小学数学奥数教练员等级考试
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）1．试在71和61之间写出三个最简真分数：71< < < <61。
解：以下就是其中解答之一：6124425413226427428471=<<=<<=。
2．设A 表示一位数，四位数13AA 能被9整除，则A = 。
解：由条件知道，3+A +A +1=2A +4也能被9整除，其中A 是1到9的整数。
因此，2A +4只能等于9或18。
但当2A +4=9时，A 不是整数，不合题意。
所以，当 2A +4=18时，A =7。
3．一个六位数，它的各位数字之和是46，并且是13的倍数，这个六位数最大的是 。
解：各位数之和是46的最大六位数是999991，但它不是13的倍数。
再按数字之和是46依次减小，第一个能被13整除的数是999973，即为所求。
4．有两种糖水的质量相同，一种糖水中糖与水的质量比是1:5，另一种糖水中糖与水的质量比是1:4。
现将这两种糖水混合在一起，那么混合后的糖水中糖与水的质量比是 。
解：一种糖水中，糖的质量占糖水质量的151+，水的质量占糖水质量的155+；另一种糖水中，糖的质量占糖水质量的141+，水的质量占糖水质量的144+。
混合后的糖水中糖与水的质量比是：49:113049:3011)144155(:)141151(==++++++。
5．小明一家是由小明和他爸爸、妈妈组成的三口之家，今年全家年龄之和是67岁，小明的爸爸比妈妈大2岁，6年前全家的年龄和是50岁。
今年他们三人的年龄分别是 。
解：由于六年前全家年龄和是67－6×3=49（岁），而题目中却说是50岁，相差了1岁。
这说明小明六年前的年龄是0岁。
所以，今年小明是6－1=5（岁）；爸爸是（67-5×2）÷2=32（岁）；妈妈是32－2=30（岁）。
2013三级下小学数学竞赛等级教练员试题解答
2013年(下)小学数学竞赛叁级教练员考试参考答案（1—10填空题，每题5分；11—20解答题，每题10分，共150分）1．将一根长8m 的绳子，对折4次后，然后用剪刀从中间剪开，则剪成的几段中长的每段有 m ，短的每段有 m 。
解：对折四次，共折成了2×2×2×2=16(段)。
然后在中间剪开，除了2小段是全长的121161⨯外，其余的在折处未断，还是连接的。
因此共剪成了17段，其中15段长的是21241=⨯（m ），2段短的是413218=⨯（m ）。
2．一个口袋里有红球、白球各4个，4位小朋友各取出2个。
如果取后放回，那么至少有 位小朋友取出的2个球的颜色分别相同；如果取后不放回，那么最多有 位小朋友取出的2个球的颜色分别相同。
解：（1）如果取后放回，则各人取出的球的颜色只有以下三种可能：（红，红）、（红，白）、（白，白）。
因此，4位小朋友中至少有2位小朋友取出的2个球的颜色分别相同。
（2）如果取后不放回，相当于将8个球分四堆，每堆2个。
因此，可能出现：（红，白）、（红，白）、（红，白）、（红，白）。
即最多可能有4组小球的颜色都分别相同。
3．A 、B 、C 三种糖果单价分别为每千克22元、30元、33元，某人在买这三种糖果上所花的钱数相等，他买的这些糖果平均每千克 元。
解1：假设每种糖果各买了22×30×33元，即分别买了30×33、22×33、22×30（㎏），平均单价为5.272553633303022332233303333022==⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯（元）。
解2：假设购买每种糖果上所花的钱数为1元。
1×3=35.27363303)330103301133015(3)331301221(3=⨯=++÷=++÷（元） 4．一批小朋友排成一行，从右边第一人起，每隔一人发一个桔子，从左边第一人起，每隔二人发一个苹果。
小学数学奥数教练员等级考试2
11 16
乙胜的概率为
5 16
下一页
例2：A袋中有3个红球、3个白球、4个黑球，B袋中 有5个红球、3个白球、2个黑球，现从A袋中任取2 个球、从B袋中任取1个球。求3球颜色相同的概率。 解：从A袋中任取2球，从B中任取1个球有
2 1 C10 ⋅C10 = 450种方法
3球颜色相同可分为3类
上一页 下一页
例2、有1997盏亮着的电灯，各自一个拉线开关控制着。 现将其顺序编号为1，2，…，1997。然后将编号为2的倍 数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最 后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后还有几盏 灯是亮的？ 解：凡被拉过偶数次的灯是亮的，再加上未被拉过 的灯就是仍亮灯的总数。 被2整除的数有998个； 被３整除的数有665个； 被５整除的数有399个； 被10整除的数有199个； 被３0整除的数有66个； 未被拉过的灯数 ＝1997－(998+665+399)+(332+199+133)-66=533
