2014届北京市朝阳区高三3月第一次综合测试理科数学试题(一模)含答案解析
朝阳高三一模数学卷理科有答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =3.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在 如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B. 2D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______. 11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值．16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF若存在，求出EM EC的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值；A B F E D C（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． （Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ；（Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4一、选择题（满分40分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m . ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人． 所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P XC ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分（Ⅱ）因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD =AD ，CDAD ，CD 平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CDED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)m ，由（Ⅱ）知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则010m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->0x 解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<0x解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+，所以||AB==． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+33222|13kx y k -=+23323|13k y y k --=+==< 当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为 …………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾.当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤， 所以，m b 为不超过212m 的最大整数， 当21m k k N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+， 所以222m b k k =-；当2m k k N 时，22122m k =，所以，22m b k =.综上，2222,21(2,2(mk k m k k b k m k k N )N )， 即当0m 且m 为奇数时，212m m b ；当0m 且m 为偶数时，22m m b . 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立， 故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =；当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-；当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n N ). ………13分。
2014朝阳一模 北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 理科4份(语数英理综)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习语文试卷2014．3(考试时间l50分钟满分l50分)本试卷共6页。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请交回答题卡。
一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
阅读下面文字，完成1～3题。
北京城是大气的。
这种大气首先体现在建筑上，不要说偌．大的一个紫禁城只住皇帝“一家人”，便是最不起眼的四合院，也是疏落有致，颇多空间的。
北京城的大气更体现在文化上，北京从来就是汉胡①，五方杂处．的地方，三教九流，五行八作，都在这里出入、汇集和发展，各种文化都在这里交流、碰撞和融合。
一个外地人，只要他到了北京，保准不会感到别扭；如果他还很随和，会说几句普通话，那么，用不了几天，他几乎就会觉得自己是个北京人了。
这就是北京：古老而又新鲜，博大而又精深，高远而又亲切，迷人而又难解。
它是单纯的，单纯得你一眼就能认出这就是北京；它又是多彩的，多彩得你永远无法一言以蔽之。
而无论久远深厚的历史也好，生机勃发的现实也好；豪雄甲的王气也好，醇厚平和的民风也好，只要你一走进北京，它们都会向你扑面而来，让你②。
你可能会惊异于现代都会的日新月异，也可能会流连于千年古都的乙深沉；可能会丙于文化名邑的清雅幽远，也可能会迷恋于民众舞台的柳暗花明。
所有这些，都会使一个初进北京的人感到无比的神奇，它会使你心旌摇荡，神志痴迷，不知所以。
可以这么说，任何试图读懂北京的人，一开始，都会有一种不得其门而入的感觉。
(取材于易中天《读城记》，有删改) 1．文中加点字的读音和填入①②处的词语的字形全都正确的一组是A．偌．(nuò)大杂揉五方杂处．(chǔ) 目不瑕接B．偌．(ruò)大杂糅五方杂处．(chǔ) 目不暇接C．偌．(nuò)大杂揉五方杂处．(chù)) 目不暇接D．偌．(ruò)大杂糅五方杂处．(chù) 目不瑕接2．依次填入文中甲、乙、丙处的词语，最恰当的一组是A．浩荡深厚沉湎B．浩瀚雄厚沉湎C．浩荡雄厚沉醉D．浩瀚深厚沉醉3．文中黑体字成语运用不恰当．．．的一项是A．一言以蔽之B．生机勃发C．柳暗花明D．不知所以4．下列四副对联中，最适宜用来迎接友人来访的一项是A．珠联璧合乾坤定，花好月圆鸾凤鸣。
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷（带解析）1．已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2【答案】C 【解析】试题分析：1|21}|1}x B x x x -=>=>｛｛，{}|13,}2A B x x x N =<<∈=｛．考点：集合运算．2．已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是（ ） （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -【答案】C 【解析】 试题分析：()212i 11i 2i i i +==-+-． 考点：复数运算．3．若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6 【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件,1,x y y x +⎧⎪+⎨≤3≤画出可行域，由可行域可知，在()3,0点取得最大值，j4．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）（A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】试题分析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为P q ∧，而P q ∧的否定是()()p q ⌝∨⌝．考点：逻辑量词．5．执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：第一次运行后2,3S i ==；第二次运行后5,5S i ==；第三次运行后10,7S i ==；第四次运行后17,9S i ==；此时满足97>，终止运行，故输出17S =考点：算法框图．6．函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 满足，()()22sin sin ()()11x xf x f x x x --==-=-+-+，故函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称可排除,C D ，当2x π=时,函数()02f π>，可排除B ，故选A ．考点：函数的奇偶性，函数图像．7．已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2A B A C -与CA 的夹角是（ ）（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120 【答案】C 【解析】试题分析：由题意1AB =，1AC =，1cos 602AB AC AB AC ⋅=︒=，222124444132AB AC AB AB AC AC -=-⋅+=-⨯+=，故23AB AC -=，()21222102AB AC CA AB CA AC ⎛⎫-⋅=⋅+=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以()2cos 2,02AB AC CA AB AC CA AB AC CA-⋅〈-〉==-，故2AB AC -与CA 的夹角是90︒．