分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义:

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

A

叫做分式，A 为分子，B 为分母。

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =）

【例1】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨

⎧≠=0

B A ）

【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x

（2）

4

2||2--x x

（3）

6

53222----x x x x

【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨

⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0

B A ）

分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0

B A ）

【例1】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式3

2

+-x x 为非负数.

【例2】解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若

2

2

||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为

思维拓展练习题：

1、若a>b>0,2a ＋2

b －6ab=0,则a b

a b +=-

2、一组按规律排列的分式：25811

234,,,,

b b b b a a

a a --（a

b ≠0），则第n 个分式为

3、已知2

310x x -+=，求221

x x +

的值。

4、已知22

2450,x y x y +--+=求分式

y x x y -的值。

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M

A M

B M A B A ÷÷=

⨯⨯= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例1】已知：511=+y x ，求y

xy x y

xy x +++-2232的值.

【例2】已知：21=-

x x ，求2

21

x x +的值.

【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

【例4】已知：

311=-b a ，求a

ab b b ab a ---+232的值.

【例5】若0106222=+-++b b a a ，求

b

a b

a 532+-的值.

【例6】如果21<

x x x |

||1|1+

---.

思维拓展练习题

1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下：a *b a b

ab -=

,求2*1+3*2+…+10*9的值

2、已知0,234x y z

==≠求代数式2x y z x y z +-++的值

（三）分式的运算

① 分式的乘除法法则：

乘法分式式子表示为：

d

b c a d c b a ••=• 除法分式式子表示为：c

c ••=•=÷b d

a d

b a d

c b a

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n

b a b a =⎪⎭

⎫

⎝⎛

③ 分式的加减法则：

c

b

a c

b ±=

±c a 异分母分式加减法：式子表示为：

bd

bc

ad d c ±=

±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分

母为1的分式，再通分。 题型一：通分

1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 【例1】将下列各式分别通分.

（1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--；

（3）

2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 【例2】约分：

（1）

3

22016xy y x -； （2）n m m n --2

2； （3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算： （1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-⋅-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-⋅+；