高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程..直线与圆的位置关系对点训练理

2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.2 直线与圆

的位置关系对点训练 理

1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2

＋(y －2)2

＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )

A ．－53或－35

B ．－32或－2

3

C ．－54或－45

D ．－43或－34

答案 D

解析 圆(x ＋3)2

＋(y －2)2

＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－

3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得

|k －

－2－2k －3|1＋k

2

＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2

＋

25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－3

4

.故选D.

2.设直线l 与抛物线y 2

＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2

＋y 2

＝r 2

(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,4)

C ．(2,3)

D ．(2,4)

答案 D

解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0

y 0)，则⎩⎪⎨

⎪⎧

x 1＋x 2＝2x 0

y 1＋y 2＝2y 0

.

又⎩⎪⎨⎪⎧

y 2

1＝4x 1y 2

2＝4x 2

，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝

y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2

y 0

.设圆

心为C (5,0)，则k CM ＝

y 0

x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0

x 0－5

＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2

－4<12，所以02，所以2

3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2

＋y 2

－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )

A ．2

B ．4 2

C ．6

D ．210

答案 C

解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2

＋(y －1)2

＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2

＝|AC |2

－|BC |2

＝(－4－2)2

＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.

4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )

A.4π

5

B.3π4 C ．(6－25)π D.5π4

答案 A

解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝

45 .

∴圆C 面积的最小值为π×⎝

⎛⎭⎪⎫252＝4

5

π.故选A.

解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．

由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．

要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．

由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．

因此，圆C 半径的最小值为r min ＝4

5×12

＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝

π×⎝

⎛⎭

⎪⎫2552＝4π

5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切

的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

答案 (x －1)2

＋y 2

＝2

解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2

＋y 2

＝2.

6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2

＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则

a 2＋

b 2＝________.

答案 2

解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即

|a |2＝|b |2，|a |2

＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2

＝2.

7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4截得的弦长为________．

答案

255

5