高二数学空间向量与立体几何
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析1.长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为空间原点，DA为x轴，D为z轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系则=（-1，2，0），=（-1，-2，3）||=，|'|=，·=－3cos<,>==，即为所求。
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积，向量的坐标运算。
点评：简单题，通过建立空间直角坐标系，将求异面直线的夹角余弦问题，转化成向量的坐标运算。
2.正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为．【答案】【解析】因为O是A1C1的中点，求O到平面ABC1D1的距离，就是A1到平面ABC1D1的距离的一半，就是A1到AD1的距离的一半．所以，连接A1D与AD1的交点为P，则A1P的距离是：O到平面ABC1D1的距离的2倍O到平面ABC1D1的距离【考点】本题主要考查空间距离的计算。
点评：本题也可以通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，是高考典型题目。
3.已知={－4，3，0}，则与垂直的单位向量为= .【答案】（，，0）【解析】设与垂直的向量与垂直的向量=（x，y，0），则－4x+3y=0,,解得x= ,y=,所以=（，，0）。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、单位向量的概念。
点评：利用向量垂直的充要条件及单位向量的概念。
4.已知向量与向量平行，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量与向量平行，所以，，故选C。
【考点】本题主要考查平行向量及向量的坐标运算。
点评：简单题，按向量平行的充要条件计算。
5.已知点，为线段上一点，且，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设C的坐标为(x，y，z)则向量=(x-4，y-1，z－3)向量=(－2,－6,－2)，而即=所以x-4=－，y-1=－2，Z－3=－所以x=，y=－1，z=，C的坐标为，选C。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
高二数学空间向量与立体几何
高二数学：空间向量与立体几何1. 空间向量1.1 定义与性质在高二数学中，我们学习了平面向量的概念和运算，而空间向量是在三维空间中的向量。
空间向量也具有和平面向量一样的性质，包括向量的长度、方向、加法与减法等。
1.2 空间向量的表示形式空间向量可以用多种形式进行表示，最常见的是坐标表示。
对于一个空间向量，我们可以使用一个有序的三元组表示它，如AA=(A,A,A)，其中A为向量的起点，A为向量的终点。
1.3 空间向量的加法与减法与平面向量类似，空间向量的加法与减法也满足平行四边形法则和三角形法则。
具体计算时，我们只需将向量的对应坐标进行相加或相减即可。
2. 空间向量的数量积与向量积2.1 数量积空间向量的数量积是两个向量的长度的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积，记作$AB\\cdot AC = |AB|\\cdot|AC|\\cdot \\cos{\\theta}$。
数量积常用来计算两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直或平行。
2.2 向量积空间向量的向量积是两个向量所构成的平行四边形的面积的向量，记作$AB\\times AC$。
向量积的模、方向和长度与夹角有关，计算公式为$|AB\\times AC| = |AB|\\cdot |AC|\\cdot \\sin{\\theta}$。
3. 立体几何3.1 空间几何体的基本概念在立体几何中，我们学习了各种各样的空间几何体，如点、直线、平面、棱柱、棱锥、球体等，它们在三维空间中具有不同的形状和性质。
3.2 空间几何体的投影在解决实际问题时，常常需要将三维空间中的几何体投影到一个平面上进行分析。
空间几何体的投影可以根据需要选择不同的投影方式，如平行投影和透视投影。
3.3 立体几何的应用立体几何在现实生活中具有广泛的应用，如建筑设计、机械制造、地理测量等。
了解立体几何可以帮助我们更好地理解和描述物体的形状和结构。
4. 空间向量与立体几何的关系4.1 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中具有重要的应用，如计算点到直线的距离、判断点是否在平面上等。
高二选必一数学人教B版章节第一章空间向量与立体几何(2)+答案解析(附后)
bbgxxbj高二选必一数学人教B版章节第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角第1课时二面角及其度量一、单选题（本大题共6小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知平面内有一个以AB为直径的圆，，点C在圆周上异于点A，，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则 ( )A. 是二面角的平面角B. 是二面角的平面角C. 是二面角的平面角D. 是二面角的平面角2.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 ( )A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不能确定3.已知和均为边长为a的等边三角形，且，则二面角的大小为 ( )A. B. C. D.4.如图所示，点P是二面角棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，若，，则二面角的大小为 ( )A. B. C. D.5.正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，若，则平面PBC与平面ABCD的夹角为 ( )A. B. C. D.6.如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面交棱，分别为E，若平面与底面ABCD所成的角为，则截面ABEF的面积为 ( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15分）7.若P是所在平面外一点，且和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为__________.8.四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且，则平面PMD 与平面ABCD所成角的余弦值为__________.9.在正方体中，截面与底面ABCD所成的二面角的正切值为__________.三、解答题（本大题共1小题，共12分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）10.本小题12分已知在三棱锥中，平面ABC，，求二面角的余弦值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二面角，线面垂直的判定，属于中档题；根据题意做出图形，证明平面PAC继而证明平面PBC，所以有平面ADE即可得结果．【解答】解：因为，，所以，因为AB为圆的直径，所以，，所以平面PAC，所以，因为D为A在PC上的射影，所以，又，所以平面PBC，所以，又，，所以平面ADE，所以是二面角的平面角 .故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查二面角的概念，属于基础题.根据二面角的概念可知，当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补，即可求解.【解答】解：当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．故选3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二面角的大小计算，属于基础题.取BC的中点E，连结EA，ED，得到，，得到二面角的平面角，利用等边三角形的性质计算即可.【解答】解：如图，取BC的中点E，连接､，根据等边三角形的性质得，，即为所求，又，，所以是等边三角形，则故选4.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，属于基础题，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．【解答】解：过AB上一点Q分别在，内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点，则即为二面角的平面角，如下图所示：设，，，，又由，易得为等边三角形，则，解三角形QMN易得，故答案为5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定及性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.以A点为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，写出各点的坐标，由线面垂直的判定及性质得到为平面PAB的法向量，过A作，可证明平面PCD，故为平面PCD的法向量，利用〈，〉可得平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小．【解答】解：由题意可以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，平面ABCD，平面ABCD，，又，，面PAB，平面PAB，为平面PAB的法向量，即，过A作，，则E为PD中点，由题意，，，PA，面PAD，面PAD，面PAD，，，PD，面PCD，则平面PCD，故为平面PCD的法向量，且，，平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为故答案选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查二面角与空间几何体的截面问题，为基础题.【解答】解：由图可知，平面与底面ABCD所成的角等同于，可得，且截面ABEF为矩形，可得截面面积为7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．取BC的中点D，连接PD、AD，根据二面角的平面角的定义可知为二面角的平面角，在三角形PDA中求出此角即可．【解答】解：取BC的中点D，连接PD、AD，、均为正三角形，，，为二面角的平面角．又，，故答案为8.【答案】或【解析】【分析】本题考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意面积法的合理运用.考虑在平面ABCD同侧或异侧，结合，能求出【解答】解：设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为，在平面ABCD上的射影为，易得当在平面ABCD同侧时，如图所示：，，当在平面ABCD异侧时，如图所示：，，，，所以平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或故答案为或9.【答案】【解析】【分析】本题考查了二面角的求法，考查了转化思想，属于基础题．连接AC交BD于点O，连接，根据条件可知为所求的角，再求出即可．【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接，则，，为二面角的平面角，设，则，所以10.【答案】方法一：如图，过点B作于点E，则E为AC的中点，过点E作于点F，连接因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面又因为，平面ABC，平面平面，所以平面由三垂线定理有，所以是二面角的平面角.设，由E是AC的中点，得，，所以，所以方法二：利用射影面积公式如图，过点B作于点E，连接因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面ABC，又因为，平面ABC，平面平面，所以平面PAC，所以是在平面PAC上的射影.设，则，，所以在中，AB边上的高，所以又设二面角的大小为，由射影面积公式有【解析】本题考查二面角的求解，为一般题.。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
高二数学空间向量与立体几何法向量
高二数学空间向量与立体几何法向量教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解空间向量及其几何意义。
2. 掌握向量的加法、数乘以及向量的模。
3. 理解向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积，掌握其运算性质。
4. 运用空间向量解决实际问题，培养空间想象能力和数学思维能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及表示方法。
2. 向量的加法、数乘及其运算律。
3. 向量的模。
4. 向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的定义及运算性质。
三、教学重点与难点重点：向量的加法、数乘、模的运算性质，向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的定义及运算性质。
难点：理解空间向量的概念，掌握向量的表示方法，理解向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的几何意义。
四、教学准备1. 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。
2. 教学手段：PPT演示、实物模型展示。
3. 教学工具：黑板、三角板、量角器。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾平面向量，引出空间向量的概念。
2. 讲授新课：介绍空间向量的表示方法、向量的加法、数乘及其运算律、向量的模。
通过案例分析，让学生了解向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的几何意义及其运算性质。
