矩阵的秩及其求法
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第五节：矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的
阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而
为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩
定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全
为0 ,
称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解
由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。
()
n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 101
22--=
D 1
0156
43213-=D n m ⨯k
n k m c
c ()
n
m ij a A ⨯=0,r D ≠
()().
T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000007204321B 0
2
021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭2
123508153000720
0000E ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3
R E =
例2 设 如果 求 a .
解
或 例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 则 注： 只改变子行列式的符号。 是 A 中对应子式的 k 倍。 是行列式运算的性质。 求矩阵A 的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。 例4 求
解 R(A ) = 2
⎪
⎪⎪⎭
⎫