考点：向量的数量积． 8．如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.CBA其中正确命题的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④【答案】Ｂ 【解析】试题分析：①若A D BC '⊥，取BD 的中点O ，由''A D A B =得，'A O BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，即'A O BC ⊥，所以BC ⊥平面A BD '，得BC BD ⊥，而45DBC ∠=︒，故命题不成立；②三棱锥A BCD '-的体积为113226V =⨯=，故命题不成立；③因为45BCD ∠=，45DBC ∠=，所以CD BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，CD ⊥平面A BD '，故命题成立；④由③知CD ⊥平面A BD '，故'CD A B ⊥，又因为''A D A B ⊥，所以'A B ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故命题成立；由此可得正确命题的序号是③④．182022242628303234C考点：立体几何中垂直问题．9．抛物线28y x =的准线方程是 . 【答案】2x =- 【解析】试题分析：由题意可知28p =，所以22p=，焦点在x 轴的正半轴，故准线方程是2x =-． 考点：抛物线的准线．10．在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分. 【答案】16 【解析】试题分析：设最高分与最低分分别为,x y ，则486490x y +⨯=+⨯，解得49048616x y -=⨯-⨯=．考点：统计，平均值．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a =；C ∠= .【答案】30 【解析】试题分析：由余弦定理得，222222cos 42242cos6012a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=，所以a =，由正弦定理得，sin sin c a C A =，即sin 1sin 2c A C a ===，又因为c a <，所以30C =︒．考点：解三角形．12．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．【答案】12；3【解析】211211132S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+8101214161820222411考点：由三视图求面积、体积．13．已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥m 的取值范围是 .【答案】⎡⎣【解析】试题分析：设AB的重点为D ，由22144OD AB +=得，俯视图222211412344OD AB OD OD =+≥+⨯=+，从而得1OD ≤，由点到直线的距离公式可得1m OD =≤，解得m ≤≤考点：直线与圆相交的性质．14．将1，2，3， ，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ． 【答案】二；{}3,4,9【解析】试题分析：由题意，4不能写在第一张卡片上，因为541-=，4不能写在第二张卡片上，因为422-=，故4只能写在第三张卡片上；6不能写在第一张卡片上，因为651-=，6不能写在第三张卡片上，因为633-=，故6只能写在第二张卡片上；8不能写在第二张卡片上，因为862-=，8不能写在第三张卡片上，因为844-=，故8只能写在第一张卡片上；剩余7,9只能放到第二，三张卡片上，7不能写在第三张卡片上，因为743-=，故7只能写在第二张卡片上，剩余9只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是{}3,4,9． 考点：逻辑推理．15．已知函数()2sin cos f x x x x =. （1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）(0)f =)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）()fx 取得最小值()f x 取得最大值2． 【解析】试题分析：（1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间，首先对函数()f x 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知()2sin cos f x x x x =，可用二倍角公式将函数()f x 化为π()2sin(2)3f x x =-，即可求出()2f π的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，由（1）知π()2sin(2)3f x x =-，由π0,2x ≤≤得，ππ2π2333x --≤≤，可利用sin y x =的图像可得，函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试题解析：（1）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 8分 （2）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤. 所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. 13分考点：三角函数化简，倍角公式，三角函数的单调性与最值．16．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（1）求a ，b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．【答案】（1）2a =，4b =；（2）3()5P B =．【解析】试题分析：（1）求a ，b 的值，由题意，从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人，可由21()205a P A +==，解出a 的值，从而得b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率，这显然是古典概型，由题意，运动协调能力为优秀的学生共有6位，列出从6人中任意抽取2人的方法，得方法数，找出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的方法数，由古典概型，可求出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．试题解析：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． 5分（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 13分考点：古典概型． 17．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=.（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ；（2）求证：AO ∥平面1BC D ；（3）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）M 点在线段1C E 上，OM的最小值min 7OM =．【解析】试题分析：（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面11B BDD 找两条相交直线与11AC 垂直，由于底面1111A B C D 为菱形，则1111ACB D ⊥，又1AA ⊥底面ABCD ，得1BB ⊥底面1111A BCD ，即1BB ⊥11AC ，从而得证；（2）求证：AO ∥平面1BC D ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到O 是11AC 的中点，连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E ，证得四边形1AOC E 是平行四边形，从而得AO ∥1C E ，从而可证AO ∥平面1BC D .；（3）连接OE ，则BD OE ⊥，又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ，得BD ⊥平面1C EO ，由已知可知，BD ∥11B D ，由OM ⊥11B D ，得OM BD ⊥，故M 点一定在线段1C E 上，这样就得到点M 的轨迹，进而可得OM 的最小值.试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11AC ⊂底面1111A B C D ,所以1BB ⊥11AC .因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B =，所以11AC ⊥平面11B BDD .4分（2）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC ,且11AA CC =，1AA AC ⊥,所以11A ACC 为矩形.