3. 课堂互动：通过提问、小组讨论等方式，引导学生思考、交流，加深对知识点的理解。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对知识点的掌握。
5. 小结作业：对本节课所学内容进行总结，布置作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价与反馈1. 评价方式：通过课堂互动、练习题完成情况进行评价。
2. 反馈方式：及时给予学生反馈，指出不足之处，鼓励学生积极思考、勇于实践。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
第01讲 空间向量与立体几何-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第01讲 空间向量与立体几何知识点1 空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 3．几类特殊的空间向量 名称 定义表示法 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位模为1的向量叫做单位向量|a|＝1或【考点目录】【知识梳理】知识点2 空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和共起点，连终点，方向指向被减向量a＋b＝b＋aλa的长度是a的长度的|λ|倍μa)＝(λμ)a知识点3 共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别 //0a b b ≠（）使得a b λ=；（2）存在唯一实数λ，使得0a b b λ≠=（），则//a b ．注意：0b ≠不可丢掉，否则实数就不唯一．―→―→―→1、空间一点实数对→数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点(OP xOA yOB zOC x+=++其中共面向量定理的用途：⇒λ利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
2.直线l 的方向向量如图O ∥l ，在直线l 上取非零向量a ，设P 为l 上的任意一点，则∥λ∥R 使得OP ―→＝λa. 定义：把与a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．知识点4 空间向量的夹角定义如图，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∥AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ∥b知识点5 空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a ＝0.注：a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos a,b 〈〉的乘积．(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∥R交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图∥，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图∥)．(2)如图∥，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′——→，向量A ′B ′——→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′——→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．知识点6 空间向量数量积运算律及性质1、数量乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅； ()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．2、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1e a a e a cos a,e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅；()4a b cos a,b a b ⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．知识点7 空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa+yb+zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =xa+yb+zc ，则称xa+yb+zc 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式. 2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk ，使a ＝xi ＋yj ＋zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．知识点8 空间向量基本定理应用1、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .(3)直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ，b 是非零向量，则a ∥b ∥a ·b ＝0. 3、求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB→ )．知识点9 空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 注意点：(1)基向量：|i |＝|j |＝|k |＝1，i ·j ＝i ·k ＝j ·k ＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∥xOy ＝135°(或45°)，∥yOz ＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标、向量的坐标 （1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝xi ＋yj ＋zk .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点（2）空间点的对称问题∥空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．∥对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝xi ＋yj ＋zk .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，可简记作a ＝(x ，y ，z )．知识点10 空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∥R ，那么(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有(1)平行关系：当b ≠0时，a ∥b ∥a ＝λb ∥a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∥R)； (2)垂直关系：a ∥b ∥a ·b ＝0∥a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(3)|a|＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23.(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)． (1)P 1P 2――→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)P 1P 2＝|P 1P 2――→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. (3)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.知识点11 空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点， (1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta . (3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.2．空间平面的向量表示式∥如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb .∥如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．∥由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ∥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．知识点12 空间平行、垂直关系的向量表示知识点13 空间距离及向量求法设u 为直线l 的单位方向向量，A ∥l ，P ∉l ，AP―→＝a ，向量AP ―→在直线l 上的投影向量为AQ ―→（AQ ―→＝(a ·u )u .）， 则PQ ＝|AP ―→|2－|AQ ―→|2＝a 2－a ·u2―→知识点14 空间角及向量求法成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于π2的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|(1)两个平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．考点一 空间向量及其线性运算1．（2022·重庆·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，1BA BC CC ++=（ ） A ．11D BB ．1D BC ．1DBD ．1BD2．（2022·湖南益阳·高二期末）在四面体OABC 中，,,,OA a OB b OC c M ===为OA 的中点，N 为棱BC 上的点，且2BN NC =，则MN =（ ）A ．112233a b c -++B ．112233a b c --C ．121233a b c -++D ．111222a b c -++3．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，且1114A P AC =，若1AP xAA yAB zAD =++，则x y z ++=（ ）A ．34B ．1C ．54D ．744．（2022·福建师大附中高二期末）如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.【考点剖析】A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+考点二 共线问题5．（2022·全国·高二期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．、、A B CB ．BCD 、、C ．A BD 、、D ．A C D 、、6．（2022·山西吕梁·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，若1311444AP AA AB AD =++，则11A PAC =（ ） A ．13B ．34C ．14D ．237．（2022·上海松江·高二期末）设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭考点三 共面问题8．【多选】（2022·广东江门·高二期末）若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+D ．,,a b a b c c +++9．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE 平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2022·福建厦门·高二期末）已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．－613．（2022·全国·高二期末）已知(2,1,3)PA =-，(1,2,3)PB =-，(7,6,)PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=___________.考点四 空间向量基本定理14．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+15．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）A ．131222a b c ++B ．111222a b c --C ．131222a b c -+D ．131222a b c +-16．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 17．（2022·江苏无锡·高二期末）定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称有序实数组(),,x y z 为向量p 在基底{}123,,a a a 下的坐标．已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，{},,2a b a b a c +-+是空间的另一个基底，若向量p 在基底{},,2a b a b a c +-+下的坐标为()1,2,3．(1)求向量p 在基底{},,a b c 下的坐标； (2)求向量p 在基底{},,a b c 下的模．考点五 空间向量的数量积及其性质的应用18．（2022·广西钦州·高二期末（理））如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，AB 是它的一条侧棱，128,,P P P ⋯是它的上底面上其余的八个点，则集合{},1,2,,8i x x AB AP i =⋅=⋯的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．