场
3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作
作
lim LA dl
s0 s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状
无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方
向 nˆ ，且通常L的正方向与 nˆ 规定要构成右手螺旋法
则，为此定义
rotA A
lim
LA dl
nˆ
s0 s
称为矢量场
A( x )
的旋度（rot是rotation缩写）。
(x1, x2 , x3 )
是一个标量函数；
(量函2 A数)A2，e2只A有((x在12,Ax笛)23,卡ex33儿)，坐在A标其1e系1它中正A，2交e2坐2A标A3系(e3中2是A)一1 e个1 矢
(2 A)i 2 Ai
3、不同坐标系中的微分表达式
z
ez
p ey ex
(x,y,z)
r
ez
z
u
er
u r
e
1 r
u
ez
u z
A
1 r
r
(rAr
)
1 r
A
Az z
1 r
er
e
1 r
ez
A
r z
Ar rA Az
(1 Az
r
A z
)er
( Ar z
Az r
)e
1
r
r
(rA
)
1 r
Ar
ez
2u 1 (r u ) 1 2u 2u
学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽 终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”， 站得高，看得远。
电
第0章 绪论及数学准备
动
第1章 电磁现象的普遍规律 第2章 静电场
力
第3章 静磁场
学
第4章 电磁波的传播
第5章 电磁波的辐射
目
录
第6章 狭义相对论
课程类型：物理学、应用物理学本科生限选课 学时学分：72学时，4学分 先修要求：普通物理电磁学，数学物理方程
郭硕鸿 电动力学 高等教育出版社 第二版
学习参考书
1、经典电动力学，蔡圣善、朱耘 编著 复旦大学出版社
2、电动力学，吴寿煌，丁士章 编 西安交通大学出版社
3、Classical Electrodynamics，J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
第0 章
预备知识—矢量场论复习
x2
(h3 A3 )
x3
(h2 A2 )
e2 h1h3
x3
(h1 A1)
x1
(h3 A3 )
e3 h1h2
x1
(h2 A2 )
x2
(h1 A1)
2
1 h1h2h3
x1
( h2h3 h1
)
x1
x2
( h3h1 h2
x2
)
x3
( h1h2 h3
x3
)
其中 e1, e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢；
课 基本目的： 程 1. 学习处理电磁问题的一般理论和方法
2. 学习狭义相对论的理论和方法
简 内容提要： 介 1．电磁场的基本规律
2．静电问题和静磁问题 3．电磁波的辐射和传播 4．狭义相对论的概念和理论的数学形式
成绩评定： 考试（70%），作业（10%）, 学业小论文（半期测验）（20%）。
教材
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源； 当div A 0 ，表示该点为无源场。
3、高斯定理
A ds Hale Waihona Puke Baidu AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围
体积的体积分，反之亦然。
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem
y为常数平面
y
x x为常数平面
a) 笛卡儿坐标
x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
2 2 2 2
2
A
x (
2 2
Ax
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
所以 即
lim ( p2 ) ( p1)
l P1
p1 p0 0
p1 p2
cos lim ( p0 ) ( p1)
p1 p0
p1 p0
cos
本章主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
§0-1 标量场的梯度， 算符
Gradient of Scalar Field,
Operator
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
学习电动力学课程的主要目的是：
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和 时空概念的理解；
2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的 初步能力，为以后解决实际问题打下基础；
3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更 深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义 的世界观。
学习电动力学课程的主要意义是：
e3
1 h3
x3
e1
1 h1
x1
e2
1 h2
x2
e3
1 h3
x3
A
1 h1h2 h3
x1
(h2 h3 A1 )
x2
(h3h1 A2 )
x3
(h2 h1 A3 )
A
1
h1e1
h2e2
h3e3
h1h2h3 x1 x2 x2
h1 A1 h2 A2 h3 A3
e1 h2 h3
旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
LA ds ( A) ds
s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
Expression of Operation on
Orthogonal Curvilinear CoOrdinates System
1、度量系数
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
其中
dl2 dx2 dy2 dz2 h12dx12 h22dx22 h32dx32
分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
B
B A
dl
A
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem
1、通量
场
v
一方个向矢 通量 过d场s 空的间流中量，是在dN单，位而时dN间是内以，ds沿为着底矢，量以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
grad nˆ
n
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小
|
grad
|
n
， (其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
表示。
方向导数与梯度的关系：
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
增长 的方向。
n p1
cos
l
n
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投
影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场
(x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算 符既具有微分性质又具有方向性质。在任
意方向l 上移动线元距离dl， 的增量d 称为方向微
电动力学
Electrodynamics
主讲教师 石东平（教授、硕士）
引言
Introduction
电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规 律以及它和带电物质之间的相互作用。
电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要 从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射 及电动力学的参考系问题。
A( x )
在V中单位体积的平均通量，或者
平其均内发某散 点M量(。x) 当收闭缩合时曲，面若s平及均其发所散包量围的的极体限积值存V 向在，
便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A( x )
在该点的散度(div是divergence的缩
写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场 发散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量
hi
( x )2 ( y )2 ( z )2
xi
xi
xi
(i 1,2,3)
称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三 个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算 符 2 在正交曲线坐标系下的一般表达式
e1
1 h1
x1
e2
1 h2
x2
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处 沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和 刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解 上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这 些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树 木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数 学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容 进行推导，并明确它们的物理意义和图象。
r r r
2
A
(
2
A)
r
er
r (
2 2
A)
2
e
z 2 (
2
A)
z
ez
将 2 A ( A) ( A) 应用于圆柱坐标可得：
(2 A)r
2 Ar
Ar r2
2 r2
A
(2 A)
2 A
A r2
2 r2
Ar
(2 A)z 2 Az
y )e x
2
z 2 ( 2 Ay
)e
y
(
2
Az
)e z
b) 圆柱坐标系
坐标变量: x1= r x2=φ x3= z
与笛卡儿坐标的关系：
x=rcosφ y=rsinφ
z= z
x
z
ez e
z为常数平面
y
φ r er
r为常数平面
拉梅系数: h1=1 h2=r φ为常数平面
h3=1
er
r
e
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s 。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds ，
v
θ
于是通过
ds
曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N v ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
N v ds
s
2、散度
设封闭曲面s所包围的体 积为V，则
A ds / V
s
就是矢量场
Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概 念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者 之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算 和算符 运算的重要公式。