利用抽屉原理解题，关键在于恰当地“构造”抽 屉！
上一页
下一页
例1：如果在边长为1的正方形中，任意放入9个点，则 至少存在这样的三点，以它们为顶点构成的三角形的 面积不超过１/8。 解：把正方形如图所示四等份
9 = 4× 2 +1
由抽屉原理2，至少有一个小正方形里放入了3个点。 2 3 由这3个点为顶点构成的三角形的面积不超过 小正方形面积的1/2，即1/8。
上一页 下一页
例3：设 x1 , x2 , L , x8 是任意互异的8个整数，试证明 其中一定存在6个这样的整数，只用减号、括号、乘号 就能把它们连成105的倍数。 证明：根据抽屉原理1，在所给的8个整数中，必有两 个数被7除余数相同，不妨设这两个数为 x1 , x2 ,
小学奥数教练第一次专业考核资料
小学奥数教练一级专业考核资料平面图形【长方形、正方形、梯形的周长和面积】1．有5张同样大小的纸如下图，重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半。
求重叠后图形的周长。
2．一个大长方形被两条平行于它的两条边的线分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所示，求第4个长方形的面积？7．右下图中，正方形ABCD 的边长是4厘米，求长方形EFGD 的面积。
8．BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是6平方厘米。
问：绿色四边形面积是多少平方厘米？9．图的两个正方形，边长分别为8cm 和4cm ，那么阴影部分的面积是________平方厘米。
10．图是边长为4cm 的正方形，AE=5cm ，OB=____________厘米。
6米DE811．求四边形ABCD 的面积。
（单位：厘米）13．四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？14．图中，边长为10和15的两个正方形并放在一起，求三角形ABC （阴影部分）的面积。
15．在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（提示：连接DB ）单位：厘米。
16．如图，正方形ABCD ：AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
17．图中两个正方形的边长分别是10厘米6厘米，求阴影部分的面积。
18．如图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？10AB45°D319．两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）20．图中，梯形ABCD 中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC 的面积比三角形AOD 的面积大多少平方厘米？【图形计数】1．下图中共有 个正方形。
江苏省奥术教练员三级考试辅导
1.已知137☆754>>，求☆的值。
解 由☆754>,得 4☆>35, ☆>438,由137☆7>,得 91>7☆, 13>☆, ☆<13,所以且438<☆<13,且☆是整数,得到☆是9,10,11,12. 2.211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+651⨯+761⨯+871⨯=1-21+21-31+31-41+41-51+51-61+61-71+71-81= 1- 81=873211⨯⨯+4321⨯⨯+5431⨯⨯+6541⨯⨯+7651⨯⨯+8761⨯⨯+9871⨯⨯)431321321211(21 +⨯-⨯+⨯-⨯=3.1,2，5，10,17，…，第2012个数是4.某小学六年级四个班向“希望小学”捐书，一班捐的本数是其他三个班总数的21，二班捐的本数是其他三个班总数的31，三班捐的本数是其他三个班总数的41。
四班捐了65本。
四个班一共捐书多少本?5.某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少？根据抽屉原理，因为必有一组女生多于3个，故最少的情况是：其他三组2个女生，另外一组3个女生。
女生总数 >= 9又因为每10个人中必有一个男生，所以，如果女生多于10个的话，这10个女生一组，就没有男生了。