819．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，2BAD π∠=，3BAC π∠=，则AB CD ⋅=______．20．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．21．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2,3AB AC π=，则AB BC ⋅=（ ）A ．5B 5C ．5D 522．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ⋅+的最小值为（ ）A ．32-B ．1-C ．D ．12-23．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（ ）AB C D ．24．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体ABCD 中，2,90,2===∠=︒⋅=-AB AC AD BAD AB CD ，则BAC ∠=（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒25．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=︒，则OB 与AC 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°26．（2022·全国·高二期末）已知()0,0,0O ，()1,2,3A ，()2,1,2B ，()1,1,2P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标是______27．【多选】（2022·湖北黄冈·高二期末）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（ ）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC AD ==+，则 1123E B P A⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=-考点六 空间向量的运算的坐标表示（一）空间向量坐标的基本运算28．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量()()2,1,3,1,1,2a b =-=-，则2a b +=（ ）A ．B ．()4,1,1-C ．()5,1,4-D29．（2022·重庆九龙坡·高二期末）在空间直角坐标系中，若(1,1,0)A ，1(2,0,1)2AB =--，则点B 的坐标为（ ） A ．（3，1，﹣2）B ．（-3，1，2）C ．（-3，1，-2）D ．（3，-1，2）30．（2022·福建宁德·高二期末）已知()1,2,3A ，()4,5,9B ，13AC AB =，则AC 的坐标为______． 31．（2020·陕西·绥德中学高二期末（理））若(1,1,0)a =,(1,0,2)b =- ,则与a b +同方向的单位向量是_______. 32．【多选】（2022·福建三明·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（ ）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1） D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）（二）空间向量平行的坐标运算33．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量()2,1,1a x =---，()2,,2b x x =-，且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．1C ．1-或2D ．1或2-34．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量()1,1,0a =-，()1,0,2b =，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-35．（2022·北京昌平·高二期末）已知(,2,6)a x =-是直线1l 的方向向量，(1,,3)b y =-是直线2l 的方向向量．若直线12l l ∥，则x y +=________．36．（2022·重庆长寿·高二期末）已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l α⊥，则y 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．14D ．4（三）空间向量垂直的坐标运算37．（2022·广东广州·高二期末）已知向量(1,3,2)a →=-，(2,,4)b m →=--，若a b →→⊥，则实数m 的值是___________. 38．【多选】（2022·福建福州·高二期末）已知空间向量()()1,,2,2,1,2a k k b =+-=-，且a b ⊥，则 （ ） A ．6k =-B ．6k =C ．3b =D ．9b =39．（2022·河北保定·高二期末）已知()2,1,3a =-，()1,2,1b =-，若()b a b λ⊥+，则实数λ=______．40．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知向量a →=(1，1，k)，b →=(−1，0，−1)，c →=(0，2，1)，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．2- C ．3- D ．4-（四）空间向量模长的坐标运算41．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期末）若点(1,1,2)A -，(0,3,0)B ，(1,0,1)C -点D 在z 轴上，且AD BC ⊥则||=AD ______.42．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=___________.43．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =-，且a c ⊥，//b c ，则2a b +=______.44．（2022·江苏·沭阳如东中学高二期末）已知(1,21,0),(3,,)a t t b t t =--=，则||b a -的最小值（ ）A B C ．143D （五）空间向量夹角的坐标运算45．（2022·吉林辽源·高二期末）已知空间向量(3,22)a =-，b 是单位向量，1213a b -=，则向量a 与b 的夹角为______.46．（2022·全国·高二期末）若向量(1,,)a λλ=，(2,1,1)b =-，a ，b 夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 47．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 为PC 上一动点，PM tPC =，若⊥BMD 为钝角，则实数t 可能为（ ）A ．15B ．14 C ．13D ．1248．（2022·广东江门·高二期末）若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.（六）空间向量投影的坐标运算49．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系O xyz - 中，已知向量()1,0,3a =，则a 在x 轴上的投影向量为________.50．（2022·天津天津·高二期末）已知空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是__________．51．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．1B C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭考点七 空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用（一）平行问题52．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．53．（2022·安徽滁州·高二期末）如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABC ，AD //BE //CF ，且AD ＝1，BE ＝5，CF ＝3，⊥ABC 是边长为2的正三角形，G 是AB 的中点．(1)求证：CG //平面DEF ；(2)求二面角E DF A --的余弦值．（二）垂直问题54．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）如图，边长为2的等边PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点.(1)证明：AM PM ⊥；(2)求平面P AM 与平面ABCD 的夹角的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离.55．（2022·福建福州·高二期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．56．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AB =BC =C 1C =2A 1B 1，O 为AC 的中点，P 是C 1C 的中点.(1)证明：平面A 1BC ⊥平面POB ；(2)求二面角B 1－A 1B －C 的余弦值.（三）综合问题57．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知平面β法向量为()3,1,5m =-，直线l 的方向向量为()6,2,10n =--，则（ ）A ．l 与β平行B ．l 与β垂直C ．l 与β相交但不垂直D ．以上都不对58．【多选】（2022·广东深圳·高二期末）直三棱柱111ABC A B C 中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥59．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D CB ．直线PB 与直线1DC 平行，直线PB ⊥平面11AC DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC BD ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC考点八 空间角的计算60．（2022·广东江门·高二期末）在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ）A B ．12 C D 61．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：⊥BM 与ED 平行⊥BM 与CE 垂直⊥CE 与平面ABCD ⊥CN 与BM 所成角为60︒以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥62．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF 面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小.63．【多选】（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱111ABC A B C 中，底面是一个等腰直角三角形，且1AB BC BB ==，E 、F 、G 、M 分别为1111B C A B AB BC ，，，的中点．则（ ）A ．1GB 与平面11ACC A B ．1AB 与1BC 所成角为3π C ．1//A M 平面EFBD ．平面1AB C ⊥平面1A MC64．（2022·河南南阳·高二期末（理））如图，四边形ABEF 为直角梯形，//AF BE 且BE EF ⊥，CDFE 为正方形，且平面CEFD ⊥平面ABEF ，22EF AF BE ===，13AP AB =，23DQ DC =，则PQ =______，直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为______．65．（2022·福建省仙游县度尾中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2,AC BC PB ===D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．66．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.(1)求证：11C M B D ⊥；(2)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.67．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD F EA D --的余弦值.（三）平面与平面所成的角（二面角）68．（2022·青海玉树·高二期末（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2PA AB =,正方形ABCD 的对角线交于点O ．(1)求证:BD ⊥平面P AC ;(2)求二面角P BD C --的余弦值．69．（2022·云南曲靖·高二期末）如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，,BC AD BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====.(1)求证：CF ⊥平面ADE ；(2)求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值.70．（2022·广东中山·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，π2DAB ∠=，π3ABC ∠=，22AB DC ==，PD PA =CD PD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求平面APB 和平面PBC 的夹角大小.71．