关于生物心率与体重之间的关系建立初等模型

《数学模型》课程设计
专业：数学与应用数学
姓名：****
学号：******
指导教师：****
日期：2013 年 6 月25日
关于生物心率与体重之间的关系建立初等模型
一．问题提出：
生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物（体重：g）与心率单位：次/min之间关系的模型，并用下面的数据加以检验.
二．问题分析
1.根据生活经验可知，心率大小的影响因素不止一两个，由于很多因素我们无法控制，如在运动状态下和休息状态下，心率的大小明显不同；而随着年龄的
增长，心率也会改变……为了简化问题，我们假设所讨论的结果是在休息的状态下，显而易见，这样的假设比较粗略。

2.从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流量成正比，体温从体表散失，于是有：体表散热率=心跳产热率。

而动物消耗的能量主要用于维持体温，而体热量通过表面积散失，则有：能量∝动物的表面积，能量∝血流量
3.建模的目的在于找出体重与心率之间的近似数量关系。

显然，由上表可看出：体重越大，其心率就越小；反之，动物的体重越小，其心率就越大。

三．问题假设
◆本次模型只考虑在外界温度不变动物休息状态下的、身体正常的情况下
的心率问题。

◆假设生物的体积与长度的立方完全成正比，表面积与长度的平方也是完
全成正比。

◆假设体表散热率等于心跳产热率
◆假设每分钟总的血流量等于心率与每分钟心脏到全身的血流量的乘积
◆假设供血能力与体重成正比
◆假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比
四．符号说明
五．模型建立
根据以往的数学知识可知：表面积S ∝长度L 的平方，体积V ∝长度L 的立
方.即：21L k S = 32L k V = )0,(21为常数且大于其中k k 。

于是，有
3
2322
1V k
k S =
……………………………………………… ①
✧ 生物的体积V 与体重W 成正比，即W k V 3=，将其代入①式可得： ()
3
23
2321
3
2323
3221W k k k W k
k k S =
=
…………………………………… ②
✧ 为维持体温而流失的能量Q 与动物的表面积有关，且是一种正比关系，则有
S k W 4= )0(4为常数且大于其中k ……………………………… ③
将③式代入②式，可得出： ()
3
2
3
2324
1W k k k k Q =
………………………………………………… ④
✧ 由假设体表散热率等于心跳产热率，即Q=E ，则有： ()
3
23
2324
1W k k k k E =
………………………………………………… ⑤
✧ 由于假设供血能力与体重成正比，则有：
W k q 5= )0(5为常数且大于其中k …………………………… ⑥ ✧ 由于假设每分钟总的血流量等于心率与每分钟心脏到全身的学流量的乘积，
则有：T=nq,由⑥式，可得：
nW k T 5= ………………………………………………… ⑦ ✧ 由于假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比，则有： T k E 6= )0(6为常数且大于其中k …………………………… ⑧
将⑤式与⑦式代入⑧式，可得：
()
nW k k W k k k k 563
23
2324
1= 即： ()
3
1-3
2324
156W k k k k n k k =
……………………………………………… ⑨
⑨式就是通过比例关系所推导得出的数学模型。

六．模型求解
要利用⑨由W 来计算n ，则首先得确定其中的参数654321k k k k k k 、、、、、。

由于要确定这六个参数需要进行测量以及查阅相关资料，而迫于时间限制，可以用另一种简便的方法：将⑨式改写成3
1
-KW n =（其中，()
563
2324
1k k k k k k K =
），这样，
我们只需要确定参数K 就可以得出n 与W 之间的比较粗糙的关系。

>> W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]; >> n=[670,420,205,120,85,70,72,38]; >> plot(W,n,'ro');
>> title('已给数据的散点图') >> xlabel('生物的体重'); >> ylabel('生物的心率');
00.51 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5x 10
5
生物的体重
生物的心率
由图可看出这些数据组成的散点图是一个曲线，其数学模型是3
1-KW n =，若对
两边取对数，则有：)lg(3
1
)lg()lg(W K n -=，令y=lg(n),a=lg(K),31-=b ,由此可
得模型为：x a y 3
1-=，是一个直线，可用最小二乘法拟合出a 的值。