所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11AC AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形，则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . 9分（3）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥.又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .故M 点一定在线段1C E 上.当1OM C E ⊥时，OM 取最小值.在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 17OC OE OM C E ⋅==. 14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定．18．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）曲线()y f x =在e x =处的切线方程1e y x =；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e +∞.【解析】试题分析：（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =，又(e)1f =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,+∞，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x -'=-=，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围．试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x= 4分 （2）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x -'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a <<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞. 9分（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a +∞上为减函数， 由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a =-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,)2，一个焦点为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）||||AB PQ的取值范围为．【解析】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =利用过点，可得221314a b +=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求||||AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求||PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得||PQ 的长，这样就得||||AB PQ 的取值范围．试题解析：（1）由题意得2222=3,131,4a b a b ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 4分（2）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k +，又点(1,0)P ，所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++．因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为． 14分考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．20．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>. （1）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.【答案】（1）22a b >，（2）10b 是{}n a 中的一项，正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或．【解析】 试题分析：（1）记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠，比较2a 与2b 的大小关系，由已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>，且33a b =，得1313222a a b b a ++==，2b =，当2b =22a b >，当2b =132b b +，从而可比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==，可得2q =-，(1)3d a q a =-=-，（ⅰ）令10k a b =，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出k ，若是正整数，10b 为数列{}n a 中的某一项，若不是正整数，10b 不是数列{}n a 中的一项，（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合，可由（ⅰ）的方法写出． 试题解析：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（1）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b bb =，2b =当2b =22a b >；当2b =由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >.综上所述，22a b >． 5分（2）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设mk b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N .正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. 13分考点：基本不等式，等差数列与等比数列的通项公式．。
2014年北京市朝阳区高三一模数学(文)试题和答案
2014年北京市朝阳区高三一模数学(文)试题和答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2014.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B = （A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2（2）已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是 （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i - （3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是 （A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为 （A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝（D ）()()p q ⌝∨⌝ （5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）282sin ()1xf x x =+的图象大致为（A ）（B ） （C ） （D ）（7）已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120（8）如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠=,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）抛物线28y x =的准线方程是 .（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a = ；C ∠= . （12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ． （13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥ 则实数m 的取值范围是 .（14）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数 之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张 卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =.正视图俯视图CBA2014年北京市朝阳区高三一模数学(文)试题和答案（Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． （16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率． （17）（本题满分14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=. （Ⅰ）求证：11A C ⊥平面11B BDD ；（Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值. （18）（本小题满分13分）设函数()ln fx x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． （20）（本小题满分13分）已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>.