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，BM BC λ=，且二面角M PA C --为30°，求λ的值.考点九 空间距离的计算（一）点到直线的距离72．（2022·吉林白山·高二期末）已知(3,1,0)A ，(5,2,2)B ，(2,0,3)C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3BC ．D73．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知直线l 经过点()211A ，，，且()101n =，，是l 的方向向量，则点()432P ，，到l 的距离为（ ）A ．12BCD 74．（2022·青海海东·高二期末（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，6,3,,AB AB AE PF ==分别是线段11,A C BB 的中点，则点P 到直线EF 的距离是（ ）A B ．125 C D ．185（二）点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离75．（2022·上海市奉贤中学高二期末）经过原点的平面α的一个法向量为(3,1,2)n =，点A 坐标为(0,1,0)，则点A 到平面α的距离为______.76．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则点1C 到平面1A BD 的距离是（ ）A B C D77．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD 中，2==AD AB E 是线段AD 的中点，将⊥ABE 沿BE 折起到⊥PBE 位置（如图），点F 是线段CP 的中点．(1)求证：DF ⊥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离． 78．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）若两平行平面α、β分别经过坐标原点O 和点()2,1,1A ，且两平面的一个法向量为()1,0,1n =-，则两平面间的距离是______．（三）异面直线的距离79．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，M ，N 分别是棱AB ，1CC 的中点，E 是BD 的中点，则异面直线1D M ，EN 间的距离为______.80．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．81．（2022·全国·高二期末）在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是___________．考点十 空间向量与立体几何的综合问题82．【多选】（2022·广东茂名·高二期末）（多选）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==E 是侧面11AA D D 的中心，F 是底面ABCD 的中心，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．EF 是单位向量B ．三棱锥1A BCD -外接球的表面积为7πC ．直线EF 与1A CD ．//EF 平面1A BC83．【多选】（2022·辽宁辽阳·高二期末）在空间直角坐标系O xyz -中，(1,0,0),(1,2,2),(0,0,2)---A B C ，则（ ）A ．3⋅=OC ABB ．点B 到平面AOC 的距离是2C ．异面直线OC 与ABD ．点O 到直线AB 84．【多选】（2022·江苏南通·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，1160A AB A AD DAB ∠∠∠===，点P 在线段1BC 上，则（ ） A ．1AP B C ⊥B ．P 到11A B 和CD 的距离相等C ．AP 与11A BD ．AP 与平面ABCD所成角的正弦值最大为13 一、单选题 1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（ ）A ．1122-+a b cB ．1122a b c +- C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c 2．（2022·河北·石家庄二十三中高二阶段练习）设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =-B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =-C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =3．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，空间四边形ABCD 中，点G 为BCD △的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，则1132AG BE CA ++的化简结果为（ ）A ．AFB ．AHC ．AED ．CF4．（2021·全国·高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角【过关检测】为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）在正四面体D ABC -中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点，则（ ）A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得π4FDB ∠= C ．存在某个位置，使得直线DE 与平面DBFD ．存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC二、多选题 6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11111A C B D O ⋂=，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160BAD DAA BAA ∠=∠=∠=︒，则下列结论正确的是（ ）A．1BD B ．1//CO 平面1BDA C ．1AA 与平面ABCDD ．四棱锥1B ABCD -7．（2022·全国·高二专题练习）已知直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，O 为1A C 的中点.点P 满足1BP BC λ=，其中[0,1]λ∈，则（ ）A ．对[0,1]λ∀∈时，都有11A P OB ⊥B ．当13λ=时，直线1A P 与AB 所成的角是30° C ．当12λ=时，直线1A P 与平面111A B CD ．当12λ=时，直线1A P 与1OB 相交于一点Q ，则112PQ QA = 三、填空题8．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，用向量AB ，AD ，1AA 表示1D B =______．9．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段BC ，AD 的中点，点G 是线段CD 上靠近D 的四等分点，则直线EF 与AG 所成角的余弦值为______．四、解答题10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，1BC E 为11A C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求点A 到平面BCE 的距离.11．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA =，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．12．（2022·广东·顺德一中高二阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，,,D E F 分别为111,,AA AC A C 的中点，AB BC ==12AC AA ==.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角1B CD C 的余弦值； 13．（2022·天津·静海一中高二阶段练习）如图，⊥AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，2AE BC ==，1AB AD ==，87CF =，则（1）求BD 与EC 所成角的余弦值；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求平面EBD 与平面BDF 的夹角的余弦值.。
第一章空间向量与立体几何小结教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修一
空间向量与立体几何小结(2)教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册主备人备课成员教学内容本章节内容出自《数学人教A版（2019）选择性必修第一册》第3章，主要涉及空间向量与立体几何的相关知识。
具体内容包括：1. 空间向量的概念及其表示；2. 空间向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）；3. 空间向量与空间几何图形的性质；4. 空间向量的坐标表示；5. 空间向量在立体几何中的应用（点、线、面的位置关系，几何图形的面积、体积计算等）；6. 空间向量与解析几何的联系与区别。
在教学过程中，教师应引导学生通过空间向量这一工具，更好地理解和掌握立体几何的相关知识，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，注重培养学生的实际应用能力，使学生能够运用空间向量解决实际问题。
教学目标1. 知识目标：使学生掌握空间向量的概念及其表示方法，了解空间向量的基本运算规则，理解空间向量与立体几何图形的性质之间的联系，能够运用空间向量坐标表示法进行点、线、面的位置关系分析，掌握空间向量在立体几何中的应用技巧，如计算几何图形的面积和体积等。
2. 能力目标：通过本章学习，培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，使学生能够在实际问题中灵活运用空间向量分析问题、解决问题。
3. 情感目标：激发学生对空间向量与立体几何知识的学习兴趣，培养学生的数学探究精神和合作学习意识，使学生在学习过程中感受数学的美妙和应用价值，增强学生的自信心和成就感。
4. 教学目标：通过本章学习，使学生能够熟练运用空间向量解决立体几何问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，培养学生对数学知识的热爱和探究精神，使学生在学习过程中感受到数学的魅力和应用价值。
5. 学习目标：使学生能够理解空间向量与立体几何图形的性质之间的联系，掌握空间向量的基本运算规则，了解空间向量坐标表示法，能够运用空间向量解决实际问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
高二数学 专题 空间向量与立体几何(六个混淆易错点)(解析版)
专题空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1．在棱长为1的正四面体A BCD -中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =++--，点N 满足()1DN DB DC λλ=-- ，当线段AM 、DN 的长度均最短时，AM AN ⋅= （）A ．23B ．23-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据题意得到M ∈平面BCD ，N ∈直线BC ，从而求得,AM DN 最短时，得到M 为BCD △的中心，N 为BC 的中点，求得AM 的长，结合向量的运算公式，即可求得AM AN ⋅的值.【详解】解：如图所示，因为(1)AM x AB y AC x y AD =++-- ，()1DN DB DC λλ=--，可得M ∈平面BCD ，N ∈直线BC ，当,AM DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，且DN BC ⊥，所以M 为BCD △的中心，N 为BC 的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以13NM DN ==AN =所以3AM =，因为AM ⊥平面BCD ，所以AM MN ⊥，所以Rt ANM △中，6223cos 332AM MAN AN ∠===，所以326222cos 333AM AN AM AN MAN ⋅=⋅∠=⨯=⨯ 故选：A2．下列命题中正确的个数是（）．①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c共线．②向量a ，b ，c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++．④若a ，b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+（,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c 是空间向量的一组基底．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】举例0b =，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．【详解】①当0b = 时，a 与c不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误．故选：B ．3．以下命题：①若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得λa b = ；②若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c = 或0b = ；③若{},,a b c为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；④()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 一定成立.