故女生总数 <=9因此 女生人数为9，男生人数为466.有一张斜边长为28厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为40厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，问红蓝两张三角形纸片的面积之和是多少？7.小红在4点多开始做作业，这时两针垂直，5点之前结束，两针又垂直，问小红做作业用了多少时间？8.2:3:=∆∆ACD ABC S S ，5:2:=∆∆BCD ABD S S ,210=ABCD S ,COB S ∆=9.一个长方体水箱，从里面量长30厘米，宽25厘米，高40厘米，水箱起初装满水，水箱里放有一个边长为20厘米的正方体铁块，，后来放出16400立方厘米的水，这时水位的高度是 厘米。
小学数学奥数教练员等级考试ppt课件
代入(1)式检验：7861540适合，8971429不适合！
所以这个电话号码是 上一页7861540．
下一页
例7：（2003.20）在1～13这13个自然数中，选12个填写
在的34方格中，使得每横行四个数和和都相等，每竖
列三个数也都相等，共有多少种不同的填法？
解： (1)因为所选的12个数的和既是3的倍数，又是4 的倍数，所以必然是12的倍数． (2)123 13(11)31391 2 1的 2 倍数 9略 1中小 比的 8， 49数 18是 ＝ 47
4
1
3
（4）从每组中选出1个数，使4个数的和是84／3＝ 28． 只有 13+4+1+10＝28；
6+5+9+8＝28；
2+12+11+3＝28．
上一页
下一页
（5）同样，如果最初选13+5+3，可得
13 12 11 10
5
8
6
9
3
1
4 2
从中找到另一个组解：
13+1+4+10＝28； 5+8+6+9＝28； 3+12+11+2＝28．
（6）因为每一组解各有 4!3!144个解，
所以共有288种不同的填法．
上一页
下一页
例8：（2004.14）将12个三好生名额分配给8个班，每个 班至少1名，共有多少种分配方法？
解：只需考虑：每班分配1名后，剩下的4个名额如 何分配．
上一页
下一页
试选13+6+2，因为11+8+2，11+6+4都不可能，
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）1．对于任意整数x 、y ，定义新运算“*”：x *ymx xyy 58+=（其中m 是确定的常数）。
如果1*2=1，那么2*3的值是 。
解：∵ 1*2=1，∴1251218=⨯+⨯⨯⨯m ,∴16=m +10,∴m =6,∴2*3=91627483526328==⨯+⨯⨯⨯。
2．甲从A 地出发步行到B 地，乙骑摩托车从B 地同时出发，不停地往返于A 和B 两地之间，80分钟后他们第一次相遇，又过120分钟乙第一次超越甲，则甲、乙速度的比为 。
解：甲、乙速度的比为：120:(120+80+80)=120:280=3:7。
3．现有标号为1到100的卡片100张，某人从中随意抽取卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张标号之差为5，那么此人至少要抽取 张卡片。
解：考虑最不利情况：先将个位是1、2、3、4、5的50张卡片全部抽出，此时只要再抽一张，必与前50张中的某一张的标号之差为5。
故此人至少要抽出51张卡片。
4．三位教师带领50名学生去参观植物园，植物园的票价如下：成人10元/人，学生5元/人，团体（10人以上）6元/人。
他们买票最合算的总价为 元。
解：教师和7名学生买团体票，剩下的43名学生买学生票。
这样买最合算，只要花275)750(5)73(6=-⨯++⨯（元）。
5．果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价0.98元，付运费等一共开支了1840元，预计苹果中途损耗为1%。
如果希望全部进货销售后能获利17%，那么每千克苹果零售价应当定为 元。
解：每千克苹果零售价为：2.151********%)]11(52000[%)171()184098.052000(=÷=-⨯÷+⨯+⨯（元）。
6．小明、小军、小芳和小红四人一起做千纸鹤，小明做的只数是其他三人做的总只数的137，小军做的只数是其他三人做的总只数的31，小芳做的只数是其他三人做的总只数的2911，小红做了15只。
小学数学奥数教练员等级考试
b + d + f = 2( a + c + e ) + 3 = 5
∴ S ∆ABC = a + b + c + d + e + f + 1 = 1 + 5 + 1 = 7
上一页
下一页
