111111完全平方公式进行因式分解一ppt课件
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因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
【精品】因式分解-完全平方公式28页PPT
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
【精品】因式分解-完全平方公式
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
因式分解完全平方公式课件
2
x2 6x 9
是 是 不是 不是
( x 3) 2 (2 y 1) 2
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4
(2 y)2 2 (2 y) 1 12
4 y 2 12xy 9x 2 (2x y)2 6(2x y) 9
不是 是
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
a 2ab b 或 a 2ab b 的多项式
2 2 2 2
,叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
书P ：119 习题14.3
第3题。
2
4
(2) (x 1) (x 1)
2
2 2 2
2
4a 9a
2 2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a)
因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法。
2
(x 1) (x 1) (x 1 x 1)(x 1x 1)
x2 6x 9
是 是 不是 不是
( x 3) 2 (2 y 1) 2
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4
(2 y)2 2 (2 y) 1 12
4 y 2 12xy 9x 2 (2x y)2 6(2x y) 9
不是 是
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
a 2ab b 或 a 2ab b 的多项式
2 2 2 2
,叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
书P ：119 习题14.3
第3题。
2
4
(2) (x 1) (x 1)
2
2 2 2
2
4a 9a
2 2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a)
因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法。
2
(x 1) (x 1) (x 1 x 1)(x 1x 1)
运用完全平方公式进行因式分解一ppt课件
(3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2
(4)4-12(x-y)+9(x-y)2 =(2-3x+3y)2
2020年3月20日4时42分
15
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
• 2:利用完a全2 平2方a公b 式b分2解因a式的b公2式形式是：
• 3:完全平方公式特点：
含有三项； 两平方项的符号同号； 首尾2倍中间项。
2020年3月20日4时42分
16
作业
P67 A组 2 3 B组 4（4） 5 6
2020年3月20日4时42分
17
2020年3月20日4时42分
18
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全
平式，则k= ±12
2.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求 a2+b2 +ab 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
2020年3月20日4时42分
7
例5
把
9x2-3x+
1 4
因式分解.
解
9x2-3x+
1 4
分析
9x2
=
=(3(x3)x2 )，2 -142=312x，2 312x+=
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
= 3 2(a b)2
=(3-2a+2b)2
因式分解(完全平方公式)课件
公式
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
因式分解完全平方公式课件
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
1 2
完全平方公式的定义
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
因式分解的概念
将一个多项式化为几个整式的积的形式
3
因式分解完全平方公式的应用
将一个多项式化为完全平方的形式，便于计算和 简化
代数表达式简化
总结词
举例
因式分解完全平方公式在简化代数表 达式方面具有重要作用。
对于表达式$x^2 + 2x + 1$，使用因 式分解完全平方公式可以将其简化为 $(x+1)^2$。
详细描述
通过因式分解完全平方公式，可以将 复杂的代数表达式转化为更简单的形 式，降低计算的复杂度，提高解题效 率。
解决数学问题
练习与巩固
提供相关练习题，让学生通过实践巩固所学知识，提高应用能力。
02
因式分解完全平方公式的基本概念
因式分解的定义和性质
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个 整式的积的形式。
性质
因式分解是整式乘法的逆运算，且每 个因式必须是整式。
完全平方公式的定义和性质
定义
完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个一次多项式的平方和或差的 形式。
04
因式分解完全平方公式的证明
证明方法一：数学归纳法
归纳步骤
假设公式对某个正整数$k$成立，推 导公式对$k+1$也成立。
基础步骤
证明公式对$n=1$成立，作为归纳推 理的基础。
证明方法二：反证法
反证法是通过假设相 反的结论来推导矛盾， 从而证明原命题正确 的方法。
完全平方公式PPT精品课件1
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
因式分解完全平方公式课件
因式分解
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
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2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
1 2 m 3mn 9n 2 4
是
a表示1 m ， 1 2 b表示3n
( m 3n) 2
2
x 10 x 25
6 3
否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
（2）x2-2· 2+ x·
b2 = (a-b) 2 =(a-3) 2 =(
=( -
- )2
)2
（2）x2-2· 4+ x·
=(
)2
多项式
x 6x 9
2
完全 平方 式?