则其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断①；由数量积判断②；由基底的概念判断③；由数量积的性质判断④【详解】对于①：根据共线向量的基本定理，//a b r r 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得λa b = ，其中0b ≠r r；这里没有限制b，所以①错误；对于②：cos ,,cos ,a b a b a b b c b c b c ⋅=⋅⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，若a b b c ⋅=⋅r r r r ，则cos ,cos ,a a b c b c ⋅=r r r r r r ，即只要a 在b 上的投影与c 在b 上的投影相等即可，故②错误；对于③：若{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c不共面，则,,a b b c c a +++ 也不共面，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故③正确；对于④：因为,a b b a c d d c ⋅=⋅⋅=⋅，所以()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ，故④正确；所以正确的有2个，故选：C4．下面四个结论正确的个数是（）①空间向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=；②若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线；③已知向量(1,1,)a x = ，(3,,9)b x =- ，若310x <，则,a b 〈〉为钝角；④任意向量,,a b c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．【详解】对于①，因0,0a b ≠≠ ，a b ⊥ ，则·0a b =，①正确；对于②，因1344PC PA PB =+ ，则1144PC PA - ＝3344PB PC -，即3AC CB = ，即A 、B 、C 三点共线，②正确；对于③，a b ⋅ ＝10x -3，若,a b 〈〉 为钝角，则0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，由0a b ⋅<得310x <，当//a b 时，1139xx ==-，即3x =-，由a 与b 不共线得3x ≠-，于是得当310x <且3x ≠-时，,a b 〈〉为钝角，③错误；对于④，()a b c ⋅⋅ 是c 的共线向量，而()a b c ⋅⋅是a 的共线向量，④错误，综上可知，①②正确.故选：C5．（多选）给出下列命题，其中正确的是（）A ．若{},,a b c是空间的一个基底，则{},,a b b c +r r r r 也是空间的一个基底B ．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C ．若空间四个点P ，A ，B ，C 满足1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线D ．平面α的一个法向量为()1,3,4m =-u r ，平面β的一个法向量为()2,6,n k =--r.若//αβ，则8k =【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A ，由点关于坐标面的对称判断B ，由向量的运算确定三点共线可判断C ，根据向量共线求参数可判断D 。
10 高二数学重难点知识汇总 空间向量与立体几何
高二数学重难点知识汇总第十讲空间向量与立体几何一．重难点讲解1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]l1∥l2[来源:学科网][来源:学科网][来源:学科网]n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔m·n＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.5．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB u u u r，CD uuu r 〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2；直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB u u u r·n||n|.二．典型例题题型一 用向量法证明平行或垂直[例1] 在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE ∥平面C1E1F ； (2)求证：平面C1E1F ⊥平面CEF.[自主解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2. (1)设平面C1E1F 的法向量n ＝(x ，y ，z)．∵11C E u u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，1FC u u uu r ＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11C E u u u u r＝0，n ·1FC u u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE u u u r ＝(1，－1,1)，n ·CE u u u r＝1－2＋1＝0， ∴CE u u u r⊥n.又∵CE ⊄平面C1E1F ， ∴CE ∥平面C1E1F.(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c)，由EF u u u r＝(0,1,0)，FC uuu r ＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF u u u r＝0，m ·FC uuu r＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0. 取m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C1E1F ⊥平面CEF. 【方法 规律】1.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.2.向量法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线平行向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.题型二 利用空间向量求向量角[例2] 如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A 为原点，AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u ur 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是DE u u u r＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)．设n ＝(x ，y,2)为平面C1DE 的法向量，则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE u u u r n ⊥1EC u u u u r ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0⇒x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，∵向量1AA u u u r＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 与AA1所成的角θ为二面角C －DE －C1的平面角或其补角．∵cos θ＝n ·1AA u u u r |n||1AA u u u r |＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63，由图知二面角C －DE －C1的平面角为锐角， ∴tan θ＝22. (2)设EC1与FD1所成的角为β，则cos β＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC u u u u r ·1FD u u u u r |1EC u u u u r ||1FD u u u u r | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋22＝2114.【方法 规律】 求平面的法向量的步骤(1)设出法向量的坐标，一般设为n ＝(x ，y ，z)；(2)建立方程组，即利用平面的法向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，建立关于x ，y ，z 的方程组．(3)消元，通过加减消元，用一个未知数表示另两个未知数． (4)赋值确定平面的一个法向量．题型三 利用空间向量求空间距离[例3] 在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB. ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO. 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)， M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴CM u u u u r ＝(3，3，0)，MN u u u u r＝(－1,0，2)， MB u u u r＝(－1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z)为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM u u u u r·n ＝3x ＋3y ＝0，MN u u u u r·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB u u u r ||n|＝423. 【方法 规律】求平面α外一点P 到平面α的距离的步骤 (1)求平面α的法向量n ；(2)在平面α内取一点A ，确定向量PA u u u r的坐标；(3)代入公式d ＝|n ·PA u u u r ||n|求解．三．难点解析空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点．(一)高考对三视图的三个考查角度1．由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则．[例1] 如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( )[解析] 结合三视图的画法规则可知B正确．[答案] B2．由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力．由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理：首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状．[例2] 三视图如图所示的几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台[解析] 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．[答案] B3．借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．[例3] 如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa3 B.3πa3 C.34πa3 D ．23πa3[解析] 由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，故半圆锥的高为2a2－a2＝3a ，几何体的体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×πa2×3a ＝36πa3.[答案] A(二)求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法．1．公式法：直接根据相关的体积公式计算．[例4] 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．[解析] 依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为R ， 则43π＝43πR3，所以R ＝3，于是正方体的体对角线长为2 3. 设正方体的棱长为a ， 则有23＝3a ，于是a ＝2，因此正方体的表面积为6a2＝24.[答案] 242．转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积比等．[例5] 如图所示，在正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2[解析] 根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决．法一：如图所示，由于点G 为PB 的中点，故点P ，B 到平面GAC 的距离相等，故三棱锥P －GAC 的体积等于三棱锥B －AGC 的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥G －ACD 与三棱锥G －ABC 的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即△ACD 与△ABC 的面积之比，这个面积之比是2∶1.法二：如图所示，连接BD 交AC 于H ，则点D ，B 到平面GAC 的距离之比等于DH ∶BH ，因为△AHD ∽△CHB ，故DH ∶BH ＝AD ∶BC ＝2∶1，三棱锥D －GAC 与三棱锥B －GAC 底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是2∶1.