练习： 1、（2000.13）一批商品，按50％的利润定价，销售掉70 ％以后，为了尽早售完剩下的商品，决定按定价打折，这 样，售完后所获得的全部利润只有41％，问打了多少折扣？ （用算术方法列综合算式解答） ８折 2、（2000.14）下图是某邮递员递送的街区，图上标注 的数字表示各段街道的长度（单位：千米）。他从邮局 出发，要走遍各条街道递送邮件，最后回到邮局。问走 什么样的路线最合理？全程有多少千米？ 46千米
(14 − 10) ÷ 2 = 2
把黄纸片向左移至最左端（如图(2)所示） 则 红：绿＝黄：A 所以 A＝12/20*12=7.2 20+12+12+7.2＝51.2
（１）
所以盒底的面积为
上一页
（２）
下一页
例2（2001.19）摩托车从大本营出发，要越过450千米 的无人区，但摩托车所带的燃油只能行300千米。要走 完这一行程，需要再动用几辆同样的摩托车帮助供给燃 油，然后供油的摩托车返回大本营？如何安排？ 解：需要再用2辆同样的摩托车，安排如下表
（4）从每组中选出1个数，使4个数的和是84／3＝ 28． 只有 13+4+1+10＝28； 6+5+9+8＝28； 2+12+11+3＝28．
上一页 下一页
（5）同样，如果最初选13+5+3，可得 13 12 11 10 5 8 6 9 3 1 4 2 从中找到另一个组解： 13+1+4+10 28 13+1+4+10＝28； 5+8+6+9＝28； 3+12+11+2＝28． （6）因为每一组解各有 4!×3!= 144 个解， 所以共有288种不同的填法．
小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案
小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）1． 能写成两个合数之和的自然数称为“好数”，那么在1到100的自然数中，“好数”共有 个。
解：经试验，1到11的自然数中，只有8和10是“好数”。
大于11的偶数都能写成两个大于2的偶数之和；大于11的奇数都能写成9与大于2的偶数之和，所以，1到100的自然数中共有“好数”：100-9=91（个）。
2． 将正整数按从小到大的顺序无间隔排成一个大数123456789101112…，那么左起第2016位上的数字是 。
解：1～9是一位数，共需数码 1×9=9（个）；10～99是两位数，共需数码2×90=180（个）。
因为（2016-9-180）÷3=609（页），9+90+609=708（页）。
所以2016个数码排到第708页的第3个数码是8。
3． 在一个两位数的两个数字之间添上1，所得三位数是原两位数的9倍，那么这个两位数是 。
解：设这个两位数是ab （b a ,是数字），则91=b a ab 。
所以b a b a 99010100+=++，化简得545-=b a ，从而有5|（`54-b ）。
所以，3,5==a b ，所求两位数是35。
4． 一个整数乘以13后，积的最后三位数是123。
那么这样的整数最小是 。
解：设所求整数为x ，则123100013+=k x ，其中k 为整数。
∵)13(mod 21000≡，)13(mod 6123≡，∴)13(mod 6120+≡k ，)13(mod 6)612(≡++≡k k k 。
k 最小是6，从而47113)12361000(=÷+⨯=x 。
5． 定义：xyyax y x +=*。
又已知3*4=4*3，那么（5*6）÷（2*10）= 。
解：∵343434,434343⨯+=*⨯+=*a a ，由已知得4343⨯+a =3434⨯+a ，∴3443+=+a a ，1=a 。
小学数学竞赛贰级教练员考试试卷参考答案
小学数学竞赛贰级教练员考试试卷参考答案（1—8填空题,每题5分,9—17解答题,每题10分，第18题20分，共150分）1．见叁级试卷参考答案第3题。
2．见叁级试卷参考答案第4题。
3．见叁级试卷参考答案第5题。
4．见叁级试卷参考答案第6题。
5．见叁级试卷参考答案第7题。
6．见叁级试卷参考答案第8题。
7．见叁级试卷参考答案第9题。
8．见叁级试卷参考答案第10题。
9．见叁级试卷参考答案第13题。
10．见叁级试卷参考答案第18题。
11．见叁级试卷参考答案第19题。
12．某次考试共有五道题，52个人参加。
对做错题的人数统计如下：已知：每人至少做对一道题。
做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道、3道题的人数一样多。
那么做对4道题的人数是多少？解：此次考试的总题数为：5×52=260（道）。
52人共做对：260-(4+6+10+20+39)=181(道)。