（Ⅰ）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；（Ⅱ）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2014.315. 解：（Ⅰ）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==- 所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ，得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤. 所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. ……………………13分16. 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人．设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能A BD 1 C 1D COA 1B 1力优秀的学生，则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． …………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑 思维能力优秀的学生．事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==． 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35．……………13分17. 解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11A C ⊂底面1111A B C D ,所以1BB ⊥11A C .因为1111A B C D 为菱形,所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B =，所以11A C ⊥平面11B BDD …4分 （Ⅱ）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC ,且11AA CC =，1AA AC ⊥,所以11A ACC 为矩形.所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11A C AC =,所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形，则AO ∥1C E . 又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . …………………9分（Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥. 由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥.又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .故M 点一定在线段1C E 上.当1OM C E ⊥时，OM 取最小值.在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 17OC OE OM C E ⋅==. …………………14分 18.解：(I)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1ey x = ………………4分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()axF x a x x-'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<.综上所述，当0a ≤时,函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时,函数()F x 的增区间是1(0,)a ,减区间是1(,)a+∞…9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a上为增函数,区间1(,)a +∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e+∞. …………………………………………………13分19. 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b a b⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ……………4分 （Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，A B D 1 C 1D C OE M A 1 B 121224414k x x k -=+，121222(2)14k y y k x x k-+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k k k k -++，所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++ 因为0k ≠，所以221331k <-<+． 所以||||AB PQ的取值范围为(4,． …………14分 20. 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b =2b =22a b >；当2b =时，由平均值不等式132b b +13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b+>即22a b >.综上所述，22a b >．…………………5分（Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q-+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-。
2014届北京市朝阳区高三3月第一次综合测试理科数学试题(一模)含答案解析
2 ． 5
（I）求 a ， b 的值； （II）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生的概率； （III）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学 生人数为 ξ ，求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ ．
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（14）如图，在四棱锥 S − ABCD 中， SB ⊥ 底面 ABCD ．底 面 ABCD 为梯形， AB ⊥ AD ， AB ∥ CD , AB = 1, AD = 3 ，
S
CD = 2 ．若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足 ∠SEC = 90° 的 点 E 的个数是 ．
（6）执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 （B） −2 （D） −4
i<4？
是
否
输出 S 结束 （第 6 题图）
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（7）已知函数 f ( x) =
sin x ．下列命题： x2 + 1
①函数 f ( x) 的图象关于原点对称； ②函数 f ( x) 是周期函数； ③当 x =
AB 长度的最小值是 ．
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积 为 ；表面积为 ．
1 正视图 1 1 1 侧视图
俯视图
y2 （12）双曲线 x − 2 = 1(b > 0) 的一个焦点到其渐近线的距离是 2 ，则 b = b
2
；
此双曲线的离心率为 ． （13）有标号分别为 1,2,3 的红色卡片 3 张，标号分别为 1,2,3 的 蓝色卡片 3 张，现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内 （如图） ．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ． （用数字作答）
北京市朝阳区重点中学2014年春学期高三年级一模理综试卷(有答案)
北京市朝阳区重点中学2014年春学期高三年级一模考试理综试卷，有答案本试卷共300分，考试时长150分钟。
以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1. 下列有关真核细胞的叙述中，正确的是A. 核糖体是蛋白质的“装配机器”，由蛋白质和mRNA组成B. 醋酸洋红进入细胞使染色体着色，体现了膜的选择透过性C. 衰老细胞内染色质的收缩会影响遗传信息的表达D. 原癌基因和抑癌基因的表达会导致正常细胞发生癌变2. 在细胞和生物体的生命活动中，不．可能发生的是A. DNA→RNA→氨基酸B. 内质网膜→囊泡膜→高尔基体膜C. 性激素→下丘脑，性激素→垂体D. 生长素→果实发育，生长素→发芽3. 用3H标记蚕豆根尖分生区细胞的DNA分子双链，再将这些细胞转入含秋水仙素但不含3H的普通培养基中培养。
