矩阵基本性质

矩阵的第⾏第列的元素为。我们⾏或（）表⾏的单位矩阵。1.矩阵的加减法

（1）,对应元素相加减

（2）矩阵加减法满足的运算法则

a.交换律：

b.结合律：

c.

d.

2.矩阵的数乘

（1），各元素均乘以常数

（2）矩阵数乘满足的运算法则

a.数对矩阵的分配律：

b.矩阵对数的分配律：

c.结合律：

d.

3.矩阵的乘法

（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有

b.分配律：

c.结合律：

d.数乘结合律：

4.矩阵的转置,

（1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.

b.

c.

d.

5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即

（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。

（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。

（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。

（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.

（5）

6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即

a.

b.

c.

d.

e.

f.（当矩阵可逆时）

7.正交矩阵：若,则是正交矩阵

（1）

（2）

（3）,

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵

（1）

（2）

（3）,

（4）

9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵

10.矩阵的迹和行列式

（1）为矩阵的迹；或为行列式

（2）；注：矩阵乘法不满足交换律

（3）

（4）,为酉矩阵，则

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）,，则其中为奇异分解值的特征值

11.矩阵的伴随矩阵

（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

（2）

12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）

（1）A的逆矩阵记作,;

（2）（为非奇矩阵）时，

（3）且，则

（4）由，得

（5）

（6）若

（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则也上（下）三角矩阵

（8）

（9）

（10）

（11）Woodbury恒等式 :

（12）

12.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则为对角矩阵

或，则

;

13.矩阵的导数

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）