除做对1题、5题的人以外，做对2、3、4题的人数是：52-7-6=39（人）。
做对2、3、4题的人共做对题数是：181-1×7-5×6=144（道）。
由于做对2、3道题的人数一样多，把他们看成一类，并且都算成是做对2.5道题。
←乙甲→按“鸡兔同笼”的解法可知：（144-2.5×39）÷（4-2.5）=31(人)。
即做对4道题的人数是31人。
13．小明玩套圈游戏，套中小鸡得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。
小明套了10次，共得了361分，且每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
那么小鸡被套中多少次？解：设小鸡被套中了x 次，小猴被套中了y 次，*∈N y x ,,则有61)10(259=--++y x y x4137=+y x由此可得 ⎩⎨⎧≡≤)3(m o d 2417x x ，从而得到2=x 或5。
但是当2=x 时，9=y ，因为101192>=+，故x 不能为2；当5=x 时，2=y ，此时，10725<=+。
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）1．一个四位数，将其各位上的数字顺序颠倒后得到一个新的四位数，再把这两个四位数相加。
答案只可能是 。
A 、7776B 、7766C 、7666D 、7676解：因为这两个数和一定是11的倍数，所以只可能答案B 是正确的。
2．有一个三位数，它等于去掉它的首位数字之后剩下的两位数的7倍与66的和，则符合条件的所有三位数是 。
解：设这个三位数为abc ，则有667+=bc abc ，从而有667100+-=bc bc a ，即33350+=bc a 。
当a =3时，50×3-33=117，117÷3=39，这时三位数为339；当a =6时，50×6-33=267，267÷3=89，这时三位数为689。
所以，符合条件的所有三位数是339和689。
3．当A 和B 各表示一个数字时，等式AB ×BB ×BBB =142857成立，则A 、B 分别为 。
解：因为三个乘数的个位都是B ，所以只有当B =3时，个位上为7。
经过试算：33×333=10989，142857÷10989=13。
所以，当A =1，B =3时有AB ×BB ×BBB =13×33×333=142857。
4．一个分数的分子与分母的和是80，分子、分母都减去30，新的分数约分后是91，则原来的分数是 。
解：由（80-30×2）÷（9+1）=2，得原分数为：483230293021=+⨯+⨯。
5．对于实数x 、y ，定义一种新的运算“※”：x ※y =c by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算。
已知3※5=15，4※7=24，则1※1的值为 。
解：由已知得1553=++c b a ①2474=++c b a ②①—② 得 92=+b a ③①×7—②×5 得 524715)53520()73521(⨯-⨯=++-++c b a c b a152-=+c a ④③+④ 得 3-=++c b a所以，1※1=3-=++c b a 。
计算与整数性质
1
1
1
1980 12
A
1991 12 11 12
165 A 165
所以，分数化简后的整数部分为165
15 、将 S
1 10
2
1 11
2
?
1 99
2
1 100
2
化成小数以后，
S 小数点后两位数字是几
16.有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开 始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数 部分是多少？
100
2
11 12 13 14 15 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 11 12 13 14 15 (11 12 13 14 15 ) 69 100 100 69
100
（二）约数与倍数 26： 一个31位的整数，如果把这个整数的每相邻的两 个数码组成的整数都作为两位数来考虑，任何一个这样的 两位数都可以被17或23整除。另外，这个31位整数的数码 中只有一个7，求这个31位数的所有数码之和。(05上) 解： 17的两位倍数有17，34，51，68，85 23的两位倍数有23，46，69，92 因为其中出现一个7,所以7只能是出现在个位上.由 此往前推,逐步推出各位上的数: 4692346923469234692346923468517 即这个31位数的所有数码之和是151.