a 、b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2ab b
2
表示为 2 ( a b) 或 2 2 形式
2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a 10a ( 25 ) ( a 5 )
2 2 2
2
(2) ( a y ) 2ay 1 ( ay 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 ( rs ) r s ( rs ) 4 2
判断下列各式是不是完全平方式，并说说理 由。
2
2
(3a-b)
2
2
2
解:原式=（3a) -2×3a×b+b
判断因式分解正误。
(1）
-x2-2xy-y2=
2 2
-(x-y)
2
2
错。应为： -x -2xy-y
( x y ) 2
(a b) 2
=-（ x +2xy+y ） =-（x+y)
( x y ) 2
一、新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×999×1 + 1 1998
= (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。
即：a 2ab b a b
2 2
2
二、完全平方式
a 2ab b
(5) ax2+2a2x+a3;
(6) －3x2+6xy－3y2.
课堂检测：分解因式：
(1) x 20 x 100
2
( 2)4 x 4 x 1
2 2
( 3)9 x 24 xy 16 y
4 2 2
2
(4) x y x y 0.25 (5)( a b ) 4a b
2xy 1 x _______ y 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 4xy 4 y 2 3 x ______
2 2
1 2 ab 4 a _______ b 4 4 2 2 5 x 2 x y ______ y4
(4) a2－
2 ab＋
b2
2
!
例题：把下列式子分解因式
2 x 2 2 x 3 y 3 y 2 x 3 y
2 2
2+12xy+9y2 4x
2
2 2首尾 尾2 =(首±尾)2 首
例题 (1) x2＋14x＋49 解：原式 x 2 x 7 7
1 4a 2
1 1 x x 2 4
2
否
否
x 4x 4 y
2
2
2
2
否
是
a表示2y， (2 y 3x) 2 b表示3x a表示(a+b)， ( a b 1) 2 b表示1
4 y 12 xy 9 x
2
(a b) 2(a b) 1
是
填一填
多项式 1 2 x x 4
3、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y2 D、 1 x 2 -xy+y 2
（1） (2)
4a2+
你会吗？ 2X2a+1 ( 2a 1)
2
( x 2 y) 2－ 6x － 9 ( x 3) 2 (3) x +
x2＋4x
y ＋4y2
2
( a b) 1 2 (5) 4a2＋2ab＋ b2 ( 2 a b ) 2 2 (6) (a+b)2＋2(a+b) ＋1 a b 1
n1
2a a
n
n 1
1 (4)( x 2)( x 3) 4
将4x2＋1再加上一项，使它成为完全 平方式，你有几种方法？
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足 等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC 是等边三角形.
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b
2
2
a 2ab b
2
2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a 2ab b a b
2
2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
做一做:分解因式
(1) 9a 6ab b
( a b)
x 2 2 x 3 32
(2 y) 2 2 (2 y) 1 12
( x 3) 2
4 y2 4 y 1
(2 y 1)
2
1 4a 2
x 1 x2 2 4
4 y 2 12 xy 9 x 2
(2 x y) 6(2 x y) 9
( x 2 y) 2
原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 ) 解：
练一练 因式分解：
解:原式=（7a) +2×7a×b+b
=(7a+b)
2
(3)49a b 14ab
2 2
2
2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
2 2 2
练一练 因式分解：
2 2 2 2 2
( 6)2 x 8 x 8 x
3 2
(7 )( x 9 y ) 36 x y
2 2 2 2
2
(8)( x 1)( x 3) 1
．分解因式：
(1)( a b ) 4a b
2 2 2 2 2 4 2
2
( 2)a 8b (a 2b )
2
( 3)a
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
例题
(5)
4a 12 ab 9b
2
2
2
2
解： 原式 (2a) 2 (2a ) (3b) (3b) (2a 3b) 2 （6） 16x4-8x2＋1
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
（1）
2+ a
2ab
2 +b
= (a+ b
2 )
（2） 32+
（3） 52+
+42 = ( 3 + 4)2
+62 = ( + )2
（4） m2+
（5） 1002+ （6） c2 +
+n2 = (m+ n )2
+12 = ( + )2 )2 +102 = ( +
（2）a2-2ab+ （2）a2-2· 3+ a· （2）m2-2· 7+ m·
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
1 2 m 3mn 9n 2 4
是
a表示1 m ， 1 2 b表示3n
( m 3n) 2
2
x 10 x 25
6 3
否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
（2）x2-2· 2+ x·
b2 = (a-b) 2 =(a-3) 2 =(
=( -
- )2
)2
（2）x2-2· 4+ x·
=(
)2
多项式
x 6x 9
2
完全 平方 式?