下面用matlab
画出改造数据后的散点图。

>> W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]; >> n=[670,420,205,120,85,70,72,38]; >> x=log10(W); >> y=log10(n); >> plot(x,y,'r*');
>> title('改造数据后的散点图')
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.55
1.5
2
2.5
3
由此可以看出，与前面的分析符合，改造后的数据大致与一个直线拟合，由之前学过的数值分析，可直接利用最小二乘法的结果求出a 的值。

若要用最小二乘法拟合出数据()}{m
i i i y x 1,=为的逼近直x a a y 10+=线，则：
2
11211
1
1
20⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
∑∑∑∑∑∑======m i i m i i m
i i
m i i
i m i i
m i i
x x m x
y x y x a
2
1121
1
1
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
∑∑∑∑∑=====m
i i m i i m
i i
m
i i m
i i i x x m y x y x m a
所以，此次模型所要求得的：
2
11211
11
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
∑∑∑∑∑∑======m
i i m
i i m
i i
m i i
i m i i
m i i
x x m x
y x y x a
>> W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]; >> n=[670,420,205,120,85,70,72,38]; >> x=log10(W); >> y=log10(n);
>> a=(sum(x.^2)*sum(y)-sum(x.*y)*sum(x))/(8*(sum(x.^2))-sum(x)^2) a =
3.2631
>> plot(x,y,'r*',x,a-1/3*x,'g')
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
5 5.56
1.4
1.61.82
2.22.42.62.8
3
所以：
3101.832810⨯==a K ， 3
13
3
1101.8328-
-⨯==W
KW n
下面就根据所求出的模型作图，与题目所给的数据比较。

>> W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]; >> n=[670,420,205,120,85,70,72,38]; >> N=1.8328*10^3.*W.^(-1/3); >> plot(W,n,'ro',W,N,'b') >> xlabel('生物的体重');
>> ylabel('生物的心率');
>> title('拟合后的曲线与原数据的比较')
00.51 1.5
2
2.53
3.54
4.5x 10
5
生物的体重
生物的心率
拟合后的曲线与原数据的比较
七．结论解释
由上面的图可看出，第5，6，7这几个点拟合的不够好，下面是将生物的体重代入模型3
13
101.8328-⨯=W
n 与实际数据作比较得出的表格
>> W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]; >> n=[670,420,205,120,85,70,72,38]; >> N=1.8328*10^3.*W.^(-1/3); >> N
N =
626.8088 313.4044 145.4694 107.1828 58.9850 49.7498 44.4716 23.9172
由上表可看出，虽然曲线轨迹比较接近原数据，可是将模型结果与实际数据比较，差别还是很大的。

此次模型是先通过比例关系推导出的模型：()
3
1-
3
2324
156W k k k k n k k =
，然后为了简
便，将模型简化为3
1
-KW n =，最后又用最小二乘法求出比例系数K 。

而且，假设条件比较粗糙，又缺乏足够的数据支持，所以，得到的结果不够满意。

八．优缺点与存在问题
❖ 模型的优点：
1) 建立模型时假设环境不变，减少影响结果的因素，使得问题简化，便于分析
求解。

2)由于本课程是关于心率与体重的关系，所以二者之间的关系不能直接观测
出，而建立模型使得问题迎刃而解。

3)利用matlab编程进行求解，所得结果数据比较准确，利用matlab画图利于
比较实际数据与模型结果的差异。

❖模型的缺点：
1)建立模型时，假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，忽略
了其他热量的散失方式。

2)假设外界环境不变，但不能确定外界环境是否一直保持不变。

3)假设动物表面积、体积、与长度成正比，是非常粗略的。

九．模型推广
通过对生物体重与心率这个模型的研究，虽然结果不太令人满意，但是二者之间的大概关系很容易看出来，体重越大，心率越小。

在实际医疗问题中，通过控制体重来预防心脏病，预防心脏病的发病率。

可以通过进一步优化，利用足够的数据，改进这个模型，使人们能更有效的认识心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。

十．参考文献
【1】启源，金星，叶俊.数学模型，第四版。

高等教育
【2】静，但琦。

《数学建模与数学实验》，高等教育。

【3】启源，金星，刑文训，立平。

《大学数学实验》，第2版。

清华大学【4】Richard L.Burden，J.Douglas Faires.数值分析，第七版。

高等教育。