100 ，
求 a的 数 分 整 部 。
14：
求
1 1 1980 1 1981 1 1991
的整数部分
11解:
1到9是一位数 10到99是二位数 100到695 是三位数 则共有 = 9*1 + (99-10+1)*2 + (695-100+1)*3 = 1977 个数字
整数的有关性质
推论2：任意n个连续的自然数的积都能被n整除。
上一页 下一页
n 例2：n是大于零的自然数，求证： 3 2n 能被3整除。
解：
n3 2n n3 n 3n (n 1)n(n 1) 3n
上一页
下一页
设整数N an an1 a2a1a0
判定方法1 如果一个整数的末尾数字能被2整除，则该 数能被2整除，即如2|a ,则2|N。
0
判定方法2 如果一个整数的末尾数字能被5整除，则该 数能被5整除，即如果5|a ,则5|N。
0
判定方法3 如果一个整数的各位数字之和能被3整除， 则该数能被3整除，即如果3| an an1 a1 a0 , 则3|N。 判定方法4 如果一个整数的各位数字之和能被9整除，则 该数能被9整除，即如果9| an an1 a1 a0 , 则9|N。
解：要使所求数能被1,2,3,4,5,6,7,8,9整除，只要它 能被5,7,8,9整除，根据这个数能被5,8整除，这个整 数的末位数学应为0 又 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45
所以1234567890是末位为0，数字1～9各用一 次并且能被9整除的最小的数。
下面将此数调整为8的倍数，并使其尽可能小。
上一页 下一页
判定方法5 如果一个整数的后两位数字组成的整数能被 4整除，则该数能被4整除，即如果 4 | a1a0 , 则4|N。 判定方法6 如果一个整数的后两位数字组成的整数能被 25整除，则该数能被25整除，即如果25 | a1a0 , 则25|N。 判定方法7 如果一个整数的后三位数字组成的整数能被 8整除，则该数能被8整除，即如果 8 | a2 a1a0 , 则8|N。 判定方法8 如果一个整数的后三位数字组成的整数能被 125整除，则该数能被125整除，即若125| a2a1a0 , 则125|N。 判定方法9 如果一个整数的偶位数字之和与奇位数字之 和的差能被11整除，则该数能被11整除，即如果 11| (a0 a2 ) (a1 a3 ) ，则11|N。
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案
小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）1． 计算 161511912120111201191514131211⨯++⨯+⨯-+-+-+-= 。
解：201191514131211-+-+-+- =)2014121(220131211+++-++++ =201131121111++++ =)161151()171141()181131()191121()201111(+++++++++ =31)1615117141181311912120111(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 所以，原式=13。
2．已知7能整除51位数：3 3…3□4 4…4，则□= 。
解：∵7|3 3…3□4 4…4 ，由于连续六个相同数字组成的数都能被7整除，∴ 7|3□4， □=6。
3．由1、2、3、6、7、8这六个数字依不同次序排列而成的六位数，它们的最大公约数是 。
解：∵ 1+2+3+6+7+8=27，又 9|27，∴所有这些六位数都能被9整除。
25 3 25个425个3 25个4又 123678与123687刚好只相差9，∴所有这些六位数的最大公约数是9。
4．从1、2、3、…、1995这1995个自然数中，最多能取出 个数使得在取得的数中，任意两个数的和都能被100整除。
解：任意两个数的和能被100整除，这样的数有两种形式：末两位数字为“50”，或末两位数字为“00”的自然数。
前1—1995中，末两位数为“50”的有50、150、250、…、1950，共20个；1—1995中，末两位数为“00”的有100、200、300、 (1000)共19个。
所以符合题意的解答为20个。
5．若干人的年龄之和是4475岁，其中最大的不超过79岁，最小的不低于30岁，而年龄相同的人不超过3人。
若规定年龄不低于60岁的为老年人，那么这些人中至少有 老年人。