若秋水仙素对细胞连续发挥作用，则相关叙述不．正确的是A. 秋水仙素可抑制纺锤体的形成，但不影响着丝点的正常分裂B. 通过对细胞中不含单体时的染色体计数，可推测DNA复制的次数C. 通过检测DNA链上3H标记出现的情况，可推测DNA的复制方式D. 细胞中DNA第二次复制完成时，每条染色体的单体均带有3H标记4. 下列关于生产措施或生活现象的分析，错误．．的是A. 零度以上低温贮存果蔬，可降低呼吸酶活性，减少有机物的分解B. 提倡慢跑，可防止因肌细胞无氧呼吸积累乳酸而导致的酸胀乏力C. 若H7N9禽流感病毒侵入人体，机体的T细胞会合成并分泌淋巴因子D. 由于亚硝酸盐含量先减少后增加，故应在其含量增加前尽快食用泡菜5. 黄花刺茄是具有很强的耐贫瘠和耐干旱特性的草本植物，原产北美洲，我国于1981年首次发现该物种入侵，目前已在多省区有分布，对本地物种造成危害。
以下叙述正确的是A. 黄花刺茄可以增加入侵地的物种多样性，提高生态系统的生态功能B. 荒地、路边、弃耕地、过度放牧的草地，黄花刺茄可取得优势地位C. 控制黄花刺茄的方法主要有化学防治和人为铲除，化学防治最好D. 导致黄花刺茄在入侵地呈J 型疯长的主要原因是其基因发生了突变 6. 当身处贴有下列标志的环境时，行为不正确．．．的是7. 已知：① ②下列说法不正确．．．的是 A. ①和②的变化过程都会放出热量B. 氯原子吸引电子的能力强于钠原子和氢原子C. ①和②中的氯原子均得到1个电子达到8电子稳定结构D. 生成等物质的量的产物，①和②转移的电子数相同 8. 综合下图判断，下列叙述不正确．．．的是A. Ⅰ、Ⅱ的反应原理均是22Zn CuZn Cu +++=+B. Ⅰ、Ⅱ中均有电子转移，均是把化学能转化为电能C. 随着反应的进行，Ⅰ、Ⅱ中CuSO 4溶液颜色均渐渐变浅D. 取a 中溶液，加足量32Ba(NO )溶液，过滤后向滤液中加AgNO 3溶液，有沉淀产生 9. 下列解释事实的方程式不准确．．．的是 A. 氨水使湿润的红色石蕊试纸变蓝：324NH H O NH OH +-⋅+B. 工业上用过量NaOH 溶液吸收223SO :SO OH HSO --+=C. 用烧碱溶液清洗铝表面的氧化膜：23222OH Al O 2AlO H O --+=+ D. 用石灰乳吸收泄漏的氯气：222222Ca(OH)2Cl CaCl Ca(ClO)2H O +=++10. 下列实验事实不能用．．．平衡移动原理解释的是11. 下图为实验室制取乙炔并验证其性质的装置图。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试题理
（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π （C ） 32π （D ） 65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ）25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④ （8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3M N O M O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是 （A ）(2,22⎡-⎣ （B ）(22,4⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ） [-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==. 显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥． 又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，， 所以cos ,32EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C -- ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240e a =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24e a =，舍去．综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.所以当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试题理11 / 11 记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。
朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x << 7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A .12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值． 16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）0.03750.0125O0.025如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？若存在，求出EM EC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分） 已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数. 19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F，离心率为3F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值． 20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． （Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； （Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4ABFE D C三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人. 分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分 （Ⅱ）因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， C D A D^，CD Ì平面ABCD ， 所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ，故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ，由（Ⅱ）知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ，则010??m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=()01λ?，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB=． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+==< 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k =-()k *ÎN 时，因为222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2m k =()k *ÎN时，22122m k =，所以，22m b k =.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )， 即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n *ÎN ). ………13分。
北京市朝阳区重点中学2014年春学期高三年级一模数学试卷(理科,有答案)
北京市朝阳区重点中学2014年春学期高三年级一模数学试卷（理科，有答案）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合{}11≤≤-∈=x R x A ，{}0)3(≤-∈=x x R x B ，则B A 等于A. {}31≤≤-∈x R xB. {}30≤≤∈x R xC. {}01≤≤-∈x R xD. {}10≤≤∈x R x2. 在极坐标系中，点A ()π，1到直线2cos =θρ的距离是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为A. 58B. 1229C.35 D. 813 4. 已知函数f （x ）是定义在[]6,6-上的偶函数，且f （3）＞f （1），则下列各式一定成立的是A. f （0）＜f （6）B. f （－3）＞f （－2）C. f （－1）＜f （3）D. f （－2）＞f （1） 5. “1>>n m ”是“2log 2log n m <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛。
经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示。
若甲乙两人的平均成绩分别是甲x ，乙x ，则下列说法正确的是A. 甲x ＞乙x ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B. 甲x ＞乙x ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C. 甲x ＜乙x ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D. 甲x ＜乙x ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A.314 B. 4 C.310 D. 38. 如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”。