[答案] C3．割补法：把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积．[例6] 如图所示，若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A.26B.23C.33D.23[解析] 如图所示，平面ABCD 把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥．以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝23.[答案] B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一：探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图．[例1] 四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．[解析] 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA＝OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．在Rt△SEA中，SA＝2，AE＝1，故SE＝1.设球的半径为r，则OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即点O为球心，故这个球的体积是4π3.[答案] 4π3破解难点二：平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．[例2] 如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[解析] ①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，所以点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②∵BC∥DE，且BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC ∥平面A ′DE.③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′FED 的体积达到最大． [答案] C破解难点三：立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型有：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么．1．综合法对命题条件的探索常采用以下三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．[例3] (2013·东城模拟)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)判断EF 与平面ABC 的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD ，如果存在，求出λ的值；如果不存在，说明理由． [解] (1)EF ⊥平面ABC.因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又在△BCD 中，∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD ， 又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC.又在△ACD 中，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点， 且AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)，∴EF ∥CD. ∴EF ⊥平面ABC.(2)存在．∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥CD ，∵∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝ 2. 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BDtan 60°＝6，则AC ＝AB2＋BC2＝7，当BE ⊥AC 时，BE ＝AB ×BC AC ＝67， AE ＝AB2－BE2＝677， 则AE AC ＝6777＝67， 则λ＝AE AC ＝67时，BE ⊥AC ， 又BE ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面ACD.∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ACD.所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD. 方法2.空间向量法不论是对命题条件还是对命题结论的探索，利用空间向量法均可降低思维难度和计算难度，只要合理建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量(根据题中要求可引入参数)，结合结论和已知条件(若有参数则解出参数)，即可得出结果．[例4] (2012·淄博模拟)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．[解] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axy z ，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，则PF u u u r ＝(1,1，－t)，DF u u u r ＝(1，－1,0)，∴PF u u u r ·DF u u u r ＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF ⊥FD.(2)存在，设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎨⎧ n ·PF u u u r ＝0，n ·DF u u u r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2. ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1. 设G 点的坐标为(0,0，m)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， 则EG u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m ， 要使EG ∥平面PFD ，只需EG u u u r ·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t 4＝0， 得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求． (3)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB u u u r 是平面PAD 的法向量，易得AB u u u r ＝(1,0,0)．又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA ＝45°，则PA ＝1，平面PFD 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1， ∴cos 〈AB u u u r ，n 〉＝AB u u u r ·n | AB u u u r ||n|＝1214＋14＋1＝66， 从而二面角A －PD －F 的余弦值为66.。
高二数学空间向量与立体几何
第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算学习目标1.理解空间向量的概念、空间向量的线性运算、共线向量定理、共面向量定理2.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.3.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 学习重点：空间向量的线性运算 学习难点：共线向量定理、共面向量定理 二、知识探究 1空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做 ． (2)长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的 (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →， 其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－a AB →的相反向量：BA →相等向量相同相等a ＝b【注意】：单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3 .空间向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义）运算律加法求两个向量加法的运算三角形法则平行四边形法则(1)加法交换律:a +b=b +a(2)加法结合律:(a+b )+c=a +（b+c ）减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量三角形法则a-b= a +（-b ）数乘 实数λ与向量a 的积是一个向量 ,这种运算叫作向量的数乘运算 ,记作λa (1)|λa |= |λ|·|a| (2)当λ>0时,λa 与a 的方向相同 ;当λ<0时,λa 与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0(1)对向量加法的分配律:λ(a+b )= λa+λb(2)对实数加法的分配律: (λ1+λ2)a=λ1a+λ2a【注意】：空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；4.共线向量与共面向量 (1)平行(共线)向量① 定义： ② 方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . ③ 共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .④ 如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .【注意】：1.零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.2. 共线向量定理的用途：① 判定两条直线平行；进而证线面平行; ② 证明三点共线. (2) 共面向量① 定义：平行于同一个平面的向量叫做 ．② 共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使③ 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →. 【注意】：(1) 共面向量定理的用途：① 证明四点共面; ②线面平行（进而证面面平行）.(2) 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算． 三、理论迁移题型一 空间向量中的概念辨析 例1 (1)给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________．（2）如图所示的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给定的下列各对向量：①AC 1→与A 1C → ②AD 1→与B 1D → ③AC →与C 1A 1→ ④CC 1→与A 1A → 其中是相反向量的有________对．[变式1]如图，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， （1）单位向量共有多少个？ （2）试写出模为的所有向量； （3）试写出与相等的所有向量； （4）试写出的相反向量．题型二 空间向量的线性运算例2 (1)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →.变式引申：本例条件不变，化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．(2)（2020-2021福建龙岩高二期末期末）如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，，，，M 是D 1D 的中点，点N 是AC 1上的点，且，用表示向量的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．[变式2](1) (多选题)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )A.A 1D 1→－A 1A →－AB →；B.BC →＋BB 1→－D 1C 1→；C.AD →－AB →－DD 1→；D.B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→.（2）已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →题型三 共线向量定理的应用例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？【变式3】(1)（2020-2021天津南开中学高二月考）设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．（2）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA ＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．题型四向量共面问题例4正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．【变式4】(1)（2020-2021北京朝阳区高二期末）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（）A．B．C．D．