解：要使老年人尽能可能少，非老年人就应尽可能多，而30～59岁的人最多时的年龄之和为 40053)593130(=⨯+++ (岁)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
培训讲座
下一页
第五讲：历届真题选讲 例1：（2001.16）红、黄、绿三块大小一 样的正方形纸片，放在一个底是正方形的 盒内，它们之间部分重叠（如图），已知 看得见的部分中，红色纸片的面积是20， 黄色纸片的面积是14，绿色纸片的面积是 10，求正方形盒底的面积。 解：如图（１）所示的阴影部分面积为：
代入（2）得 结果得
defg = 2326 − 897 = 1429
abcdefg = 8971429
代入(1)式检验：7861540适合，8971429不适合！ 所以这个电话号码是 7861540． 上一页
下一页
例7：（2003.20）在1～13这13个自然数中，选12个填写 在的3× 4 方格中，使得每横行四个数和和都相等，每竖 列三个数也都相等，共有多少种不同的填法？ 解： (1)因为所选的12个数的和既是3的倍数，又是4 的倍数，所以必然是12的倍数． (1 + 13) ×13 (2)1 + 2 + 3 + L + 13 = = 91 2 12的倍数中比91略小的数是84， − 84＝7 91 因此，选用的数只能是1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13 (3)找出上述12个数的所有和为21的三个数的组合： 8 + 1 9 + 1 9 + 2 6 + 2 13 + 12 + 6 + 3 11 + 8 + 2 10 + 8 + 3 9 + 8 + 4 5 + 3 5 + 4 6 + 4 6 + 5
63 56 50
解：设参加这次考试的有100人，则各题未能得分的 分数分别是 5，2，8，15，20，23，26，37，44，50 合计230题．每人做错5题就不及格．
230 ÷ 5 = 46, 所以最多有46人不及格．
因此，这次考试的及格率至少有54％
上一页 下一页
例13：（2005.16）设 a1 , a2 ,L an 中的每一个数的值都是 ＋1或者-1，并且有 a1a2 + a2 a3 + a3 a4 + L + an an −1 + an a1 = 0. 求证：n是4的倍数。 证明：
并且 e + d + f + 1 = 2(a + b + c) b + c + d + 1 = 2(a + e + f ) ⇒ a + b + f + 1 = 2(c + d + e)
a + c + e =1
上一页 下一页
又通过作辅助线可知：
1 d = 2c + ( f + 1) − e 2 1 f = 2e + (b + 1) − a ⇒ 2 1 b = 2a + (d + 1) − c 2
(14 − 10) ÷ 2 = 2
把黄纸片向左移至最左端（如图(2)所示） 则 红：绿＝黄：A 所以 A＝12/20*12=7.2 20+12+12+7.2＝51.2
（１）
所以盒底的面积为
上一页
（２）
下一页
例2（2001.19）摩托车从大本营出发，要越过450千米 的无人区，但摩托车所带的燃油只能行300千米。要走 完这一行程，需要再动用几辆同样的摩托车帮助供给燃 油，然后供油的摩托车返回大本营？如何安排？ 解：需要再用2辆同样的摩托车，安排如下表
i =1
6
6
12
另解：由对称性！
上一页
下一页
例12：（2005.9）一次考试共有10道题，每道题要么10 分，要么不得分。各题的得分率如下表： 问这次考试 的及格率至少是百分之几？（大于或等于60分为及格）
题 号 1 2 98 3 92 4 85 5 80 6 77 7 74 8 9 10
得分率（％）95
b + d + f = 2( a + c + e ) + 3 = 5
∴ S ∆ABC = a + b + c + d + e + f + 1 = 1 + 5 + 1 = 7
上一页
下一页
练习： 1、（2000.13）一批商品，按50％的利润定价，销售掉70 ％以后，为了尽早售完剩下的商品，决定按定价打折，这 样，售完后所获得的全部利润只有41％，问打了多少折扣？ （用算术方法列综合算式解答） ８折 2、（2000.14）下图是某邮递员递送的街区，图上标注 的数字表示各段街道的长度（单位：千米）。他从邮局 出发，要走遍各条街道递送邮件，最后回到邮局。问走 什么样的路线最合理？全程有多少千米？ 46千米