北京市朝阳区年一模数学理科试题
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><UD ． ∅（3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 6πB ． 3πC ．32πD ．65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ）A ． 14 B． 13 C ． 25 D ． 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC 是“π3B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-（7）已知函数2sin()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值； ④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A ． ①③B ．②③C ． ①④D ．②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N，且MN ON +uuu r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(-U B．(⎡--⎣UC ． [2,2]-D ．[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如 图）．若颜色相同的卡片在同一行， 则不同的放法种数为 ．（用数字作答）（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，正视图 俯视图SAB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的 动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（I）求a，ξ的值；（II）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．A E BCDP F（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标； 若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n L 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．。
北京市朝阳区2014年一模数学(理科)答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）三、解答题15． （本小题满分13分） 解： ()f x =sin2cos2x x -)4x π=-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π． ………………………… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 13分16． （本小题满分13分） 解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． ………………………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． ………………………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯== ………………………… 13分17． （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线．所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形， 所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ． 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． 又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF P 平面PAD ． …………………………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-uu u r ，，，(200)CD =-uu u r，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=uu u r uu u r ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=uu u r uu u r，， 所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． ………………………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-uu u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则 0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ruu ur n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,.x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，， 所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r uu u r n n n 由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角， 所以二面角E PD C --． …………………………14分 18． （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =．①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，AE BCDPFG所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211e a <<时，函数()f x在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． …………………………13分 19． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． (4)分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=uuu r uuu r恒成立．又因为112(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k =+，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++ 22314k k -=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分20． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．所以(5,3)4f =． ………………………… 3分（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N ． 1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11L ． 对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -L 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91L 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11L ；2,3,4,,12L ；L ；91,92,93,,100L ，其它同理）．所以当d 取1,2,,11L 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=L ．………………………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤．d 的可能取值为1,2,,t L ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --L 时，可得递增等差数列(1)n m d --个．所以当d 取1,2,,t L 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+--易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅(1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：2i(2+i)=2i i 12i z =+=-+对应的点为(1,2)- 所以对应的点在第二象限． 故选B ．2．【答案】A【解析】解：1{|()1}{|0}2x A x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=> 所以{|0}A B x x =>U ． 故选A3．【答案】B【解析】解：因为(2)()=2⋅--a +b a b ， 所以2222+⋅-=-a a b b 所以22cos ,22+<>-=-a a b a b b又2==a b ，所以44cos ,82+<>-=-a b 所以1cos ,2<>=a b 所以π,3<>=a b ． 故选B4．