（2）(多选题）（2020-2021江苏常州高二期中）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A．＝+B．＝++C．＝++D．+++＝四、课堂小结：本节是空间向量的基础内容，一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.1空间向量及其运算 1.1.2空间向量的数量积运算学习目标1.理解空间向量夹角的概念、空间向量的数量积的定义、性质、运算律、投影向量的概念．2.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.3.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 学习重点：空间向量数量积的定义 学习难点：投影向量的概念 二、知识探究 1. 空间向量的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做 ，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]． 特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π； 当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b ．2.空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做 ，记作a ·b ．即a ·b ＝①特别地，零向量与任何向量的数量积为零. ②由向量的数量积定义,可以得到:a ⊥b ⇔a ·b ＝0;a · a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2(2)数量积的运算律：【注意】1、两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；2、特别注意:向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ， 即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝ka，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．(3)常用结论(a ，b 为非零向量)① θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |.② 若a ，b 同向,则a ·b ＝|a |·|b |;若a ，b 反向,则a ·b ＝－|a |·|b |. ③ |a |＝a ·a ; |a ·b |≤|a |·|b |. 3.投影向量 (1) 投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为 ，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2) 向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为 ．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．三、理论迁移题型一 空间向量的数量积运算例1 如下图所示，已知正三棱锥A -BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积． (1)AB →·AC →； (2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →； (4)EF →·BC →.【变式5】（1）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝________．(2)如图，已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．题型二 利用数量积求夹角例2 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【变式2】如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．题型三 利用数量积求距离例3 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【变式3】（2020-2021陕西渭南市高二期中）正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．题型四利用数量积证明空间的垂直关系例4(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝k e1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．小结：用向量法证明垂直关系的步骤：(1)把几何问题转化为向量问题. (2)用已知向量表示所证向量.(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题.【变式4】已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.四、课堂小结：本节是空间向量的基础内容，一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.。
高二数学空间向量与立体几何
为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量 OP 来表示，我们把 向量 OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 。 A 以及一个定方向确定. 上一个定点 对于直线 l 上的 任一点 P ,存在实数 t
使得
AP t AB
P
或 AP t a
a
⑶平面
c2
（二）例题探析 例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m, l n.
解：设直线l , m, n的方向向量分别为a, b, c. l m, l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程 (一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示 ⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作
在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , 求法：
C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
⑴设平面的法向量为 n ( x , y , z ) 步骤：
⑵ 找出 (求出 )平面内的两个不共线的向量 的坐标 a ( a1 , b1 , c1 ), b ( a 2 , b2 , c 2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°【答案】B【解析】用立体几何方法。
作BC中点D,连AD, D,易得AD垂直于BC,AD垂直于平面BC, D为A在平面BC上的射影,易证D垂直于B,所以A垂直于B,A与B所成角为90度,故选B。
【考点】本题主要考查正三棱柱的几何性质及异面直线所成角的求法。
点评：根据题目特点，可灵活采用不同方法，这里运用几何方法，使问题得解，体现解题的灵活性。
2.正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直线和之间的距离为：．【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.3.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则===．【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.4.在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A． B． C． D．【答案】D【解析】题目中给出了建立空间直角坐标系的条件。
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图），利用向量知识可计算得到直线OD与平面PBC所成角的正弦值为，故选D。
【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.5.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．【答案】【解析】解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
高二数学选修2-1_空间向量与立体几何教材分析
空间向量与立体几何教材分析在必修2中，我们已经学习了空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，但必修2中没有证明空间中的距离，点点距、点线距、点面距等、空间中的角，包括异面直线所称的角、线面教、二面角，在必修2中也都只介绍了有关概念，以及很简单的求解题．为了能更好的解决空间中的几何元素的位置、距离、角度问题，教材在这里引入了空间向量．用空间向量处理某些几何问题，为我们提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率．向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度．本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容．通过本章的学习，我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养我们的空间想象能力．在空间向量的学习中，我们要注意类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又学习了类比、推广、特殊化、化归等思想方法，体会数学探索活动的基本规律，提高对向量的整体认识水平．空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．在空间向量运算中，还要注意与数的运算的对比．另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行比较，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行正确的分析．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教材还通过例题，引导学生对解决例题几何问题的三种方法（向量方法、解析法、综合法）进行了比较，分析各自的优势，因题而异作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．《普通高中数学课程标准》对《空间向量与立体几何》内容的要求如下：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）．④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．通过一定的训练，我们应该达到以下意识和习惯：凡能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解决；另外在解题过程中必须写出规范的格式和必要的步骤，例如建立空间直角坐标系的表述、有关向量的坐标表示等．本章课时安排：3.1空间向量及其运算5课时；3.2立体几何中的向量方法5课时；章末复习课1课时．共11课时。
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直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 。 叫做平面 的法向量. l 给定一点A和一个向量 n ,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
F
E
D
C G
A B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC，AC交BD . 于点G，连结EG依题意得A（1，0，0）P（0，0，1）E 1 1 （ 0, , ）， 因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正 2 2 方形的中心， 1 1 故点G的坐标为（ , ,0 ）且
PA 1,0,1
，
2 2 1 1 EG ,0, ，所以 PA 2EG, 及PA// EG 2 2
而EG 平面EDB，且PA
平面EDB，因此PA//平面
EDB。 (2)证明；依题意得 1 1 1 1 ，故 PB DE 0 0 0， ， B（1，1，0）PB 1,1,1, 又DE 2 2 2 2 所以 PB DE PB EF，且EF DE E PB 平面EFD
（三）、强化巩固训练 1、设直线l，m的方向向量分别为 列条件判断l，m的位置关系：
. (1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2)
( 3)a (0,0,1), b (0,0,3)
， ，根据下 a b
AP
ABCD
2 2 2 | AD | 4 2 0 2 5 | AB | (2) ( 1) (4) 21 。
2 2 2
。AB AD (2, 1, 4) (4,2,0) 6
6 3 105 sin BAD 1 9 32 cos( AB, AD) 105 35 21 2 5 105
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程 (一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示 ⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作
法向量为u ( a2 , b2 , c2 ),则 l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
线线垂直 l ⊥ m
a ⊥b ab 0；
a1 b1 c1 . 当a2 , b2 , c2 0时,a // u a2 b2
若 . a (a1, b1, c1 ), u (a2 , b2 , c2 ),则 l a // u a ku a1 ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 .