C84 = 70 （4）将4个名额分给4个班，个，有分法 （种）；
则 总共有8+84+168+70＝330（种）
答：共有330种分配方 法． 上一页
下一页
例9：（2004.18）一次考试有6道题，均为是非题。每道 题答对给2分，不答给1分，答错不给分。下表是 A,B,C,D,E,F,G七人的答案和前六人的得分，求G的得分。
上一页 下一页
试选13+6+2，因为11+8+2，11+6+4都不可能， 只能选 11+9+1 这时12+8+1，12+6+3都不可能，只能选12+5+4 这时10+9+2，10+6+5都不可能，只有10+8+3
于是，可以确定4个竖列应该分别填 13 6 2 12 5 4 11 9 1 10 8 3
（4）从每组中选出1个数，使4个数的和是84／3＝ 28． 只有 13+4+1+10＝28； 6+5+9+8＝28； 2+12+11+3＝28．
上一页 下一页
（5）同样，如果最初选13+5+3，可得 13 12 11 10 5 8 6 9 3 1 4 2 从中找到另一个组解： 13+1+4+10 28 13+1+4+10＝28； 5+8+6+9＝28； 3+12+11+2＝28． （6）因为每一组解各有 4!×3!= 144 个解， 所以共有288种不同的填法．
上一页 下一页
例8：（2004.14）将12个三好生名额分配给8个班，每个 班至少1名，共有多少种分配方法？ 解：只需考虑：每班分配1名后，剩下的4个名额如 何分配． （1）将4个名额分给同一个班，有8种分法； C82 = 28 （2）将4个名额分给两个班，若每班2个，有分法 （种）；若一个班1个，另一个班3个，有分法 8 × 7 = 56 种，共计28+56＝84（种）； （3）将4个名额分给3个班，一个班2个，，另两个班3 个，有分法 C83 × 3 = 168 （种）；
2 4
因此，一共有10种不同结果． 将这10种不同的结果看作10个抽屉，因为要求有 10次摸的结果相同，故至少要摸
9 ×10 + 1 = 91 （次）
上一页 下一页
例11：（2005.7）骰子是每个面上分别标有1，2，3，4， 5，6的小正方体。在很多游戏中都要掷骰子，比掷出的 点子的大小。设甲先掷一次骰子，然后乙掷。谁掷出的 点子大谁赢。则甲赢的概率是多大？ 解：当乙掷出的点数是1时，甲要赢，应掷出2,3,4,5,6 之一，这时，甲赢的概率是5／6 6−i 一般地，当乙掷出的点数是i时，甲赢的概率是 . 6 6 由全概率公式：甲赢的概率是： ∑ 1 ⋅ 6 − i = 5
注：括号内的数表示摩托车拥有的燃油能行多少千米
上一页
下一页
例4：（2002.13）有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且 每小时涌出的泉水一样多。如用8部抽水机，10小时能 把水抽干；用12部抽水机，6小时能把水抽干。那么用 14部抽水机几小时能把水抽干？ 解：设1部抽水机1小时抽的水为“1”， 每小时涌出的泉水是：(8 × 10 − 12 × 6) ÷ (10 − 6) = 2 则原有泉水为：
上一页
下一页
1 1 例15： (2005.15)已知：在∆ABC中，AD＝ AB，BE＝ BC， 3 3 1 CF＝ CA，并且阴影部分的面积为1，求∆ABC的面积。 3
解：如图，设空白的六个部分 的面积为a,b,c,d,e,f, S ∆ABC = a + b + c + d + e + f + 1
Q a1a2 , a2 a3 , L, an an −1 , an a1都只能取 + 1或 − 1，且和为0. ∴ +1和 − 1的个数相等
所以n为偶数．
设n = 2m, Q a1a2 ⋅ a2 a3 ⋅L ⋅ an an −1 ⋅ an a1 = (a1a2 L an ) 2 = 1.
∴ n个积中 − 1的个数为偶数，即m也是偶数．
考生 题号 1 2 3 4 5 6 得分 √ √ √ √ √ 7 ╳ √ ╳ √ 5 ╳ √ ╳ 5 √ ╳ 5 ╳ 9 7 A B √ C √ ╳ D √ ╳ √ E F G √ ╳ ╳ √ √ ╳ ８
╳ √ ╳ ╳
╳ ╳ ╳ √ ╳
提示：因为E得9分，所以E答对4题，答错1题
上一页
下一页
例10：（2005.5）一个口袋里有4种不同颜色的小球若干 个（每种至少2个），每次摸出2个，然后放回。要保证 有10次所摸的结果是一样的，则至少要摸多少次？ 解：当摸出的2个球颜色相同时，有4种不同的结果； 当摸出的2个球颜色不同时，有 C = 6 种不同的结果．