【答案】A【解析】解：阴影部分面积为134100111|0444x dx x ==-=⎰；区域D 的面积为111⨯=； 由几何概型知识，得概率为114=14．故选A ．5．【答案】B【解析】解：若AC π4A =，BC =，由正弦定理得sin sin AC AB BC⋅==又(0,π)B ∈，则π3B =或2π3．所以“AC =”推不出“π3B =”；另一方面，若π4A =，BC =π3B =，则sin sin BC BAC A⋅==，所以“π3B =”能推出“AC ” ．所以“AC 是“π3B =”的必要不充分条件． 故选B6．【答案】D4-故答案为D ．7．【答案】C【解析】解：对于①，因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，①正确； 对于②，因为sin y x =是周期函数，211y x =+不是周期函数，所以2sin ()1xf x x =+不是周期函数，故②不正确；对于③，因为()f x 图象连续不断且定义域为R ，所以()f x 的最大值一定是()f x 的极值；而222cos (1)sin 2'()(1)x x x x f x x +-⋅=+，22ππ'()0π2(1)4f -=≠+，所以当2x π=时，函数()f x 不取极值，故③错；对于④，由于()f x 与1y x=均关于原点对称，所以只需考虑0x >部分，因为22sin 11()11x f x x x x =<<++，故函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，④正确．故答案选C8．【答案】D【解析】如图，设圆心(0,0)到直线y x m =+的距离2m d =，所以22222162m MN r d =-=-uuu r ，如图，22OM ON OA d m +===uuu r uuu r uu r又3MN OM ON ≥+uuu r uuu r uuu r ，则221662m m -≥，解得2222m -≤≤．故答案选D ．二、 填空题 9．【答案】30【解析】解：设{}n a 的公比为q ，因为12a =，2312a a +=， 所以21112a q a q +=，即260q q +-=，(3)(2)0q q +-=， 所以3q =-（舍），2q =所以34116a a q ==，4123430S a a a a =+++=； 故答案为30．10．【答案】2【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，222x y x +=，22(1)1x y -+=； 由cos 4ρθ=，得4x =；圆心(1,0)到4x =的距离的为3．所以线段AB 长度的最小值为312-=； 故答案为2．11．【答案】1,233+【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥；所以体积111211323V =⨯⨯⨯⨯=；表面积2211332121222322S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+． 故答案为1,233+12．【答案】2,5【解析】解：因为双曲线2221(0)y x b b-=>，所以焦点2(1,0)b ±+，准线为y bx =±；又焦点到其渐近线的距离是2，所以221+21+b b b=，即2b =．离心率为ca =21+5b =故答案为2,513．【答案】72【解析】解：分步计数原理，33233272A A A ⋅⋅=． 故答案为72．14．【答案】2【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设SB a =，(03)AE b b =≤≤ 则(0,0,)S a ，(3,1,0)C -，(,1,0)E b所以(,1,)ES b a =--uu r ，(3,2,0)EC b =--uu u r因为90SEC ∠=︒，2320ES EC b b ⋅=-++=uu r uu u r，解得1b =或2． 故答案为2．更多试题下载： （在文字上按住ctrl 即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】 高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】。
2014北京各区高考数学一模试题及答案解析.doc
2014北京各区高考数学一模试题及答案解析2014年北京市各县区的高考一模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。
本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考一模试题及答案汇总，供考生参考！2014北京海淀区高考数学一模试题及答案解析数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种。
北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试 理科数学 Word版含解析(
北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试理科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若A B B = ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是( ) A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x +≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x +≤ C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x +>3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( ) A ．91B ． 55C ．54D ．304.若01m <<， 则( )A ．log (1)log (1)m m m m +>-B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-考点：1.对数函数的单调性；2.对数函数的图像与性质；3.指数函数的单调性5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于( ) A ．3 B ．32 C ．1 D ．12【答案】A【解析】试题分析：考点：定积分6.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列结论中错误．．的是( ) A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ，2λ∈R ），则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07.若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是( ) . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞【答案】D 【解析】试题分析：函数()2f x x k =-是将函数2y x =的图像先向下平移k 个单位，然后将x 轴下方的图像向上翻折得到的，如图所示：8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差数列．那么6133A A 中元素的个数是( ) A ．96B ．94C ．92D ．90【答案】B 【解析】第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ．10.函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 【答案】1 【解析】试题分析：()44333133y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当12.已知平面向量a 与b 的夹角为6π，=a 1=b ，则-=a b ；若平行四边形ABCD 满足AB =+ a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13.已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 若2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．【答案】31a -<< 【解析】试题分析：根据所给的分段函数，画图像如下：可得135 a a a <<<，246 a a a >>>，所以函数1()n n a f a +=从第一项开始，函数值先增大后减小再增大再减小，最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项的值总是大于奇数项的值，所以20a ，25a ，30a 的大小关系是253020a a a <<. 考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数特性；3.指数函数的单调性三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分13分)已知函数2π())4cos 4f x x x =-+．(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最小值； (Ⅱ)若π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．sin 2cos22x x =++π)24x =++． ………4分(Ⅰ) 函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为2 ………6分(Ⅱ)由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)42α+=． ………8分 又因为π[0,]2α∈，所以ππ5π2444α≤+≤， ………10分 所以ππ244α+=或π3π244α+=．