为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量 OP 来表示，我们把 向量 OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 。 A 以及一个定方向确定. 上一个定点 对于直线 l 上的 任一点 P ,存在实数 t
使得
AP t AB
P
或 AP t a
a
⑶平面
3、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？ 解：以D为原点建立如图所示的坐标系， 设存在点P（0，0，z）， 。 AP =(-a,0,z)， DB AC =(-a,a,0)， 1 =(a,a,a)， ∵B1D⊥面PAC，∴ DB1 AP 0，DB1 AC 0 ∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合 ∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC （四）、小结：本课主要探析了1、
直线的方向向量与平面的法向量 的概念与 求法；2、用方向向量和法向量判定线面位 置关系的方法。要求大家理解和掌握并会 熟练运用。
（五）、作业布置：复资P132中2、4、
5、6题。
五、教学反思
.
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m, n , 且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式： p xb yc, x, y R. 。 a p a ( xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如 果 AB (2, 1,4) ， AD (4,2,0) ， AP (1, 2, 1) （1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积． （1）证明：∵ AP AB (1,2, 1) (2, 1, 4) 0 ，AP AD (1,2, 1) (4,2,0) 0 ， AP AD ，又 AB AD A ， AP ∴ AP AB ， 平面 ， ∴ ABCD 是平面 的法向量．
a
O
OP x a yb
a
A
存在实数 t 使得 AP t AB P 此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体写出l上的任意一 点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
空间中平面 的位置可以由 内两条相 对于平面 上的任一点 P , 交直线来确定.
.
b
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
这样，点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
O
a
OP xa yb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的
na 0 方程组 n b 0
⑷ 解方程组 , 取其中的一个解 , 即得法向量 . 4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
面の情况,目前老道和那白发老头就呆在星河外.就呆在他们之前呆の位置,正在观察着这条星河.不知道他们到底来这里是为什么了,米晴雪说："这两个家伙来者不善,来到这里绝非偶然,之前咱就感觉好像被什么人给盯上了,这两个家伙肯定是来找咱们の.""根汉为何不跟老道在壹起?"叶静 云皱了皱眉.白萱道："可能发生了什么事情了,这个老道不是什么好人.""那咱们怎么办?"叶静云问："要不要先在这里布下法阵?若是他们也进来了这神庙,咱们怕是难以挡住."她壹旁の根汉の第二元神,如果要布法阵の话,自然是第二元神布置最为合适.因为他会布阵环之阵,他是根汉の第 二元神,自然也会阵环之术.而此时,正在星河外面の白发苍狼和老道,此时也是面色凝重.二人呆在星河外面,白发苍狼和老道,也都星河中の神庙."你想到了什么没有?"白发苍狼问老道.老道沉声道："你是怀疑,这是真正の通天河?""恩,传说真正の通天河中,居住着通天古佛,而通天古佛肯定 是有神庙の."白发苍狼道."她们の气息现在完全消失了,她们难道会在这通天河中?"老道问.白发苍狼说："极有可能.""那咱们如何进去?"老道挑了挑眉,"咱似乎神识,无法进入这通天河,更无法进入通天古佛庙.""这真是天意吗."白发苍狼叹道："你要咱取她们の血,现在她们却被卷进了通 天古河中,你咱却无法进入其中,难道是真の不想咱表妹复活?""你咱联手,不能破开这古河."老道此时也有壹种说不出来の苦涩.不过他心里却似乎更希望,自己无法攻入其中.因为他本来就不太想过来の,只是白发苍狼要求自己,再加上确实是他の表妹.而自己の女人自己不想救吗?自己当然 想救了,要不然这上万年の找寻,上万年の苦涩,谁又能懂呢.只是现在白萱她们,可能进入了通天古河了,他们无法进入,似乎这事情就陷入了死结了.自己の女人当真就是救不活吗.白发苍狼叹道："罢了,咱也知道你本来就不想来,现在却正合了你の意了,回去吧就此作罢吧."他还说："现在她 们应该还能听得到咱们の说话,只不过她们被困在这通天古河中,咱想也不会是什么好事情.""你是说她们会出事?"老道挑了挑眉.白发苍狼哼道："咱の傻妹夫,难道你还想救她们不成?没得到她们の血也就罢了,咱们再回去赶紧想别の办法吧.""你还有别の办法?"老道有些无语.白发苍狼说： "咱说の别の办法,当然是有,但是都是无奈之举,比取血要难多了.""走吧."白发苍狼似乎不想在这里,和他多做解释,直接就转身走了.而老道此时也有些不忍,对通天古河中の神庙大声说道："放心吧,根汉那小子现在没事,应该只是在堕仙牢中呆几年,用不了多久便出来了.""这里是通天古河, 你们呆の是通天古佛庙,不会是什么好地方,自己小心吧."最后他能做の,也就只是提了个醒了,之后便走了.在神庙中の众人,自然也听到了老道の话,都是心中壹惊,没想到老道是说の这个.叶静云等人,还以为自己是误会了老道了,难道老道不是来害他们の?"通天古佛庙?""通天河怎么会是这 样子の?"众人都有些不解,这九天十域中,有不少地方,不少の河都敢自称通天河.而且有壹些也