变化磁场计算题

2137

两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且

垂直，相对位置如图．CD 杆以速度v

平行直线电流

运动，求CD 杆中的感应电动势，并判断C 、D 两端

哪端电势较高？

解：建立坐标(如图)则：

21B B B

+=

x

I

B π=

201μ， )(202a x I

B -π=μ 2分 x I

a x I

B π-

-π=

2)

(200μμ， B

方向⊙ 1分

d εx x a x I x B d )1

1(2d 0--π==v

v μ 2分

ε⎰⎰

--π=

=+x x a x I b

a d )1

1(2d 202a

v

μ b

a b a I ++π=2)(2ln 20v μ 2分 感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高． 1分 0314

a a b

I I C

D

v

2a

x +d x 2a +b I

I C

D

v

x

O

x

载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设

半圆环以速度 v 平行导线平移，求半圆

环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压U M - U N ． 解

：

动生电动势 ⎰⋅⨯=MN

v l B MeN

d )(E

为计算简单，可引入一条辅助线

MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势

0=+=NM MeN E E E 总

MN NM MeN E E E =-=

2分

x x I l B b a b

a MN

d 2d )(0⎰⎰⋅+-π-=⨯=μv v MN E b a b

a I -+π-=ln 20v μ 负号表示MN

E 的方向与x 轴相反． 3分

b a b a I MeN

-+π-=ln

20v

μE 方向N →M 2分

b a b

a I U U MN

N M -+π=-=-ln 20v

μE 3分

b M

N

e

a

I O

v

v

e

I a

b M

N O B

x

2482

一根同轴线由半径为R 1的长导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I 沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B 的分布． 解：由安培环路定理： ∑⎰⋅=i

I l H

d

0< r

21

2

/2R

Ir rH =π

21

2R Ir H π=， 2102R Ir B π=μ 3分 R 1< r

r I

H π=

2，

r I

B π=

2μ 3分

R 2< r

(222

232

22R R R r I I rH ---=π

)1(222

232

22R R R r r I

H ---π=

I I

R

1

R 2R 3

)1(222

232

2

200R R R r r I

H B ---π==μμ 3分 r >R 3区域： H = 0，B = 0 3分 5150

一长直导线载有电流I ，在它的旁边有一段直导线 AB （L AB =），长直载流导线与直导线在同一平面内，夹角为θ．直导线AB 以速度

v

（v 的方

向垂直于载流导线）运动．已知：I

=100A ，v =5.0m/s ，a =2cm ，=AB 16cm ，求： (1) 在图示位置AB 导线中的感应电动势1．

(2) A 和B 哪端电势高． 解：(1) AB 中的感应电动势为动生电动势，如图所示，d l 所在处的磁感强度为

)2/(0r I B π=μ

d l 与d r 的关系为 d l = d r /sin θ 2分

令 b = a + L sin θ，AB 中的感应电动势为

⎰⎰⋅π=⨯=L

v v l r I l B d cos 2d )(0θμ

θθμsin d cos 20r r I b

⎰

π=a

v

r

401079.2sin ln 2-⨯=+π=a

a

L ctg I θθμv

V 4分

(2) B 端电势高． 2765 见基础训练

电荷Q 均匀分布在半径为a 、长为L ( L >>a )的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转．一半径为2a 、电阻为R 的

单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)．若圆筒转速按照)/1(00

t t -=ω

ω的规律(ω 0和t 0是已知常数)随时间线性

地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向． 解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流π

⋅2ωL Q ，它和通电流螺线管的nI 等效．按长螺线管产

生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为：

L

Q B π=

20ω

μ (方向沿筒的轴向)

4分

筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为：

L

a Q B a

22

02

ωμΦ=

π=

2分

在单匝线圈中产生感生电动势为

=

-=t d d Φ )d d (220t L Qa ω

μ-0

0202Lt Qa ωμ=

2分