所以0α=或π4α=． ………13分考点：1.和角公式与差角公式；2.二倍角公式；3.三角函数的图像与性质；4.三角函数的最小正周期16.(本小题满分13分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A =． (Ⅰ)若5=bc ，求ABC ∆的面积； (Ⅱ)若1a =，求b c +的最大值.（Ⅱ）因为,552sinA17.(本小题满分13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-.(Ⅰ)求n a ；(Ⅱ)若123n n T a a a a =++++ ，求5T 的值和n T 的表达式.试题解析：(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩18.(本小题满分14分)已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R . (Ⅰ)若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (Ⅱ)若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；(Ⅲ)设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．【答案】(Ⅰ)1a >；(Ⅱ) 80a -≤≤ ；(Ⅲ) 6b ≥或3b ≤-. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 函数()y f x =的图像与x 轴无交点，那么函数对应的方程的判别式0∆<，解不等式即可；(Ⅱ)先判断函数()y f x =在闭区间[1,1]-的单调性，然后根据零点存在性定理，可知(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，解方程组求得同时满足两个表达式的的取值范围；(Ⅲ) 若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集即可.先求出函数()y f x =在区间[1,4]上的值域是[1,3]-，然后判断函数()y g x =的值域.分0b =，0b >，0b <三种情况进行分类讨论，当0b ≠时，函数()y g x =是一次函数，最值在两个区间端点处取得，所以假设其值域是[],m n ，那么就有13mn -≥⎧⎨≤⎩成立，解相应的不等式组即可. 试题解析：(Ⅰ)若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x =的判别式0∆<， 即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤-； 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤-. ………14分 考点：1.方程根的个数与判别式的关系；2.零点存在性定理；3.二次函数在闭区间上的值域；4.一次函数的单调性；5.二次函数的图像与性质19.(本小题满分14分)已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.试题解析：(Ⅰ) 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x -++=(3)()x x m x--=. (ⅰ)若0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)若3m =，2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.20.(本小题满分13分)如果项数均为()*2,n n n N≥∈的两个数列{}{},nna b 满足()1,2,...,k k a b k k n -==且集合{}{}1212,,...,,,,...,1,2,3,...,2n n a a a b b b n =，则称数列{}{},n n a b 是一对 “n 项相关数列”.(Ⅰ)设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相 关数列” {}{},n n a b ；(Ⅱ)是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对． 【答案】(Ⅰ) 23；13；}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 ；(Ⅱ)不存在，理由见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 依题意有，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，以及1234123436a a a a b b b b +++++++=，求得1234a a a a +++以及1234b b b b +++的值，写出符合条件的数列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假设存在，利用反证法证明得出矛盾，即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有112215151,2,,15 a b a b a b -=-=-=，以及12101210465 a a a b b b +++++++=成立，解出12155852a a a +++=与已知矛盾，即证；(Ⅲ) 对于确定的n ，任取一对 “n 项相关数列”}{},{n n b a ，构造新数对k k b n c -+=12，kk a n d -+=12),,2,1(n k =，则可证明新数对也是“n 项相关数列”，但是数列}{n c 与}{n a 是不同的数列，可知“n 项相关数列”都是成对对应出现的，即符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对.试题解析：(Ⅰ)依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=， 123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一）………3分又因为。
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（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π（C ）32π （D ） 65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ） 25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且M N O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（A ）(- （B）(⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ）[-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==.显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF 平面PAD ． ……………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ． 因为(0,11)EF = ，，(022)PD =- ，，，(200)CD =- ，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-= ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =- ，，，(0,22)PD =- ,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --． ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去． （2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=， 解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去． 综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=1314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =- ，2022(,)2y QN x x =- ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=---- 恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11 ． 对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d - 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11 ；2,3,4,,12 ； ；91,92,93,,100 ，其它同理）. 所以当d 取1,2,,11 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅= ．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，第 11 页 共 11 页 记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d -- 时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。