a 、b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2ab b
2
表示为 2 ( a b) 或 2 2 形式
2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a 10a ( 25 ) ( a 5 )
2 2 2
2
(2) ( a y ) 2ay 1 ( ay 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 ( rs ) r s ( rs ) 4 2
判断下列各式是不是完全平方式，并说说理 由。
2
2
(3a-b)
2
2
2
解:原式=（3a) -2×3a×b+b
判断因式分解正误。
(1）
-x2-2xy-y2=
2 2
-(x-y)
2
2
错。应为： -x -2xy-y
( x y ) 2
(a b) 2
=-（ x +2xy+y ） =-（x+y)
( x y ) 2
一、新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×999×1 + 1 1998
= (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。
即：a 2ab b a b
2 2
2
二、完全平方式
a 2ab b
(5) ax2+2a2x+a3;
(6) －3x2+6xy－3y2.
课堂检测：分解因式：
(1) x 20 x 100
2
( 2)4 x 4 x 1
2 2
( 3)9 x 24 xy 16 y
4 2 2
2
(4) x y x y 0.25 (5)( a b ) 4a b
2xy 1 x _______ y 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 4xy 4 y 2 3 x ______
2 2
1 2 ab 4 a _______ b 4 4 2 2 5 x 2 x y ______ y4
(4) a2－
2 ab＋
b2
2
!
例题：把下列式子分解因式
2 x 2 2 x 3 y 3 y 2 x 3 y
2 2
2+12xy+9y2 4x
2
2 2首尾 尾2 =(首±尾)2 首
例题 (1) x2＋14x＋49 解：原式 x 2 x 7 7
1 4a 2
1 1 x x 2 4
2
否
否
x 4x 4 y
2
2
2
2
否
是
a表示2y， (2 y 3x) 2 b表示3x a表示(a+b)， ( a b 1) 2 b表示1
4 y 12 xy 9 x
2
(a b) 2(a b) 1
是
填一填
多项式 1 2 x x 4
3、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y2 D、 1 x 2 -xy+y 2
（1） (2)
4a2+
你会吗？ 2X2a+1 ( 2a 1)
2
( x 2 y) 2－ 6x － 9 ( x 3) 2 (3) x +
x2＋4x
y ＋4y2
2
( a b) 1 2 (5) 4a2＋2ab＋ b2 ( 2 a b ) 2 2 (6) (a+b)2＋2(a+b) ＋1 a b 1
n1
2a a
n
n 1
1 (4)( x 2)( x 3) 4
将4x2＋1再加上一项，使它成为完全 平方式，你有几种方法？
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足 等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC 是等边三角形.
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b
2
2
a 2ab b
2
2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a 2ab b a b
2
2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
做一做:分解因式
(1) 9a 6ab b
( a b)
x 2 2 x 3 32
(2 y) 2 2 (2 y) 1 12
( x 3) 2
4 y2 4 y 1
(2 y 1)
2
1 4a 2
x 1 x2 2 4
4 y 2 12 xy 9 x 2
(2 x y) 6(2 x y) 9
( x 2 y) 2
原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 ) 解：
练一练 因式分解：
解:原式=（7a) +2×7a×b+b
=(7a+b)
2
(3)49a b 14ab
2 2
2
2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
2 2 2
练一练 因式分解：
2 2 2 2 2
( 6)2 x 8 x 8 x
3 2
(7 )( x 9 y ) 36 x y
2 2 2 2
2
(8)( x 1)( x 3) 1
．分解因式：
(1)( a b ) 4a b
2 2 2 2 2 4 2
2
( 2)a 8b (a 2b )
2
( 3)a
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
例题
(5)
4a 12 ab 9b
2
2
2
2
解： 原式 (2a) 2 (2a ) (3b) (3b) (2a 3b) 2 （6） 16x4-8x2＋1
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
（1）
2+ a
2ab
2 +b
= (a+ b
2 )
（2） 32+
（3） 52+
+42 = ( 3 + 4)2
+62 = ( + )2
（4） m2+
（5） 1002+ （6） c2 +
+n2 = (m+ n )2
+12 = ( + )2 )2 +102 = ( +
（2）a2-2ab+ （2）a2-2· 3+ a· （2）m2-2· 7+ m·